高中数学必修二人教版空间向量与立体几何复习课课件.pptx

《高中数学必修二人教版空间向量与立体几何复习课课件.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学必修二人教版空间向量与立体几何复习课课件.pptx（81页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第1页/共81页【核心解读】1.证明空间任意三点共线的方法设空间三点P，A，B，(1)(2)对空间任一点O，(3)对空间任一点O，第2页/共81页2.证明空间四点共面的方法设空间四点P，A，B，C，(1)(x，y为有序实数对)；(2)对空间任一点O，(3)对空间任一点O，(x+y+z=1)；第3页/共81页3.空间向量运算的坐标表示设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).(1)a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3),a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3),a=(a1,a2,a3),ab=a1b1+a2b2+a3b3.(2)重要结论aba=ba1=b1,a2=b2,

2、a3=b3(R);abab=0a1b1+a2b2+a3b3=0.第4页/共81页4模、夹角和距离公式(1)设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则|a|cosa，b(2)设A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2),则第5页/共81页5.空间向量的结论与线面位置关系的对应关系(1)设直线l的方向向量是u=(a1,b1,c1),平面的法向量v=(a2,b2,c2),则luvuv=0a1a2+b1b2+c1c2=0,luvu=kv(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2)a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2(kR).第6页/共81页(2)设直线l,m的方向向量分别为a,b

3、,平面,的法向量分别为u,v,则lmaba=kb,kR;lmabab=0;lauau=0;laua=ku,kR;uvu=kv,kR;uvuv=0.第7页/共81页6.空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1,l2的方向向量分别为m1,m2,则l1与l2的夹角满足cos=|cos|.(2)设直线l的方向向量和平面的法向量分别为m,n,则直线l与平面的夹角满足sin=|cos|.第8页/共81页(3)求二面角的大小()如图,AB,CD是二面角-l-的两个半平面,内与棱l垂直的直线,则二面角的大小=.()如图,n1,n2分别是二面角-l-的两个半平面,的法向量,则二面角的大小满足cos=cos或-

4、cos.第9页/共81页主题一 空间向量概念及运算【典例1】(1)(2014贵州高二检测)下列说法中正确的是()A.若|a|=|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反B.若向量a是向量b的相反向量，则|a|=|b|C.空间向量的减法满足结合律D.在四边形ABCD中，一定有第10页/共81页(2)如图，在正方形ABCD中，已知AB2，M为BC的中点，若N为正方形内(含边界)任意一点，则 的最大值为.第11页/共81页【自主解答】(1)选B.|a|=|b|，说明a与b模长相等，但方向不确定；对于a的相反向量b=-a，故|a|=|b|，从而B正确；空间向量只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一

5、般的四边形不具有 只有平行四边形才能成立.故A，C，D均不正确.第12页/共81页(2)由数量积公式得，表示向量 在向量 的方向上的投影，要使 值最大，只需 最大，又因点N在正方形内(含边界)，所以当点N与C重合时，过点C作CHAM，垂足为H，得 最大，故由AB2，M为BC的中点可得 所以 的最大值为6.答案：6第13页/共81页【延伸探究】题(2)中若结论改为 则结果如何？【解析】由数量积公式得 表示向量 在向量 的方向上的投影，要使 值最大，只需 最大，又因点N在正方形内(含边界)，所以当点N与C重合时，CBAB，得 最大，故 的最大值为4.第14页/共81页【方法技巧】空间向量运算的几何

6、意义(1)加法、减法：其几何意义体现在平行四边形法则与三角形法则中.(2)数乘运算：其几何意义体现的是在有向直线上的向量长度与方向的转化.(3)数量积公式：其几何意义体现在夹角与模的理解上.如利用|a|2=aa可以解决线段长度问题，在单位向量e方向上的投影为第15页/共81页【补偿训练】在以下四个式子中a+bc，a(bc)，a(bc)，|ab|=|a|b|，表达正确的有()A.1个B.2个C.3个D.0个【解析】选A.根据数量积的定义，bc是一个实数，a+bc无意义.实数与向量无数量积，故a(bc)错，|ab|=|a|b|cosa，b|，只有a(bc)正确.第16页/共81页主题二 空间向量的

7、坐标运算【典例2】(1)若向量a=(4，2，4)，b=(6，3，2)，则(2a3b)(a+2b)=.(2)若A(x，5x，2x1)，B(1，x+2，2-x)，当取最小值时，x的值等于.【自主解答】(1)因为2a3b=(10，13，14)，a+2b=(16，4，0)，所以(2a3b)(a+2b)=(10，13，14)(16，4，0)212.答案：212第17页/共81页(2)由点A，B坐标，得=(1x，2x3，3x+3)，所以当x=时，取最小值.答案：第18页/共81页【方法技巧】熟记空间向量的坐标运算公式设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),(1)加减运算:ab=(x1x2,y

8、1y2,z1z2).(2)数量积运算:ab=x1x2+y1y2+z1z2.(3)向量夹角:cos=第19页/共81页(4)向量长度:设M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),则提醒:在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进行化简再运算.第20页/共81页【拓展延伸】向量坐标运算的综合应用向量运算的坐标表示公式要熟记，从而能准确快速地进行计算.专门运算的题目很少，一般与共面向量定理、共线向量定理组合出题，熟练掌握这两个定理也是运算的基础.共面向量：利用p与a，b向量共面p=xa+yb时，一定要注意a，b不能共线；反之利用p=xa+ybp与a，b向量共面时，则不需要a，b不共线的条件.常

9、见结论：空间任一点O和不共线三点A，B，C，则(x+y+z=1)是P，A，B，C四点共面的充要条件.第21页/共81页【补偿训练】设点C(2a+1,a+1,2)在点P(2,0,0),A(1,-3,2),B(8,-1,4)确定的平面上,则a的值为()A.-7B.4C.-16D.16第22页/共81页【解析】选D.=(-1，-3，2)，=(6，-1，4).根据共面向量定理，设 (x，yR)，则(2a1，a+1，2)=x(1，3，2)+y(6，1，4)=(x+6y，3xy，2x+4y)，所以解得x=7，y=4，a=16.第23页/共81页主题三 空间向量与平行、垂直问题【典例3】(1)已知A，B，C

10、三点的坐标分别为A(4，1，3)，B(2，5，1)，C(3，7，)，若则等于()A28B28C14D14第24页/共81页(2)(2014银川高二检测)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点.求证:B1EAD1.在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由.第25页/共81页【自主解答】(1)选D.(2，6，2)，(1，6，3)，因为 所以 21662(3)0，解得14.第26页/共81页(2)以A为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).设AB=a，则A(0，0，0)，D(0，1，

11、0)，D1(0，1，1)，E(，1，0)，B1(a，0，1)，故 =(0，1，1)，=(，1，-1)，=(a，0，1)，=(，1，0).因为 =0+11+(-1)1=0，所以B1EAD1.第27页/共81页假设在棱AA1上存在一点P(0，0，z0)(0z01)，使得DP平面B1AE.此时 =(0，-1，z0).又设平面B1AE的法向量n=(x，y，z).由 得第28页/共81页取x=1，得平面B1AE的一个法向量n=(1，-a).要使DP平面B1AE，只要n ，有 -az0=0，解得z0=又DP平面B1AE，所以存在点P，满足DP平面B1AE，此时AP=第29页/共81页【方法技巧】利用空间向

12、量证明空间中的位置关系(1)线线平行：证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量(2)线线垂直：证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直.第30页/共81页(3)线面平行:证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量;利用共面向量定理,即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示.(4)线面垂直:证明直线的方向向量与平面的法向量平行;利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题.第31页/共81页(5)面面平行:证明两个平面的法向量平行(即是共线向量);转化为线面平行、线线平行问题.(6)面面垂直:证明两个平面的法向量互相垂直;

13、转化为线面垂直、线线垂直问题.第32页/共81页【补偿训练】如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1D1,AB的中点,E在AA1上且AE=2EA1,F在CC1上且CF=FC1,试证明MENF.第33页/共81页【证明】由平行六面体的性质知所以又M，E，N，F不共线，所以MENF.第34页/共81页主题四 利用空间向量求空间角【典例4】(1)(2012四川高考)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是.第35页/共81页(2)(2013江苏高考)如图,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,ABAC

14、,AB=AC=2,A1A=4,点D是BC的中点.求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值.求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值.第36页/共81页【自主解答】(1)设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0，0，0)，N(0，1，)，A1(1，0，1)，M(0，0)，所以 =(-1，-1)，=(0，1，)，所以所以 =90，所以异面直线A1M与DN所成的角的大小为90.答案：90第37页/共81页(2)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A1(0，0，4)，C1(0，2，

15、4)，所以 =(2，0，-4)，=(1，-1，-4).因为所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为 .第38页/共81页设平面ADC1的法向量为n1=(x，y，z)，因为 =(1，1，0)，=(0，2，4)，所以n1 =0，n1 =0，即x+y=0且y+2z=0，取z=1，得x=2，y=-2，所以n1=(2，-2，1)是平面ADC1的一个法向量.取平面AA1B的一个法向量为n2=(0，1，0)，设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为.由|cos|=得sin=因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为 第39页/共81页【方法技巧】用向量法求空间角的注意点(1)异面直线所成角

16、：两异面直线所成角的范围为090，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解.(2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面所成的角，先求这个平面的法向量n与直线a的方向向量a夹角的余弦cosn，a，易知=n，a-或者 n，a.第40页/共81页(3)二面角:如图,有两个平面与,分别作这两个平面的法向量n1与n2,则平面与所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补,所以首先应判断二面角是锐角还是钝角.第41页/共81页【补偿训练】(2013江西高考)如图，四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，DABDCB，EA=EB=AB=1，PA=连接CE并延长交AD

17、于F.(1)求证：AD平面CFG.(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值.第42页/共81页【解题指南】(1)利用判定定理证明线面垂直时，需证线线垂直，本题易证：EFAD，GFAD.(2)建立空间直角坐标系，借助空间向量求出.第43页/共81页【解析】(1)在ABD中，因为E是BD的中点，所以EA=EB=ED=AB=1，故BAD=ABE=AEB=因为DABDCB，所以EABECB，从而有FED=BEC=AEB=所以FED=FEA，故EFAD，AF=FD，又因为PG=GD，所以FGPA.又PA平面ABCD，所以GFAD，又GFEF=F，故AD平面CFG.第44页/共81页(2)以点A为坐标

18、原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，所以设平面BCP的法向量n1=(1，y1，z1)，则 解得 即n1=第45页/共81页同理，设平面DCP的法向量n2=(1，y2，z2)，则 解得 即n2=(1，2).从而平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值为cos=第46页/共81页主题五 空间向量解决空间的探索性问题【典例5】(2013北京高考)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC平面AA1C1C,AB=3,BC=5.(1)求证:AA1平面ABC.(2)求二面角A1-BC1-B1的余弦值.(3)证明:在线段BC1上存在点D

19、,使得ADA1B,并求 的值.第47页/共81页【自主解答】(1)因为A1ACC1是正方形,所以AA1AC.又因为平面ABC平面A1ACC1,交线为AC,所以AA1平面ABC.(2)因为AC=4,BC=5,AB=3,所以ACAB.分别以AC,AB,AA1为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.第48页/共81页则A1(0，0，4)，B(0，3，0)，C1(4，0，4)，B1(0，3，4)，=(4，0，0)，=(0，3，4)，=(4，3，0)，=(0，0，4)，设平面A1BC1的法向量为n1=(x1，y1，z1)，平面B1BC1的法向量为n2=(x2，y2，z2)，所以所以第49页/共8

20、1页所以可取n1=(0，4，3).由 可得 可取n2=(3，4，0).所以cosn1，n2=由图可知二面角A1-BC1-B1为锐角，所以余弦值为第50页/共81页(3)设点D的竖坐标为t(0t4)，在平面BCC1B1中作DEBC于E，根据比例关系可知D(t，(4t)，t)(0t4)，所以 =(t，(4t)，t)，=(0，3，4)，又因为所以 (4t)4t=0，所以t=所以第51页/共81页【方法技巧】探索性问题的处理策略 用空间向量研究立体几何中的探索性(或存在性)问题的关键是构建向量及空间直角坐标系，然后利用空间向量的数量积、向量模的投影公式处理空间平行、垂直等位置关系问题，可避开传统的“作

21、证算”中的难点，具有较强的可操作性提醒：利用空间几何体的位置关系转化为向量运算的关系式，建立方程是动点存在性问题得以解决的关键第52页/共81页【补偿训练】在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，ABC=60，PA=AC=a，PB=PD=点E在PD上，且PEED21，在棱PC上是否存在一点，使BF平面AEC？证明你的结论第53页/共81页【解析】以为坐标原点，直线AD，AP分别为y轴、z轴，过点A作垂直于平面yOz的直线为x轴，建立空间直角坐标系由题知A(0，0，0)，BC ，D(0，a，0)，P(0，0，a)，E第54页/共81页设点是棱PC上的点，(其中01)，则令 得第55页/共81页即当=

22、时，亦即F是PC的中点时，共面又BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF平面AEC第56页/共81页【强化训练】1.已知a(1，0，2)，b(6，21，2)，若ab，则与的值可以是()A2，BC3，2D2，2第57页/共81页【解析】选A.因为ab，所以存在实数k，使bka，即(6，21，2)(kk，0，2k)，所以所以或第58页/共81页2在长方体ABCD-A1B1C1D1中，下列关于的表达式.正确的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个第59页/共81页【解题指南】可借助空间几何体中的有向线段，利用平行四边形法则、三角形法则结合所对应的向量进行表示.【解析】选B.通过题意，可知又

23、所以正确；对于，所以错误；同理错误；对于，易得所以正确，故选B.第60页/共81页3.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,以D为原点建立空间直角坐标系,E为BB1的中点,F为A1D1的中点,则下列向量中能作为平面AEF的法向量的是()A(1，2，4)B(4，1，2)C(2，2，1)D(1，2，2)第61页/共81页【解析】选B.设平面AEF的法向量n(x，y，z)，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则A(1，0，0)，E(1，1，)，F(，0，1)故由 即 所以只有选项B满足，故选B.第62页/共81页4.若向量a(1，2)，b(2，1，2)，a，b夹角的余弦值为 则等于

24、_.【解析】cosa，b 所以2或答案：2或第63页/共81页5.a(1t，1t，t)，b(2，t，t)，则|ba|的最小值是_.【解析】ba(1t，2t1，0)，因为|ba|2(1t)2(2t1)25t22t2 所以|ba|min答案：第64页/共81页【误区警示】求向量ba的模时，不能先进行向量的坐标运算，再求向量模，而是直接利用|ba|=而导致计算烦琐.第65页/共81页6(2013重庆高考)如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，ACB=ACD=F为PC的中点，AFPB(1)求PA的长.(2)求二面角B-AF-D的正弦值第66页/共81页【解题指南】建立

25、空间直角坐标系，写出相应点的坐标，根据AFPB可求出PA的长，再通过求平面的法向量可以求出二面角的正弦值.第67页/共81页【解析】(1)如图，连接BD交AC于O，因为BC=CD，即BCD为等腰三角形，又AC平分BCD，故ACBD，以O为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，则OC=CDcos =1，而AC=4，得AO=ACOC=3.又OD=CDsin 故A(0，3，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，D(，0，0).第68页/共81页因PA底面ABCD，可设P(0，3，z)，由F为PC边中点，F(0，1，)，又因AFPB故 =0，即6 =0，z=(舍

26、去z=)，所以 即PA长为第69页/共81页(2)由(1)知 =(，3，0)，=(，3，0)，=(0，2，3).设平面FAD的法向量为n1=(x1，y1，z1)，平面FAB的法向量为n2=(x2，y2，z2).由n1 =0，n1 =0，得 因此可取n1=(3，2).由n2 =0，n2 =0，得 故可取n2=(3，2).第70页/共81页从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为cosn1，n2故二面角B-AF-D的正弦值为第71页/共81页【补偿训练】如图,棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是BC的中点,F是DD1的中点.(1)求证:CF平面A1DE.(2)求二面角E-A1D-A的余弦

27、值.第72页/共81页【解析】(1)分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，A1(2，0，2)，E(1，2，0)，D(0，0，0)，C(0，2，0)，F(0，0，1)，从而 (2，0，2)，(1，2，0)设平面A1DE的法向量是n(a，b，c)，则 取b1，第73页/共81页得n(2，1，2)是平面A1DE的一个法向量 (0，2，1)，因为 n220，所以 n.又点C不在平面A1DE上，所以CF平面A1DE.第74页/共81页(2)因为CD平面AA1D，所以 (0，2，0)是平面AA1D的一个法向量设向量n与 的夹角为，因为cos 二面角E-A

28、1D-A为锐角，所以二面角E-A1D-A的余弦值为第75页/共81页7.已知关于x的一元二次方程x2(t2)x+t2+3t+5=0有两个实数根，a=(1，1，3)，b=(1，0，2)，c=a+tb(1)当|c|取最小值时，求t的值.(2)在(1)的情况下，求b和c的夹角的余弦值的大小第76页/共81页【解析】(1)因为关于x的方程x2(t2)x+t2+3t+5=0有两个实数根，所以=(t2)24(t2+3t+5)0，即4t又c=(1，1，3)+t(1，0，2)=(1+t，1，32t)，所以|c|=所以当t=时，|c|取最小值(2)当t=时，c=所以cosb，c=第77页/共81页第78页/共81页第79页/共81页第80页/共81页感谢您的观看！第81页/共81页