中值定理与导数的应用高等数学.pptx

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1、(1)(1)罗尔中值定理罗尔中值定理1.中值定理第1页/共44页(2)拉格朗日中值定理第2页/共44页推论1 如果函数f(x)在区间(a,b)内的导数恒为零，则f(x)在区间(a,b)内是一个常数.推论2 如果在区间(a,b)内,则 f(x)=g(x)+C（C为常数）.第3页/共44页(3)(3)柯西(Cauchy)(Cauchy)中值定理及(1)在闭区间 a,b 上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内至少存在一点使满足:目录上页下页结束返回注意：注意：若令F(x)=x，则柯西中值定理变为拉氏中值定理，即拉氏定理是柯西中值定理的特殊情况。第4页/共44页2 2、罗必塔法

2、则、罗必塔法则定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为罗必塔法则.关键关键:将其它类型未定式化为罗必塔法则可解决的类型 .第5页/共44页定理定理定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为罗必塔法则求极限来确定未定式的值的方法称为罗必塔法则.第6页/共44页第7页/共44页注意：1.1.罗必塔法则是求极限的一种有效方法，但与其它方 法结合使用(比如无穷小因子替换)，效果更好.2.2.罗必塔法则的条件是充分非必要的，要注意使用的 条件3.3.用罗必塔法则可连续用，但要步步检查，步步

3、整理 （如约去公因子，提出有确定极限的因子）第8页/共44页3 3、函数的单调性与极值、函数的单调性与极值定理定理(1)函数单调性的判定法第9页/共44页定义定义(2)函数的极值及其求法函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.第10页/共44页定理定理(必要条件必要条件)定义定义可能极值点：驻点和不可导点可能极值点：驻点和不可导点.（单调区间的（单调区间的分界点）分界点）注意：极值点可以是不可导点。第11页/共44页极值的第一判别法极值的第一判别法极值的第二判别法极值的第二判别法第12页/共44页求极值的求极值的4 4个步骤：个步骤：（1 1）确定函数的定义域，求出导数（

4、2 2）求出导数等于0 0（驻点）和导数不存在的点（3 3）根据（2 2）中的点将定义域分成若干个区间，并确定 在每个区间的符号（4 4）判断（2 2）中的点是否是极值点，是极大值还是极小值第13页/共44页 (1)求函数f(x)在(a,b）内的所有驻点和导数不存在的点；(2)计算所有驻点和导数不存在的点及端点处的函数值，其中最大者就是最大值，最小者就是最小值（1）闭区间a,b 上的连续函数：在 a,b 上连续的函数 f(x)，一定存在最大值和最小值.这时 f(x)在 a,b 上的最大值点和最小值点一定是区间的端点或可能极值点.求法如下：（比较法）4.函数的最大值、最小值及其应用第14页/共4

5、4页 f(x)在一个区间内可导且只有一个驻点x0，并且这个驻点x0是函数f(x)的极值点，那么，当f(x0)是极值时 f(x0)就是f(x)在该区间上的最值；（2）任意区间（包括无穷区间）上连续函数，有唯一驻点且为极值点单峰曲线单谷曲线转化法（两个条件）第15页/共44页 （3）实际问题中，往往根据问题的性质可以断定可导函数f(x)确有最值，而且一定在定义区间内部取得.这时如果f(x)在定义区间内部只有一个驻点x0，那么不需要判断f(x0)是不是极值点,就可以断定f(x0)是最值.实际问题求最值实际问题求最值:(1)列出目标函数，并确定其定义域;(2)求出目标函数在其定义域内的驻点;（3）第1

6、6页/共44页 设曲线 f(x)在(a,b)内各点都有切线，在切点附近如果曲线弧总位于切线的上方，则称曲线 f(x)在（a,b）上是凹的如果曲线弧总位于切线的下方，则称曲线f(x)在（a,b）上是凸的.（1）曲线的凹凸性的定义 5.曲线的凹凸与拐点第17页/共44页定理定理（3）凹凸性的判定方法（2 2）拐点第18页/共44页求函数凹凸区间与拐点的求函数凹凸区间与拐点的4 4个步骤：个步骤：（1 1）确定函数的定义域，求出导数（2 2）求出二阶导数等于0 0和二阶导数不存在的点（3 3）根据（2 2）中的点将定义域分成若干个区间，并确定 在每个区间的符号（4 4）判断：第19页/共44页例1

7、验证函数f(x)=(x-1)(x-3)在闭区间1,3上满足罗尔定理的条件，并求 解（1）f(x)在闭区间1,3上连续；（2）在开区间（1,3）内可导，且f(x)=2x-4，（3）两端点函数值相等，即f(1)=f(3)=0，即f(x)在1,3上满足罗尔定理的三个条件.因此,在(1,3)内至少有一点，使f()=2-4=0，可知 =2.第20页/共44页例例2 2证证第21页/共44页例3.3.证明：证明：设，在区间上应用拉格朗日中值定理，有使得因此，第22页/共44页例4.4.设函数二阶可导,且又则当时，有第23页/共44页例例5 求解解第24页/共44页例6 求解：此极限为第25页/共44页例例

8、7 7解：此极限为解：此极限为第26页/共44页例例8 8解解第27页/共44页例 9 9 计算解 因为不满足罗必塔法则的条件，所以不能应用罗必塔法则.不存在，第28页/共44页例例1010解：此极限为解：此极限为第29页/共44页解：此极限为例11.11.求第30页/共44页例例1212解：此极限为解：此极限为第31页/共44页例例1313解：此极限为解：此极限为第32页/共44页例例1414解解第33页/共44页例例1515解 定义域为(-,+)，极大值极小值单调区间为第34页/共44页例16.16.试问a a为何值时，函数 在处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值。第35页/共44

9、页例例1717证证第36页/共44页例例18 求函数y=f(x)=2x3+3x2-12x+14在-3,4上的最大值与最小值.解方程 f(x)=0，得到x1=-2,x2=1,由于解解 f(x)=6x2+6x-12=6(x+2)(x-1).f(-3)=23；f(-2)=34；f(1)=7；f(4)=142,比较可得 f(x)在x=4处取得它在-3,4上的最大值f(4)=142，在 x=1处取得它在-3,4上的最小值f(1)=7.第37页/共44页第38页/共44页第39页/共44页例20 有一块宽 2a 的长方形铁片，将宽的两个边缘向上折起，做成一个开口水槽，其截面为矩形，高为 x.问 x 取何值时水槽的流量最大？解 设两边各折起 x,则横截面的面积为从而x=a/2就是最大值点，此时S(x)为函数最大值。依题意知必存在最大值，第40页/共44页例例21 求曲线 y=2x3+3x2-12x+14的拐点.解方程 y=0，得因此，是曲线的拐点。第41页/共44页例例2222解解凹的凸的凹的拐点拐点拐点：凹凸区间：第42页/共44页解 定义域为(-,+)，例23 23 求曲线的凹凸区间和拐点.第43页/共44页感谢您的观看。第44页/共44页