第3讲有限元梁单元.ppt

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1、第二章第二章 杆单元与梁单元杆单元与梁单元第第3讲有限元梁单元讲有限元梁单元现在学习的是第1页，共37页2.3 2.3 简单梁单元简单梁单元一、离散化，节点位移与节点载荷一、离散化，节点位移与节点载荷对图对图(a)(a)直梁，根据结构和载荷情况，分为直梁，根据结构和载荷情况，分为3 3段，每段为一个单段，每段为一个单元。单元之间和端点是节点。梁单元节点的物理模型是元。单元之间和端点是节点。梁单元节点的物理模型是“焊接焊接”。梁上任一节点梁上任一节点i i处有处有2 2个位移分量：个位移分量：挠度挠度 及转角及转角 。现在学习的是第2页，共37页2.3 2.3 简单梁单元简单梁单元 一个节点位移

2、用列阵表示为：一个节点位移用列阵表示为：称为节点称为节点i i的的节点位移节点位移。对应节点位移分量，梁上任一节点对应节点位移分量，梁上任一节点i i的载荷也有的载荷也有2 2项：项：横向力横向力 和弯矩和弯矩 ，称为，称为广义力广义力。现在学习的是第3页，共37页2.3 2.3 简单梁单元简单梁单元梁上若有分布载荷，可近似地等效到节点上。梁上若有分布载荷，可近似地等效到节点上。称为节点称为节点i i的节点载荷。的节点载荷。结构上一个节点的载荷用列阵表示为：结构上一个节点的载荷用列阵表示为：现在学习的是第4页，共37页2.3 2.3 简单梁单元简单梁单元二、单元特性分析建立简单梁单元的单元刚度

3、方程v单元有2个节点，节点局部编号：i，j。每节点有2个位移分量，单元共有4个位移分量4个自由度；v分析一个从上述离散梁结构中取出的典型梁单元 e。单元长度l，弹性模量E，截面惯性矩为J。1 1、单元的描述、单元的描述现在学习的是第5页，共37页2.3 2.3 简单梁单元简单梁单元称为单元e的单元节点位移列阵（向量）。v 单元节点位移：v结构中一个单元一般在结构中一个单元一般在节点处节点处的截面上要受到结构其它部分对该单的截面上要受到结构其它部分对该单元的作用力，称为元的作用力，称为单元节点力单元节点力。该单元每节点。该单元每节点2 2个节点力分量：剪力个节点力分量：剪力q q，弯矩，弯矩m

4、m（分别与节点的（分别与节点的2 2个位移分量对应）。个位移分量对应）。现在学习的是第6页，共37页2.3 2.3 简单梁单元简单梁单元v注意：注意：1)如图所示，节点位移和节点力分量的正方向与单元局部坐标轴正方向一致。因此，节点力正方向与材料力学中内力正方向的定义不同！2)节点力是梁中的内力；节点载荷是梁结构在节点上受到的外力。称为单元e的单元节点力列阵（向量）。单元节点力：现在学习的是第7页，共37页2.3 2.3 简单梁单元简单梁单元 2、单元特性的建立v与杆单元类似，一个梁单元的变形是由节点位移决定的，对于一个受力与杆单元类似，一个梁单元的变形是由节点位移决定的，对于一个受力平衡的单元

5、，一定的节点位移总是与一定节点力相联系，这个关系就是平衡的单元，一定的节点位移总是与一定节点力相联系，这个关系就是单元的特性（刚度特性）。单元的特性（刚度特性）。v 下面根据材料力学和单元刚度矩阵元素物理意义建立梁单元特性。下面根据材料力学和单元刚度矩阵元素物理意义建立梁单元特性。在弹性、小变形前提下，显然，单元保持平衡时节点力和节点位移之间有在弹性、小变形前提下，显然，单元保持平衡时节点力和节点位移之间有线性关系：线性关系：v简记为：现在学习的是第8页，共37页2.3 2.3 简单梁单元简单梁单元上式就是梁单元的刚度方程。上式就是梁单元的刚度方程。称为单元刚度矩阵，其中每个元素都是常数。称为

6、单元刚度矩阵，其中每个元素都是常数。为了求刚度矩阵元素，在上式中假设：为了求刚度矩阵元素，在上式中假设：方便起见，节点力和节点位移分量用新的符号表示，刚度方程为方便起见，节点力和节点位移分量用新的符号表示，刚度方程为：（这里1，2，3，4是单元自由度序号）第第1 1列刚度元数就是第列刚度元数就是第1 1个节点位移分量为个节点位移分量为1 1，其他位移分量皆为，其他位移分量皆为0 0时所有节点力分量。时所有节点力分量。刚度方程现在学习的是第9页，共37页2.3 2.3 简单梁单元简单梁单元按上述物理意义求刚度矩阵元素：按上述物理意义求刚度矩阵元素：按材料力学悬臂梁变形公式求节点力如下：按材料力学

7、悬臂梁变形公式求节点力如下：挠度：挠度：转角：转角：联立解出：联立解出：再由梁单元的静力平衡条件得：再由梁单元的静力平衡条件得：梁单元位移至此已求出刚度矩阵的第至此已求出刚度矩阵的第1 1列元素。列元素。现在学习的是第10页，共37页2.3 2.3 简单梁单元简单梁单元再设：同理，由梁的变形公式和平衡条件可求得刚度矩阵的第二列元素：同理，由梁的变形公式和平衡条件可求得刚度矩阵的第二列元素：梁单元变形梁单元变形由刚度方程可得：由刚度方程可得：现在学习的是第11页，共37页2.3 2.3 简单梁单元简单梁单元同样的方法可以求出其余同样的方法可以求出其余2列元素，从而求出单元刚度矩阵：列元素，从而求

8、出单元刚度矩阵：显然，与弹簧和杆单元一样，该梁单元的刚度矩阵具有如下性质：显然，与弹簧和杆单元一样，该梁单元的刚度矩阵具有如下性质：1）对称性；）对称性；2）奇异性；）奇异性；3）主对角元素恒正）主对角元素恒正。v刚度矩阵求得后，单元特性就完全确定：刚度矩阵求得后，单元特性就完全确定：现在学习的是第12页，共37页2.3 2.3 简单梁单元简单梁单元v采用矩阵分块方法和运算规则，对梁单元的刚度方程按节点进行分块。采用矩阵分块方法和运算规则，对梁单元的刚度方程按节点进行分块。单元节点力列阵分块：单元节点力列阵分块：单元节点位移列阵分块：单元节点位移列阵分块：分块形式的单元刚度矩阵：分块形式的单元

9、刚度矩阵：上面每一子块均为上面每一子块均为21子列阵。子列阵。每一子块均为每一子块均为22子矩阵子矩阵 3、单元刚度方程的分块现在学习的是第13页，共37页2.3 2.3 简单梁单元简单梁单元v将上式按分块矩阵乘法展开，得两个矢量方程（共将上式按分块矩阵乘法展开，得两个矢量方程（共4个代数方程）：个代数方程）：因此，单元刚度方程分块形式表示为：因此，单元刚度方程分块形式表示为：v从上面方程可以看出梁单元刚度矩阵子块的物理意义：相关节点位移从上面方程可以看出梁单元刚度矩阵子块的物理意义：相关节点位移对对应节点力的贡献。对对应节点力的贡献。现在学习的是第14页，共37页v上面按分块形式表示的单元刚

10、度方程上面按分块形式表示的单元刚度方程节点力节点节点力节点位移关系在整体分析中集成单元特性时更加简洁，在有位移关系在整体分析中集成单元特性时更加简洁，在有限元分析中广泛采用。限元分析中广泛采用。2.3 2.3 简单梁单元简单梁单元现在学习的是第15页，共37页2.3 2.3 简单梁单元简单梁单元三、离散结构的整体分析设已知分块形式的各单元特性方程：设已知分块形式的各单元特性方程：现在学习的是第16页，共37页2.3 2.3 简单梁单元简单梁单元 以离散结构的各节点作为隔离体，以节点以离散结构的各节点作为隔离体，以节点2为例，建立其平衡方程。为例，建立其平衡方程。单元节点力的反作用力外载荷单元节

11、点力单元节点力v 节点节点2的受力分为两类：的受力分为两类：1）外载荷：）外载荷：2）单元（）单元（1）、（）、（2）上节点力的反作用力：）上节点力的反作用力：现在学习的是第17页，共37页2.3 2.3 简单梁单元简单梁单元v 由节点由节点2的静力平衡条件得：的静力平衡条件得：单元节点力的反作用力外载荷单元节点力单元节点力节点节点2 2的外载荷的外载荷=节点节点2 2对其所有相连单元的节点力之和（节点总内力）对其所有相连单元的节点力之和（节点总内力）也就是节点也就是节点2 2所受外载荷所受外载荷 要分配到相连的单元上。要分配到相连的单元上。现在学习的是第18页，共37页2.3 2.3 简单梁

12、单元简单梁单元v由前面给出的单元（由前面给出的单元（1 1）、（）、（2 2）分块形式单元）分块形式单元刚度方程代入节点刚度方程代入节点2 2的平衡方程：的平衡方程：现在学习的是第19页，共37页2.3 2.3 简单梁单元简单梁单元v同理，由节点3的平衡可得：v由节点1、4的平衡得：将上面4个节点的平衡方程合并，写成矩阵形式得：现在学习的是第20页，共37页2.3 2.3 简单梁单元简单梁单元上式简写为：上式简写为：结构节点位移列阵（结构节点位移列阵（结构节点位移列阵（结构节点位移列阵（8 18 18 18 1）结构节点载荷列阵（结构节点载荷列阵（结构节点载荷列阵（结构节点载荷列阵（8 18

13、18 18 1）结构总刚度矩阵（结构总刚度矩阵（结构总刚度矩阵（结构总刚度矩阵（8 88 88 88 8）结构（系统）有限元平衡方程结构（系统）有限元平衡方程现在学习的是第21页，共37页2.3 2.3 简单梁单元简单梁单元l结构总刚度矩阵也可以由各单元刚度矩阵扩大到整体规模后叠加而成，结构总刚度矩阵也可以由各单元刚度矩阵扩大到整体规模后叠加而成，方法同前面的弹簧单元和杆单元。方法同前面的弹簧单元和杆单元。l由于单元刚度矩阵在扩大和叠加过程中，其具有的性质（对称、奇异、由于单元刚度矩阵在扩大和叠加过程中，其具有的性质（对称、奇异、主对角元恒正）不变，因此结构总刚度矩阵仍然保持这些性质。主对角元

14、恒正）不变，因此结构总刚度矩阵仍然保持这些性质。l总刚度矩阵中有大量元素为总刚度矩阵中有大量元素为0 0，因此矩阵具有稀疏性，因此矩阵具有稀疏性l非零元素沿主对角线呈带状分布（节点编号满足一定条件）。非零元素沿主对角线呈带状分布（节点编号满足一定条件）。结构总刚度矩阵的讨论：现在学习的是第22页，共37页2.3 2.3 简单梁单元简单梁单元总之，从弹簧、直杆和梁结构有限元总刚度矩总之，从弹簧、直杆和梁结构有限元总刚度矩阵的特点可以归纳出结构有限元总刚度矩阵的阵的特点可以归纳出结构有限元总刚度矩阵的性质如下：性质如下：1 1）对称性；）对称性；2 2）奇异性；）奇异性；3 3）稀疏性；）稀疏性；

15、4 4）非零元素带状分布）非零元素带状分布现在学习的是第23页，共37页2.3 2.3 简单梁单元简单梁单元 结构有限元平衡方程的讨论：平衡方程左边总刚度矩阵与位移列阵之积等于结构中各节点的总节点力平衡方程左边总刚度矩阵与位移列阵之积等于结构中各节点的总节点力（各节点对相关单元作用力之叠加）；因此，总刚每行各子块表征相应节（各节点对相关单元作用力之叠加）；因此，总刚每行各子块表征相应节点位移对该行对应总节点力的贡献点位移对该行对应总节点力的贡献总刚子块的物理意义。总刚子块的物理意义。现在学习的是第24页，共37页2.3 2.3 简单梁单元简单梁单元平衡方程右端是各节点外载荷，左端是由节点位移和

16、单元刚度矩阵平衡方程右端是各节点外载荷，左端是由节点位移和单元刚度矩阵子块叠加计算得到的总节点力。因此，有限元平衡方程表征了系统子块叠加计算得到的总节点力。因此，有限元平衡方程表征了系统各节点所受外载荷与所受所有相关单元反作用总力（总节点力）之各节点所受外载荷与所受所有相关单元反作用总力（总节点力）之间的平衡。间的平衡。结构有限元平衡方程可以叙述为：结构有限元平衡方程可以叙述为：总节点力（内力）总节点力（内力）=节点外载荷。节点外载荷。现在学习的是第25页，共37页2.3 2.3 简单梁单元简单梁单元对于特定结构，方程中必存在已知位移和相应的未知载荷对于特定结构，方程中必存在已知位移和相应的未

17、知载荷（支反力），因此，平衡方程求解前必须进行约束处理，分（支反力），因此，平衡方程求解前必须进行约束处理，分离出关于未知位移的方程进行求解。然后再用求出的位移，离出关于未知位移的方程进行求解。然后再用求出的位移，通过剩余方程求出支反力。通过剩余方程求出支反力。现在学习的是第26页，共37页2.4 2.4 平面内一般梁单元平面内一般梁单元拉伸、弯曲组合拉伸、弯曲组合单元变形特征单元变形特征节点位移分量节点位移分量节点载荷分量节点载荷分量平面梁单元平面梁单元整体节点位移整体节点位移整体节点载荷整体节点载荷节点自由度：节点自由度：3 3一、单元与节点一、单元与节点平面刚架平面刚架模拟模拟现在学习的

18、是第27页，共37页单元有单元有2个节点：个节点：i，j局部坐标系下节点位移分量：局部坐标系下节点位移分量：轴向位移：轴向位移：横向挠度：横向挠度：转角：转角：局部坐标系下节点力分量：局部坐标系下节点力分量：轴向力：轴向力：横向剪力：横向剪力：弯矩：弯矩：2.4 2.4 平面内一般梁单元平面内一般梁单元 单元描述：单元描述：二、局部坐标系下平面梁单元刚度方程二、局部坐标系下平面梁单元刚度方程现在学习的是第28页，共37页单元有单元有6个位移分量个位移分量 6个自由度个自由度单元节点位移列阵：单元节点位移列阵：单元节点力列阵：单元节点力列阵：2.4 2.4 平面内一般梁单元平面内一般梁单元 单元

19、描述：单元描述：现在学习的是第29页，共37页2.4 2.4 平面内一般梁单元平面内一般梁单元 建立单元特性方程v在小变形假设下，梁的轴向变形和弯曲变形互不偶合。可以分别研究两种变形模式下的刚度特性。v因此，组合变形下的平面梁单元刚度方程可以由该局部坐标系下的轴向变形刚度方程（相当于一维杆单元）和弯曲变形刚度方程（相当于简单梁单元）叠加而成：现在学习的是第30页，共37页2.4 2.4 平面内一般梁单元平面内一般梁单元vv 上面刚度方程简写为：上面刚度方程简写为：分块形式：分块形式：其中：其中：刚度矩阵一个子块：刚度矩阵一个子块：现在学习的是第31页，共37页2.4 2.4 平面内一般梁单元平

20、面内一般梁单元三、整体坐标系下刚度矩阵：坐标变换三、整体坐标系下刚度矩阵：坐标变换 局部坐标系下节点位移：局部坐标系下节点位移：整体坐标系下节点位移：整体坐标系下节点位移：节点位移矢量坐标变换：节点位移矢量坐标变换：考虑到节点转角考虑到节点转角 不变不变简写简写节点向量变换矩阵：节点向量变换矩阵：现在学习的是第32页，共37页2.4 2.4 平面内一般梁单元平面内一般梁单元 单元节点位移列阵的变换：单元节点位移列阵的变换：简写简写单元坐标变换矩阵单元坐标变换矩阵 单元节点力列阵的变换：单元节点力列阵的变换：节点力矢量与节点位移矢量满节点力矢量与节点位移矢量满足相同的坐标变换关系。足相同的坐标变

21、换关系。现在学习的是第33页，共37页2.4 2.4 平面内一般梁单元平面内一般梁单元 单元刚度矩阵的坐标变换：单元刚度矩阵的坐标变换：vv将节点位移和节点力矢量坐标变换式代入局部坐标系下单元刚度方程：将节点位移和节点力矢量坐标变换式代入局部坐标系下单元刚度方程：现在学习的是第34页，共37页2.4 2.4 平面内一般梁单元平面内一般梁单元四、平面刚架的有限元整体分析四、平面刚架的有限元整体分析平面刚架整体分析的原理与弹簧系统、桁架、直梁的整体分析相同。根据每个节点外载荷与结构的总节点力平衡得到系统的有限元平衡方程，再引入约束条件后求解。总刚度矩阵由总体坐标下各单元刚度矩阵叠加得到：系统平衡方

22、程：系统平衡方程：现在学习的是第35页，共37页2.5 2.5 三维空间梁单元简介三维空间梁单元简介一、单元功能：模拟三维刚架一、单元功能：模拟三维刚架二、单元特性分析二、单元特性分析基本思路与平面梁单元相同：基本思路与平面梁单元相同：先在局部坐标系下建立单元特性先在局部坐标系下建立单元特性方程，再变换到总体坐标系下。方程，再变换到总体坐标系下。局部坐标系下节点位移：局部坐标系下节点位移：单元有单元有1212个自由度个自由度 总体坐标系下节点位移：总体坐标系下节点位移：现在学习的是第36页，共37页2.5 2.5 三维空间梁单元简介三维空间梁单元简介 局部坐标系下单元刚度矩阵v三维梁单元的变形模式为：轴向拉伸、2个主平面内弯曲、扭转变形的组合。v前面已经建立了局部坐标系下杆、简单梁的单元特性方程。利用材料力学中的扭转理论，按同样原理得到下列局部坐标系下单元的扭转刚度方程：v 由于在小变形条件下上述变形互不偶合，分别建立这三种变形的 刚度特性后进行拼装就可得到局部坐标系下三维梁单元的组合刚度特性。包括：一个拉压刚度矩阵、2个简单梁刚度矩阵、1个扭转刚度矩阵。现在学习的是第37页，共37页