311空间向量及其加减运算课件.pptx

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1、复习回顾：平面向量1.定义：既有大小又有方向的量。几何表示法:用有向线段表示字母表示法：用小写字母表示，或者用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。相等向量：长度相等且方向相同的向量ABCD第1页/共45页已知F1=2000N,F2=2000N,F1F2F3F3=2000N,这三个力两两之间的夹角都为600,它们的合力的大小为多少N?这需要进一步来认识空间中的向量平面中存在向量,空间中是否也有向量?第2页/共45页3向量加法的平行四边形法则ab向量加法的三角形法则ba向量减法的三角形法则aba ba ba b2、空间向量的加法和减法运算法则、空间向量的加法和减法运算法则回顾：平面向量的加、减

2、法运算法则：第3页/共45页44思考思考1：在平面中，一个向量经过平移后和原向量相等，在在平面中，一个向量经过平移后和原向量相等，在 空间向量中呢？空间向量中呢？思考思考2：空间任意两个向量都可以平移成过空间任意一点的空间任意两个向量都可以平移成过空间任意一点的 两个向量吗？两个向量吗？aObab结论：空间任意两个向量的运算都可转化为共面向量的运算.思考思考3：空间两个向量的加减运算能否转化为平面内两个向空间两个向量的加减运算能否转化为平面内两个向 量的运算？量的运算？空间向量的加减运算和平面有什么联系？空间向量的加减运算和平面有什么联系？第4页/共45页5空间向量的加减运算平行四边形法则三角

3、形法则第5页/共45页66推广:（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量,即（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则这些向量的和为零向量，即A A1 1A An nA A2 2A1AnA2第6页/共45页773、空间向量的加法运算律回顾：平面向量的加法运算律回顾：平面向量的加法运算律加法交换律：加法交换律：加法结合律：加法结合律：空间向量中还成立吗？思考：思考：空间空间任意任意两个两个向量可都转化向量可都转化为为共面向量，共面向量，那么空间任意那么空间任意三个三个向向量也都能转化为共面向量吗？量也都能转化为共面向量吗？第7页/共45页88 3、空间向量的

4、加法运算律加法交换律：加法交换律：空间向量中显然成立空间向量中显然成立加法结合律：加法结合律：abcab+ab+c+()abcbc+ab+c+()第8页/共45页9第9页/共45页10第10页/共45页解：ABCDABCD 例题第11页/共45页12ABCDABCD第12页/共45页变式变式2 2：已知平行六面体：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，求满足下列各式的求满足下列各式的x x的值。的值。ABCDA1B1C1D1第13页/共45页变式变式2 2：已知平行六面体：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1

5、1，求满足下列各式的求满足下列各式的x x的值。的值。ABCDA1B1C1D1第14页/共45页3.1.2 3.1.2 空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算第15页/共45页16 以上运算称为空间向量的数乘运算.一、一、空间向量的数乘运算定义：第16页/共45页（4 4）空间共线向量定理：）空间共线向量定理：对空间任意两个向量有且只有一个实数 ，使思考：这个定理有什么作用？1、判定两个向量是否共线2、判定三点是否共线第17页/共45页3.1.3 3.1.3 空间向量的数量积空间向量的数量积第18页/共45页19 已知两个非零向量已知两个非零向量a a与与b b，它们的夹角为，它们的夹角为，我们

6、把数量，我们把数量|a a|b b|cos|cos叫做叫做a a与与b b的数的数量积（或内积），记作量积（或内积），记作abab.ab=|a|b|cos规定规定:零向量与任一向量的数量积为零向量与任一向量的数量积为0 0。回顾：平面向量数量积定义：类似地，空间向量是否也有相应的数量积运算类似地，空间向量是否也有相应的数量积运算呢？呢？第19页/共45页1.1.两个空间向量的夹角的定义两个空间向量的夹角的定义:AB第20页/共45页2.两个空间向量的数量积定义注注:两个向量的数量积是数量，而不是向量两个向量的数量积是数量，而不是向量.规定规定:零向量与任意向量的数量积等于零零向量与任意向量的数

7、量积等于零.第21页/共45页3.两个空间向量数量积的性质注：性质 是证明两向量垂直的依据；性质 实现了向量与向量模之间的转换；第22页/共45页例2.在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直（三垂线定理）第23页/共45页24例2.在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直（三垂线定理）第24页/共45页25第25页/共45页3.1.4空间向量的正交 分解及其坐标表示 第26页/共45页都叫做都叫做基向量基向量叫做空间的一个叫做空间的一个基底基底第27页/共45页xyzkijQPO如果如果i,j,k是空间三个两两垂直的

8、向量，对空间是空间三个两两垂直的向量，对空间任一个向量任一个向量p，存在一个有序实数组使得，存在一个有序实数组使得p=xi+yj+zk.我们称我们称xi,yj,zk为向量为向量p在在i,j,k上的分向量。上的分向量。第28页/共45页 单位正交基底：单位正交基底：如果空间的一个基底的三如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为个基向量互相垂直，且长都为1，则这个，则这个基底叫做基底叫做单位正交基底单位正交基底,常用常用 表示表示 正交基底：正交基底：空间的一个基底的三个空间的一个基底的三个基向量互相垂直。基向量互相垂直。二、空间直角坐标系第29页/共45页二、空间直角坐标系二、空间直角坐

9、标系 在空间选定一点在空间选定一点O和一个单位正交和一个单位正交基底基底 ,以点以点O为原点，分别为原点，分别 以以 的正方向建立三条数轴：的正方向建立三条数轴：x轴、轴、y轴、轴、z轴轴,这样就建立了一个空这样就建立了一个空间直角坐标系间直角坐标系Oxyz.第30页/共45页三、空间向量的正交分解及其坐标表示三、空间向量的正交分解及其坐标表示xyzOijkP记作记作 =(x,y,z)由空间向量基本定理，对于空由空间向量基本定理，对于空间任一间任一向量向量 存在唯一的有序存在唯一的有序实数组实数组(x,y,z)使使 PP第31页/共45页1已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一

10、组向量是()A.2a，ab，a2bB2b，ba，b2aC.a,2b，bc Dc，ac，ac第32页/共45页CDBCBADAEFxyz练习 2第33页/共45页BANCOMQP例例2、如图，、如图，M，N分别是四面体分别是四面体OABC的边的边OA，BC的中点，的中点，P，Q是是MN的三等分点。用向量的三等分点。用向量 表示表示 和和 。第34页/共45页3.1.5空间向量运算的坐标表示第35页/共45页一、向量的直角坐标运算第36页/共45页1.1.距离公式距离公式（1 1）向量的长度（模）公式）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线

11、的长度。的对角线的长度。二、距离与夹角第37页/共45页2.2.两个向量夹角公式两个向量夹角公式注意：注意：（1）当）当 时，同向；时，同向；（2）当）当 时，反向；时，反向；（3）当）当 时，。时，。思考：当思考：当 及及 时，夹角在什么范围内？时，夹角在什么范围内？第38页/共45页在空间直角坐标系中，已知、在空间直角坐标系中，已知、，则，则（3）空间两点间的距离公式第39页/共45页4.设则 ，AB的中点M的坐标为 第40页/共45页例1.设 (1,5，1)，(2,3,5)(1)若()(3 )，求 ；(2)若()(3 )，求 .第41页/共45页第42页/共45页练习练习1:1:已知已知 垂直于正方形垂直于正方形 所在的平面所在的平面,分别分别是是 的中点的中点,并且并且 ,求证求证:证明证明:分别以分别以 为坐标向量建立空间直角坐标系为坐标向量建立空间直角坐标系 则则 第43页/共45页解：设正方体的棱长为解：设正方体的棱长为1，如图建，如图建立空间直角坐标系，则立空间直角坐标系，则例例2如图如图,在正方体中，在正方体中，求与所成的角的余弦值，求与所成的角的余弦值.第44页/共45页2011-12-645谢谢大家观赏！第45页/共45页