高数上D映射与函数.ppt

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1、高数上D映射与函数现在学习的是第1页，共26页1.分析基础:函数,极限,连续 2.微积分学:一元微积分(上册)(下册)3.向量代数与空间解析几何4.无穷级数5.常微分方程主要内容主要内容多元微积分现在学习的是第2页，共26页如何学习高等数学如何学习高等数学?1.认识高等数学的重要性,培养浓厚的学习兴趣.2.学数学最好的方式是做数学.聪明在于学习聪明在于学习,天才在于积累天才在于积累.学而优则用学而优则用,学而优则创学而优则创.由薄到厚由薄到厚,由厚到薄由厚到薄.马克思马克思 恩格斯恩格斯要辨证而又唯物地了解自然,就必须熟悉数学.一门科学,只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步.第一节

2、 华罗庚华罗庚现在学习的是第3页，共26页第一章分析基础分析基础 函数函数 极限极限 连续连续 函数与极限现在学习的是第4页，共26页 第一章 二、映射二、映射 三、函数三、函数 一、集合一、集合第一节映射与函数现在学习的是第5页，共26页元素 a 属于集合 M,记作元素 a 不属于集合 M,记作一、一、集合集合1.定义及表示法定义及表示法定义定义 1.具有某种特定性质的事物的总体称为集合集合.组成集合的事物称为元素元素.不含任何元素的集合称为空集空集,记作 .(或).注注:M 为数集 表示 M 中排除 0 的集;表示 M 中排除 0 与负数的集.简称集集简称元元现在学习的是第6页，共26页表

3、示法表示法：(1)列举法：按某种方式列出集合中的全体元素.例例:有限集合自然数集(2)描述法：x 所具有的特征例例:整数集合或有理数集 p 与 q 互质实数集合 x 为有理数或无理数开区间闭区间现在学习的是第7页，共26页无限区间点的 邻域邻域其中,a 称为邻域中心,称为邻域半径.半开区间去心 邻域邻域左左 邻域邻域:右右 邻域邻域:现在学习的是第8页，共26页是 B 的子集子集,或称 B 包含 A,2.集合之间的关系及运算集合之间的关系及运算定义定义2.则称 A若且则称 A 与 B 相等相等,例如,显然有下列关系:,若设有集合记作记作必有现在学习的是第9页，共26页定义定义 3.给定两个集合

4、 A,B,并集交集且差集且定义下列运算:余集直积特例:记为平面上的全体点集或现在学习的是第10页，共26页二、二、映射映射某校学生的集合某校学生的集合 学号的集合学号的集合 按一定规则查号某班学生的集合某班学生的集合 某教室座位某教室座位 的集合的集合按一定规则入座引例引例1.现在学习的是第11页，共26页引例引例2.引例引例3.(点集)(点集)向 y 轴投影现在学习的是第12页，共26页定义定义4.设 X,Y 是两个非空集合,若存在一个对应规则 f,使得有唯一确定的与之对应,则称 f 为从 X 到 Y 的映射映射,记作元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的像像,记作元素 x 称为元素 y

5、在映射 f 下的原像原像.集合 X 称为映射 f 的定义域定义域;Y 的子集称为 f 的 值域值域.注意注意:1)映射的三要素 定义域,对应规则,值域.2)元素 x 的像 y 是唯一的,但 y 的原像不一定唯一.现在学习的是第13页，共26页对映射若,则称 f 为满射满射;若有 则称 f 为单射单射;若 f 既是满射又是单射,则称 f 为双射双射 或一一映射一一映射.现在学习的是第14页，共26页定义域三、函数三、函数1.函数的概念函数的概念 定义定义5.设数集则称映射为定义在D 上的函数,记为称为值域 函数图形函数图形:自变量因变量现在学习的是第15页，共26页(对应规则)(值域)(定义域)

6、例如,反正弦主值 定义域定义域 对应规律对应规律的表示方法:解析法、图像法、列表法使表达式或实际问题有意义的自变量集合.定义域值域又如,绝对值函数定义域值 域对无实际背景的函数,书写时可以省略定义域.对实际问题,书写函数时必须写出定义域；现在学习的是第16页，共26页例例4.已知函数解解:及写出 f(x)的定义域及值域,并求f(x)的定义域 值域 现在学习的是第17页，共26页2.函数的几种特性函数的几种特性设函数且有区间(1)有界性有界性使称 使称 说明说明:还可定义有上界、有下界、无界.(2)单调性单调性为有界函数.在 I 上有界.使若对任意正数 M,均存在 则称 f(x)无界无界.称 为

7、有上界有上界称 为有下界有下界当称 为 I 上的称 为 I 上的单调增函数;单调减函数.(见 P11)现在学习的是第18页，共26页(3)奇偶性奇偶性且有若则称 f(x)为偶函数;若则称 f(x)为奇函数.说明说明:若在 x=0 有定义,为奇函数奇函数时,则当必有例如,偶函数现在学习的是第19页，共26页又如,奇函数说明:给定 则 偶函数偶函数 奇函数奇函数 现在学习的是第20页，共26页(4)周期性周期性且则称为周期函数,若称 l 为周期(一般指最小正周期).周期为 周期为注注:周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数狄利克雷函数x 为有理数x 为无理数现在学习的是第21页，共26页3.

8、反函数与复合函数反函数与复合函数(1)反函数的概念及性质若函数为单射,则存在一新映射习惯上,的反函数记成称此映射为 f 的反函数.,其反函数(减)(减).1)yf(x)单调递增且也单调递增 性质:使其中现在学习的是第22页，共26页2)函数与其反函数的图形关于直线对称.例如,对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.指数函数现在学习的是第23页，共26页(2)复合函数 则设有函数链称为由,确定的复合函数,u 称为中间变量.注意:构成复合函数的条件 不可少.例如,函数链:但可定义复合函数时,虽不能在自然域 R下构成复合函数,可定义复合函数当改现在学习的是第24页，共26页两个以上函数也可构成复合函数.例如,可定义复合函数:约定约定:为简单计,书写复合函数时不一定写出其定义域,默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件.现在学习的是第25页，共26页4.初等函数初等函数(1)基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(2)初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数.例如,并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数.可表为故为初等函数.现在学习的是第26页，共26页