高数第九章多元函数的基本概念.ppt

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1、高数第九章多元函数的基本概念现在学习的是第1页，共44页 第九章 第一节第一节一、区域一、区域二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的四、多元函数的连续性性机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 现在学习的是第2页，共44页一、一、区域区域1.邻域域点集称为点 P0 的 邻域域.例如例如,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)说明：明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成点 P0 的去心去心邻域域记为机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第3页，共44页在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为。因为

2、方邻域与圆邻域可以互相包含.机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第4页，共44页2.区域区域(1)内点、外点、边界点设有点集 E 及一点 P:若存在点 P 的某邻域 U(P)E,若存在点 P 的某邻域 U(P)E=,若对点 P 的任一任一邻域 U(P)既含 E中的内点也含 E则称 P 为 E 的内点内点；则称 P 为 E 的外点外点;则称 P 为 E 的边界点界点 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 的外点,显然,E 的内点必属于 E,E 的外点必不属于 E,E 的边界点可能属于 E,也可能不属于 E.现在学习的是第5页，共44页(2)聚点聚点若对任意给定的 ,点P 的去心机动

3、目录 上页 下页 返回 结束 邻域内总有E 中的点,则称 P 是 E 的聚点聚点.聚点可以属于 E,也可以不属于 E(因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为 E 的导集集.E 的边界点)现在学习的是第6页，共44页D(3)开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；若点集 E E,则称 E 为闭集；若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连,开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称 D 是连通的;连通的开集称为开区域,简称区域;机动 目录 上页 下页 返回 结束。E 的边界点的全体称为 E 的边界,记作E;现在学习的是第7页，共44页例如，例如，在平面上开区域闭区域机动

4、 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第8页，共44页 整个平面 点集 是开集，是最大的开域,也是最大的闭域；但非区域.机动 目录 上页 下页 返回 结束 o 对区域 D,若存在正数 K,使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K,则称 D 为有界域有界域,界域界域.否则称为无无现在学习的是第9页，共44页3.n 维空空间n 元有序数组的全体称为 n 维空空间,n 维空间中的每一个元素称为空间中的称为该点的第 k 个坐坐标.记作即机动 目录 上页 下页 返回 结束 一个点点,当所有坐标称该元素为 中的零元,记作 O.现在学习的是第10页，共44页的距离距离记作中点 a 的 邻域域为机

5、动 目录 上页 下页 返回 结束 规定为 与零元 O 的距离为现在学习的是第11页，共44页二、多元函数的概念二、多元函数的概念 引例引例:圆柱体的体积 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第12页，共44页定定义1.设非空点集点集 D 称为函数的定定义域域;数集称为函数的值域域 .特别地,当 n=2 时,有二元函数当 n=3 时,有三元函数映射称为定义在 D 上的 n 元函数元函数,记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第13页，共44页例如,二元函数定义域为圆域说明明:二元函数 z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点

6、的上半球面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 的图形一般为空间曲面 .三元函数 定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球现在学习的是第14页，共44页三、多元函数的极限三、多元函数的极限定定义2.设 n 元函数点,则称 A 为函数(也称为 n 重极限)当 n=2 时,记二元函数的极限可写作：P0 是 D 的聚若存在常数 A,对一记作都有机动 目录 上页 下页 返回 结束 对任意正数 ,总存在正数,切现在学习的是第15页，共44页例例1.设求证：证:故总有机动 目录 上页 下页 返回 结束 要证 现在学习的是第16页，共44页例例2.设求证：证：故总有要证机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在

7、学习的是第17页，共44页例例3 3 求极限求极限 解解其中其中现在学习的是第18页，共44页例例4 4 证明证明 不存在不存在 证证取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在现在学习的是第19页，共44页不存在不存在.观察观察播放播放现在学习的是第20页，共44页 若当点趋于不同值或有的极限不存在，解解:设 P(x,y)沿直线 y=k x 趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则可以断定函数极限则有k 值不同极限不同不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以不同方式趋于不存在.例例3.讨论函数函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第21页，共44页

8、例例4.求解解:因而此函数定义域不包括 x,y 轴则故机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第22页，共44页仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.二重极限不同不同.如果它们都存在,则三者相等.例如例如,显然与累次极限但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在.例3 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第23页，共44页四四、多元函数的多元函数的连续性性 定定义3.设 n 元函数定义在 D 上,如果函数在 D 上各点处都连续,则称此函数在 D 上如果存在否则称为不连续,此时称为间断点.则称 n 元函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续.连续,现在学习的是第24页，共44页

9、例例5 5 讨论函数讨论函数在在(0,0)处的连续性处的连续性解解取取现在学习的是第25页，共44页故函数在故函数在(0,0)处连续处连续.当当 时时现在学习的是第26页，共44页例例6 6 讨论函数讨论函数在在(0,0)的连续性的连续性解解取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续现在学习的是第27页，共44页又如又如,函数上间断.在圆周机动 目录 上页 下页 返回 结束 结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.现在学习的是第28页，共44页定理定理：若 f(P)在有界闭域 D 上连续,则机动 目录 上页 下页 返回 结束*(

10、4)f(P)必在D 上一致连续.在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m;(3)对任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)(一致连续性定理)闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略)现在学习的是第29页，共44页解解:原式例例5.求例例6.求函数的连续域.解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第30页，共44页内容小内容小结1.区域 邻域:区域连通的开集 2.多元函数概念n 元函数常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第31页，共44页有3.多元函数的极限4.多元函数的连续性1)函数2)闭域上的多元连续函数的性

11、质:有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函数在定义区域内连续P11 题 2;4;5(3),(5)(画图);8P72 题 3;4机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与思考与练习现在学习的是第32页，共44页解答提示解答提示:P11 题 2.称为二次齐次函数.P11 题 4.P11 题 5(3).定义域P11 题 5(5).定义域机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第33页，共44页P12 题 8.间断点集P72 题 3.定义域P72 题 4.令 y=k x，若令机动 目录 上页 下页 返回 结束,则 可见极限不存在现在学习的是第34页，共44页机动 目录 上页 下页 返回

12、 结束 总结1.计算多元函数的极限常用方法(1)利用不等式,使用两边夹法则；(2)变量替换化成已知极限,或化为一元函数的极限；(3)利用初等函数的连续性,利用极限的四则运算；(4)化为极坐标形式求极限(5)若事先能猜测出极限值,可用极限的定义进行证明.现在学习的是第35页，共44页解解:例例1.求机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第36页，共44页解解:例例2.求机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.求解解:用极坐标.现在学习的是第37页，共44页解解:例例4.求机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第38页，共44页解解:例例5.求机动 目录 上页 下页 返回

13、结束 现在学习的是第39页，共44页机动 目录 上页 下页 返回 结束 总结2.证明二元函数极限不存在常用方法(1)证明某个特殊路径的极限不存在；(2)证明两个特殊路径的极限不相等；(3)证明两个累次极限不相等；(4)化为极坐标形式,证明极限跟幅角有关；现在学习的是第40页，共44页机动 目录 上页 下页 返回 结束 在点(0,0)的极限.例例1.讨论函数解解:注意到当 y=-x 时,分母为0.取则在(0,0)点极限不存在.现在学习的是第41页，共44页机动 目录 上页 下页 返回 结束 在点(0,0)的极限.例例2.讨论函数解解:注意到在(0,0)点极限不存在.现在学习的是第42页，共44页 作作业P63 3-10第二节 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第43页，共44页备用用题1.设求解法解法1 令机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第44页，共44页