高等数学D二重积分概念.ppt

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1、高等数学D二重积分概念现在学习的是第1页，共23页 多元函数多元函数积分学分学,包括二重包括二重积分、三重分、三重积分分,曲曲线积分与曲面分与曲面积分分.它它们是定是定积分概念的推广分概念的推广.与一元函数定与一元函数定积分有关的是被分有关的是被积函数和函数和积分区分区间,当被当被积函数函数为二元或三元函数二元或三元函数,积分范分范围为平面或空平面或空间区域区域时,这种种积分就是二重或三重分就是二重或三重积分分;当当积分范分范围是一是一条曲条曲线或一或一块曲面曲面时,那就是曲那就是曲线积分或曲面分或曲面积分分.上页 下页现在学习的是第2页，共23页第8.1节二重积分的概念与性质 第八章 上页

2、下页8.1.1 8.1.1 二重二重积分的概念分的概念 8.1.2 8.1.2 二重二重积分的性分的性质1 1、理解二重、理解二重积分的概念分的概念;2 2、了解重、了解重积分的性分的性质,理解二重理解二重积分的中分的中值定理定理.基本要求基本要求 现在学习的是第3页，共23页解法解法:类似定似定积分解决分解决问题的思想的思想:一、引例一、引例1.曲曲顶柱体的体柱体的体积 给定曲定曲顶柱体柱体:底：底：xoy 面上的面上的闭区域区域 D顶:连续曲面曲面侧面：面：以以 D 的的边界界为准准线,母母线平行于平行于 z 轴的柱面，的柱面，求其体求其体积.“大化小大化小,以不以不变代代变,求近似和求近

3、似和,取取 极限极限”上页 下页现在学习的是第4页，共23页1)“大化小大化小”用用任意任意曲曲线网分网分D为 n 个区域个区域以它以它们为底把曲底把曲顶柱体分柱体分为 n 个个2)“以不以不变代代变”在每个在每个3)“3)“求近似和求近似和”则中中任取任取一点一点小曲小曲顶柱体柱体(也表面也表面积)上页 下页现在学习的是第5页，共23页4)“4)“取极限取极限”令令上页 下页现在学习的是第6页，共23页2.非均匀平面薄片的非均匀平面薄片的质量量 有一个平面薄片有一个平面薄片,在在 xoy 平面上占有区域平面上占有区域 D,计算算该薄片的薄片的质量量 M.度度为设D 的面的面积为 ,则若若非常

4、数非常数,仍可用仍可用其面密其面密“大化小大化小,以不以不变代代变,求近似和求近似和,求求 极限极限”解决解决.1)“大化小大化小”用用任意任意曲曲线网分网分D 为 n 个小区域个小区域相相应把薄片也分把薄片也分为小区域小区域.上页 下页现在学习的是第7页，共23页2)“以不以不变代代变”中中任取任取一点一点3)“求近似和求近似和”4)“取极限取极限”则第第 k 小小块的的质量量上页 下页现在学习的是第8页，共23页两个两个问题的共性：的共性：(1)解决解决问题的步的步骤相同相同(2)所求量的所求量的结构式相同构式相同“大化小大化小,以不以不变代代变,求近似和求近似和,取极限取极限”曲曲顶柱体

5、体柱体体积:平面薄片的平面薄片的质量量:上页 下页现在学习的是第9页，共23页二、二重二、二重积分的定分的定义及可及可积性性定定义:将区域将区域 D 任意任意分成分成 n 个小区域个小区域任取任取一点一点若存在一个常数若存在一个常数 I,使使可可积,在在D上的上的二重二重积分分.积分和分和积分域分域被被积函数函数积分表达式分表达式面面积元素元素记作作是定是定义在有界区域在有界区域 D上的有界函数上的有界函数,上页 下页现在学习的是第10页，共23页引例引例1中曲中曲顶柱体体柱体体积:引例引例2中平面薄板的中平面薄板的质量量:如果如果 在在D上可上可积,也常也常二重二重积分分记作作这时分区域分区

6、域D,因此面因此面积元素元素可用平行坐可用平行坐标轴的直的直线来划来划 记作作上页 下页现在学习的是第11页，共23页二重二重积分存在定理分存在定理:若函数若函数定理定理2.(证明略明略)定理定理1.在在D上可上可积.限个点或有限个光滑曲限个点或有限个光滑曲线外都外都连续,积.在有界在有界闭区域区域 D上上连续,则若有界函数若有界函数在有界在有界闭区域区域 D 上除去有上除去有 例如例如,在在D:上二重上二重积分存在分存在;在在D 上上 二重二重积分不存在分不存在.上页 下页现在学习的是第12页，共23页三、二重三、二重积分的几何意分的几何意义与物理意与物理意义:上页 下页当被当被积函数大于零

7、函数大于零时,二重二重积分是曲分是曲顶柱体的体柱体的体积当被当被积函数小于零函数小于零时，几何意几何意义：的平面薄片的的平面薄片的质量量.表示密度表示密度为物理意物理意义：特殊地：特殊地：若若 为D的面的面积，则二重二重积分是曲分是曲顶柱体体柱体体积的的 负值现在学习的是第13页，共23页8.1.2、二重、二重积分的性分的性质(k 为常数常数)为D 的面的面积,则 上页 下页现在学习的是第14页，共23页特特别,由于由于则5.若在若在D上上6.设D 的面的面积为 ,则有有 上页 下页现在学习的是第15页，共23页7.(二重二重积分的中分的中值定理定理)证:由性由性质6 可知可知,由由连续函数介

8、函数介值定理定理,至少有一点至少有一点在在闭区域区域D上上 为D 的面的面积,则至少存在一点至少存在一点使使使使连续,因此因此 上页 下页现在学习的是第16页，共23页当曲当曲顶柱体的柱体的竖坐坐标连续变化化时,曲曲顶柱体的体柱体的体积 积分中分中值定理的几何意定理的几何意义：等于以等于以 为高的同底平高的同底平顶柱体的体柱体的体积.称称为平均高度平均高度.在在D上的上的 上页 下页现在学习的是第17页，共23页例例1.比比较下列下列积分的大小分的大小:其中其中解解:积分域分域 D 的的边界界为圆周周它与它与 x 轴交于点交于点(1,0),而域而域 D 位位从而从而于直于直线的上方的上方,故在

9、故在 D 上上 上页 下页现在学习的是第18页，共23页例例2.估估计下列下列积分之分之值解解:D 的面的面积为由于由于积分性分性质5即即:1.96 I 2D上页 下页现在学习的是第19页，共23页例例3.判断判断积分分的正的正负号号.解解:分分积分域分域为则原式原式=猜想猜想结果果为负 但不好估但不好估计.舍去此舍去此项上页 下页现在学习的是第20页，共23页内容小内容小结1.二重二重积分的定分的定义2.二重二重积分的性分的性质(与定与定积分性分性质相似相似)上页 下页现在学习的是第21页，共23页被被积函数函数相同相同,且且非非负,思考与思考与练习解解:由它由它们的的积分域范分域范围可知可知1.比比较下列下列积分分值的大小关系的大小关系:上页 下页现在学习的是第22页，共23页2.设D 是第二象限的一个有界是第二象限的一个有界闭域域,且且 0 y 1,则的大小的大小顺序序为()提示提示:因因 0 y 1,故故故在故在D上有上有上页 下页现在学习的是第23页，共23页