高等数学函数的极限.ppt

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1、高等数学函数的极限高等数学函数的极限现在学习的是第1页，共30页1、函数极限的定义数列数列(特殊的函数特殊的函数)的极限的极限函数的极限函数的极限在自变量的在自变量的某个变化过程某个变化过程中，如中，如果函数值无限接近于某个确定的数，果函数值无限接近于某个确定的数，则这个确定的数就称为在则这个确定的数就称为在这一变这一变化过程化过程中的中的函数的极限函数的极限.现在学习的是第2页，共30页(一一)自变量趋向无穷大时函数的极限自变量趋向无穷大时函数的极限1、记法记法：若：若 且沿且沿x 轴正向趋于轴正向趋于，则称，则称 x趋于正无穷大，记为趋于正无穷大，记为 同理：若同理：若 且沿且沿x 轴负向

2、趋于轴负向趋于，则称，则称 x趋于负无穷大，记为趋于负无穷大，记为 若若，则称，则称 x趋于无穷大，记为趋于无穷大，记为 例：根据函数例：根据函数 的图形考虑上述自变量的的图形考虑上述自变量的 变化过程中函数值变化过程中函数值 y 的变化趋势的变化趋势 现在学习的是第3页，共30页2、定义定义1：若当：若当 时时,的值与常数的值与常数 无限地接近，则称当无限地接近，则称当 时，时，以以A为极限，记作为极限，记作 定义定义2(解析定义解析定义)：若存在常数：若存在常数A,对对，当，当 时，都有时，都有，则称当，则称当 时，时，以以A为极限，记作为极限，记作 同理可以定义同理可以定义 和和 时函数

3、极限的定义及记法时函数极限的定义及记法.现在学习的是第4页，共30页现在学习的是第5页，共30页3、几何解释几何解释:现在学习的是第6页，共30页类似于前面的分析可以得出类似于前面的分析可以得出 注注：x 趋于无穷大表示它既趋于正无穷大，又趋于趋于无穷大表示它既趋于正无穷大，又趋于负无穷大负无穷大定理定理1：存在的存在的充分必要条件充分必要条件是是 和和 均存在且相等均存在且相等 证明：证明：用定义证明用定义证明.现在学习的是第7页，共30页例例1证证现在学习的是第8页，共30页例例2：观察反正切函数的图像观察反正切函数的图像 写出自变量三种变化情况下函数的极限写出自变量三种变化情况下函数的极

4、限.现在学习的是第9页，共30页(二二)、自变量趋向有限值时函数的极限、自变量趋向有限值时函数的极限一般地，当一般地，当 时，规定时，规定 考察当考察当 时，函数时，函数 的变化情况的变化情况 定义定义1 (通俗的讲略通俗的讲略)定义定义2 (解析定义解析定义)现在学习的是第10页，共30页现在学习的是第11页，共30页2、几何解释、几何解释:注注意意3.表示从表示从 的左右两侧同时趋于该点的左右两侧同时趋于该点 现在学习的是第12页，共30页例例3证证练习：练习：现在学习的是第13页，共30页例例4证证函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.现在学习的是第14页，共30页例例5证证？在上

5、述极限过程中，要保证在上述极限过程中，要保证 x 0。不能保证不能保证 x 0问题：问题：现在学习的是第15页，共30页例例6证证问题：如何保证问题：如何保证 x 0?现在学习的是第16页，共30页（1）用定义证明）用定义证明的关键步骤的关键步骤将将|f(x)A|适当化简，变形或放大，使之出现适当化简，变形或放大，使之出现下面的形式：下面的形式：再从中解出再从中解出然后取然后取（2）有时为了同时保证几个不等式成立，）有时为了同时保证几个不等式成立，常常常常要在几个常数中取最小者。要在几个常数中取最小者。现在学习的是第17页，共30页(三三)、左、右极限、左、右极限考虑分段函数：考虑分段函数：在

6、分段点处的极限情况在分段点处的极限情况现在学习的是第18页，共30页右极限右极限左极限左极限现在学习的是第19页，共30页例例7：对函数：对函数 在分段点处的极限情况在分段点处的极限情况解解：从图像上可以看出从图像上可以看出现在学习的是第20页，共30页练习：讨论下列函数在分段点处的极限练习：讨论下列函数在分段点处的极限.(1)(2)现在学习的是第21页，共30页左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,例例8证证注：分段函数注：分段函数分段点分段点处的极限必须通过该定理讨论处的极限必须通过该定理讨论.现在学习的是第22页，共30页练习：讨论下列函数在分段点处的极限练习：讨论下列函数在分段点处

7、的极限.(1)(2)现在学习的是第23页，共30页例例9：可以证明：可以证明：现在学习的是第24页，共30页二、函数极限的性质1.唯一性唯一性2.局部有界性局部有界性若若，则存在常数，则存在常数 和和 使得当使得当 时，有时，有 现在学习的是第25页，共30页3.局部保号性局部保号性现在学习的是第26页，共30页4.子列收敛性子列收敛性(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系)定义定义定理定理结论结论：函数极限存在的充要条件是它的任何子列的：函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在极限都存在,且相等且相等.现在学习的是第27页，共30页例例10证证二者不相等二者不相等,现在学习的是第28页，共30页推论推论补充：不等式性质（由保号性和四则运算推出）补充：不等式性质（由保号性和四则运算推出）定理定理(保序性保序性)现在学习的是第29页，共30页思考题思考题1解答解答:现在学习的是第30页，共30页