线性方程组的数值解法课件.ppt

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1、线性方程组的数值解法第1页，此课件共27页哦各种类型的矩阵各种类型的矩阵各种类型的矩阵各种类型的矩阵1)1)对角矩阵对角矩阵2)2)三对角矩阵三对角矩阵3)3)上三角矩阵上三角矩阵4)4)HessenbergHessenberg阵阵5)5)对称矩阵对称矩阵6)6)埃尔米特矩阵埃尔米特矩阵7)7)对称正定矩阵对称正定矩阵8)8)正交矩阵正交矩阵9)9)酉矩阵酉矩阵10)10)初等置换阵初等置换阵11)11)置换阵置换阵第2页，此课件共27页哦三、线性方程组的两类解法三、线性方程组的两类解法u 直接法直接法u 迭代法迭代法四、本讲内容安排四、本讲内容安排u 解线性方程组的直接方法解线性方程组的直接

2、方法l 高斯消去法高斯消去法l 矩阵三角分解法矩阵三角分解法l 高斯主元素消去法高斯主元素消去法第3页，此课件共27页哦u Matlab与线性方程组求解与线性方程组求解u 解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法l 雅可比迭代法雅可比迭代法l 高斯高斯-赛德尔迭代法赛德尔迭代法l 逐次超松弛迭代法逐次超松弛迭代法第4页，此课件共27页哦设有线性方程组：设有线性方程组：AX=bAX=b高斯消去法如何求解一般线性方程组？高斯消去法如何求解一般线性方程组？一、高斯消去法一、高斯消去法2 2 解线性方程组的直接方法解线性方程组的直接方法第5页，此课件共27页哦（1 1）消元过程）消元过程其中其中第一步

3、：若第一步：若用用乘第一行乘第一行加到第加到第i i行中，得到行中，得到高斯消去法的步骤：高斯消去法的步骤：即消去第即消去第2 2至第至第n个方程中的未知数个方程中的未知数x1 1第6页，此课件共27页哦第二步：若第二步：若用用.第第k k步：若步：若用用乘第乘第k k行加到第行加到第i i行行中，得到中，得到第7页，此课件共27页哦其中其中第第n-1n-1步：步：（2 2）回代过程）回代过程第8页，此课件共27页哦若若则则第9页，此课件共27页哦说明：说明：若线性方程组的系数矩阵非奇异，则它总可以通过带行交若线性方程组的系数矩阵非奇异，则它总可以通过带行交换的高斯消去法进行求解。换的高斯消去

4、法进行求解。定理定理5(1)5(1)可以通过高斯消去法求解。可以通过高斯消去法求解。(2)(2)系数矩阵非奇异，总可以通过带行交换的高斯消去法进行系数矩阵非奇异，总可以通过带行交换的高斯消去法进行求解。求解。第10页，此课件共27页哦算法归纳算法归纳：第11页，此课件共27页哦乘除法运算工作量乘除法运算工作量消元过程乘除法次数：消元过程乘除法次数：回代过程乘除法次数：回代过程乘除法次数：总的乘除法运算次数：总的乘除法运算次数：非零判断次数最多为：非零判断次数最多为：行交换的元素个数为：行交换的元素个数为：第12页，此课件共27页哦设有线性方程组：AX=bAX=b矩阵三角分解法包括不选主元和选主

5、元两种方法。矩阵三角分解法包括不选主元和选主元两种方法。1 1、不选主元三角分解算法、不选主元三角分解算法 当当A A非奇异时，可以将非奇异时，可以将A A作作LULU分解：分解：二、矩阵三角分解法二、矩阵三角分解法第13页，此课件共27页哦其中：其中：(矩阵矩阵LULU分解分解)第14页，此课件共27页哦于是，可以通过求解两个三角形方程组于是，可以通过求解两个三角形方程组得到原方程组的解。得到原方程组的解。求解线性方程组的计算公式求解线性方程组的计算公式第15页，此课件共27页哦例：例：例：例：利用利用LULU分解法求解方程组分解法求解方程组第16页，此课件共27页哦考虑线性方程组考虑线性方

6、程组也就是也就是 Ax=b.(2.1)Ax=b.(2.1)进行矩阵分裂进行矩阵分裂 A=M-N,(2.2)A=M-N,(2.2)其中其中M M为可选择的非奇异矩阵为可选择的非奇异矩阵,且使且使Mx=dMx=d容易求解容易求解.于是于是,Ax=b,Ax=bx=Mx=M-1-1Nx+MNx+M-1-1b.b.可得一阶定常迭代法。可得一阶定常迭代法。3 3 解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法第17页，此课件共27页哦一阶定常迭代法：一阶定常迭代法：第18页，此课件共27页哦一、雅可比迭代法一、雅可比迭代法可以得到雅可比迭代法的计算公式：可以得到雅可比迭代法的计算公式：对对k=0,1,k=0,1

7、,第19页，此课件共27页哦第20页，此课件共27页哦二、高斯二、高斯塞德尔迭代法塞德尔迭代法还可根据迭代计算公式：还可根据迭代计算公式：对对k=0,1,k=0,1,称为高斯高斯塞德尔迭代法塞德尔迭代法.第21页，此课件共27页哦第22页，此课件共27页哦高斯高斯塞德尔迭代法塞德尔迭代法算法描述：算法描述：第23页，此课件共27页哦例：求解如下线性方程组：例：求解如下线性方程组：例：求解如下线性方程组：例：求解如下线性方程组：取初值取初值x x(0)(0)=(0,0,0)=(0,0,0)T T,解：解：解：解：第24页，此课件共27页哦高斯高斯塞德尔迭代法又等价于：塞德尔迭代法又等价于：对对k

8、=0,1,k=0,1,第25页，此课件共27页哦4 Matlab4 Matlab与线性方程组求解与线性方程组求解线性方程组线性方程组AX=B的的Matlab求解函数求解函数X=AB 左除法左除法X=inv(A)*B 高斯法高斯法L,U=lu(X)LU法法L,U=luinc(X,0)不完全不完全LU分解法分解法x,flag,relres,iter=cgs(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)共轭梯度法共轭梯度法x,flag,relres,iter=pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)预共轭梯度法预共轭梯度法x,flag,relres,iter=bicg(A,b,tol

9、,maxit,M1,M2,x0)双共轭梯度法双共轭梯度法 x,flag,relres,iter=bicgstab(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)双共稳轭梯度法双共稳轭梯度法第26页，此课件共27页哦x,flag,relres,iter=lsqr(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)最小二乘法x,flag,relres,iter=gmres(A,b,restart,tol,maxit,M1,M2,x0)广义残余法 x,flag,relres,iter=minres(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)最小残余法x,flag,relres,iter=symmlq(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)对称最小二乘x,flag,relres,iter=qmr(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)拟最小残余法第27页，此课件共27页哦