行列式及其应用.ppt

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1、行列式及其应用行列式及其应用现在学习的是第1页，共73页 学习要点学习要点：1.了解行列式的定义及其性质。了解行列式的定义及其性质。2.会运用行列式的性质求行列式的值。会运用行列式的性质求行列式的值。3.重点掌握行列式在理论推导中的应用，主要有以下三个定重点掌握行列式在理论推导中的应用，主要有以下三个定理：理：（1）行列式展式定理；）行列式展式定理；（2）克莱姆法则；）克莱姆法则；（3）行列式乘法定理。）行列式乘法定理。现在学习的是第2页，共73页3.1 3.1 行列式的定义行列式的定义引例引例3.1 用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组 解解 第一个方程乘以第一个方程乘以a22，

2、第二个方程乘以，第二个方程乘以a12，然后两方程，然后两方程相减得相减得 类似可得类似可得现在学习的是第3页，共73页当当 时时,得方程组的解得方程组的解我们引进我们引进二阶行列式二阶行列式的概念的概念,即定义即定义那么那么,方程组的解可整齐地表示为方程组的解可整齐地表示为现在学习的是第4页，共73页二阶行列式二阶行列式又称为二阶方阵又称为二阶方阵的行列式的行列式类似地，如果定义类似地，如果定义三阶行列式三阶行列式记作记作现在学习的是第5页，共73页含有三个未知量的线性方程组含有三个未知量的线性方程组当系数矩阵的行列式当系数矩阵的行列式 时，通过计算可知其解可整齐地表示为时，通过计算可知其解可

3、整齐地表示为 现在学习的是第6页，共73页现在学习的是第7页，共73页问题问题使得方程组的解可整齐地表示为使得方程组的解可整齐地表示为设设nn的线性方程组的线性方程组如何定义如何定义 n 阶行列式阶行列式现在学习的是第8页，共73页（这里假设分母不为零）（这里假设分母不为零）现在学习的是第9页，共73页n阶阶(方阵的方阵的)行列式行列式在在 D 中划掉第中划掉第 i 行和第行和第 j 列元素而剩下的元素按原来相对列元素而剩下的元素按原来相对位置不变所构成的低一阶的行列式，称为位置不变所构成的低一阶的行列式，称为(i,j)元素的元素的余子余子式式，记为，记为Mij ,称称Aij=(-1)i+j

4、Mij为为(i,j)元素的元素的代数余子式代数余子式代数余子式代数余子式。定义定义用式子用式子D表示方阵表示方阵A的元素按某种规则运算得到的一个数，的元素按某种规则运算得到的一个数，称为称为A的行列式。的行列式。现在学习的是第10页，共73页例如：例如：现在学习的是第11页，共73页n 阶行列式阶行列式的值定义如下：的值定义如下：定义定义定义定义3.13.1（行列式的递归定义）（行列式的递归定义）（行列式的递归定义）（行列式的递归定义）当当n=1时，时，=a11;当当n2时，假设对时，假设对n-1阶行列式已有定义，则阶行列式已有定义，则（上式又称（上式又称按第一行展开按第一行展开）（3.1）现

5、在学习的是第12页，共73页由定义，可得二阶行列式与三阶行列式的计算由定义，可得二阶行列式与三阶行列式的计算现在学习的是第13页，共73页计算下三角行列式计算下三角行列式按第按第1行展开行展开按第按第1行展开行展开解解 根据行列式的定义根据行列式的定义例例3.1现在学习的是第14页，共73页特别地，特别地，现在学习的是第15页，共73页作业作业P55 1（1）（）（3）现在学习的是第16页，共73页对于方阵对于方阵 ，设，设Aij表示元素表示元素aij的代数余子式，称矩阵的代数余子式，称矩阵为为 A 的的伴随矩阵伴随矩阵。3.2 3.2 行列式的性质行列式的性质定义定义定义定义3.23.2（伴

6、随矩阵的定义）（伴随矩阵的定义）（伴随矩阵的定义）（伴随矩阵的定义）现在学习的是第17页，共73页定理定理定理定理3.13.1（行列式展开定理）（行列式展开定理）（行列式展开定理）（行列式展开定理）p即行列式等于其任一行（列）元素与其对应的代数余子式乘积之和即行列式等于其任一行（列）元素与其对应的代数余子式乘积之和（亦即行列式可按任一行或任一列展开）；（亦即行列式可按任一行或任一列展开）；p任一行（列）元素与另一行（列）元素所对应的代数余子式乘积之任一行（列）元素与另一行（列）元素所对应的代数余子式乘积之和为零。和为零。即即现在学习的是第18页，共73页按第按第1行展开行展开例例3.2验证行列

7、式的展开定理验证行列式的展开定理解解按第按第3行展开行展开按第按第3列展开列展开现在学习的是第19页，共73页再验证一下错列或错行展开是否为零再验证一下错列或错行展开是否为零?现在学习的是第20页，共73页设设 ，求，求D的第的第3列元素的代数余子列元素的代数余子 式之和。式之和。根据行列式的展开定理可得根据行列式的展开定理可得从而，从而，即，即，练习练习 已知已知 计算计算例例3.3解解现在学习的是第21页，共73页u利用展开定理得到利用展开定理得到计计算行列式的基本方法算行列式的基本方法“降阶法降阶法”，即利用行列，即利用行列式展开定理式展开定理,可将可将n阶阶行列式的行列式的计计算算转转

8、化化为为n-1阶阶行列式的行列式的计计算。算。根据行列式的展开定理，按第一列展开得根据行列式的展开定理，按第一列展开得计计算上三角行列式算上三角行列式例例3.4解解现在学习的是第22页，共73页例如例如性质性质3.1如果行列式如果行列式 有一行（列）的有一行（列）的 元素为零，则该行列元素为零，则该行列式的值等于零。式的值等于零。现在学习的是第23页，共73页性质性质3.2 若行列式若行列式 的某一行（列）的所有元素均为两个数之和，的某一行（列）的所有元素均为两个数之和，则该行列式等于相应的两个行列式的和。则该行列式等于相应的两个行列式的和。例如例如现在学习的是第24页，共73页性质性质3.3

9、 设设A是一个方阵，是一个方阵，相应于方阵的三种初等行（列）变换，行列式也有相应的相应于方阵的三种初等行（列）变换，行列式也有相应的三种行（列）变换。一次变换后，其值会发生怎样的变化呢？三种行（列）变换。一次变换后，其值会发生怎样的变化呢？(1)设设，则，则(2)设设，则，则(3)设设，则，则推论推论3.1 如果行列式如果行列式 中有两行（列）的元素相同，则该行列中有两行（列）的元素相同，则该行列式的值为零。式的值为零。例如例如现在学习的是第25页，共73页性质性质3.4 如果行列式如果行列式 中的某行元素（列）有公因子，则该公中的某行元素（列）有公因子，则该公因子可提到行列式的外面。因子可提

10、到行列式的外面。例如例如现在学习的是第26页，共73页推论推论3.2 对于对于n阶方阵阶方阵A，则，则 是一个数。是一个数。推论推论3.3 如果行列式如果行列式 中有两行（列）元素对应成比例，则其中有两行（列）元素对应成比例，则其行列式的值为零。行列式的值为零。例如例如现在学习的是第27页，共73页u利用行列式的性质得到计算行列式的基本方法利用行列式的性质得到计算行列式的基本方法“化三角形法化三角形法”。其基本思路是：通过行列式的行（列）变换将行列式化简为阶梯其基本思路是：通过行列式的行（列）变换将行列式化简为阶梯形行列式，再利用三角形行列式的值等于其对角线上元素的积计算形行列式，再利用三角形

11、行列式的值等于其对角线上元素的积计算其结果。其结果。解解只用只用ri+krj这种变换，这种变换，例例3.5把行列式化为三角形，然把行列式化为三角形，然后计算行列式后计算行列式D的值。的值。现在学习的是第28页，共73页只用只用只用只用r ri i+krkrj j变换或只用变换或只用变换或只用变换或只用c ci i+kckcj j变换一定能把行列变换一定能把行列变换一定能把行列变换一定能把行列式化为上式化为上式化为上式化为上(下下下下)三角形三角形三角形三角形,行列式的值不变。行列式的值不变。行列式的值不变。行列式的值不变。现在学习的是第29页，共73页说明说明1 行列式的性质凡是对行成立的，对

12、列也成立，反之亦然。行列式的性质凡是对行成立的，对列也成立，反之亦然。说明说明2 计算行列式的方法很多，技巧也很强，重点掌握降阶法和化计算行列式的方法很多，技巧也很强，重点掌握降阶法和化三角形法。三角形法。定理定理定理定理3.2 3.2 矩阵矩阵A的行列式与其转置矩阵的行列式与其转置矩阵AT 的行列式的值相等，即的行列式的值相等，即现在学习的是第30页，共73页计算行列式计算行列式 将行列式第将行列式第2、3、4列加到第一列列加到第一列,得得例例3.6解解现在学习的是第31页，共73页u特征特征1：对于所有行（列）元素相加后相等的行列式，可把：对于所有行（列）元素相加后相等的行列式，可把第第2

13、行至行至n行加到第一行（列），提取公因子后在简化计算。行加到第一行（列），提取公因子后在简化计算。将行列式第将行列式第2,3,n列加到第一列列加到第一列,得得计算计算 n 阶行列式阶行列式例例3.7解解现在学习的是第32页，共73页现在学习的是第33页，共73页计算计算 n 阶行列式阶行列式 利用初等列变换可将该行列式化为三角形行列式利用初等列变换可将该行列式化为三角形行列式u特征特征2：第一行，第一列及对角线元素除外，其余元素：第一行，第一列及对角线元素除外，其余元素全为零的行列式称为爪型行列式。全为零的行列式称为爪型行列式。例例3.8解解现在学习的是第34页，共73页计算范德蒙德计算范德蒙

14、德(Vandermonde)行列式行列式 从最后一行开始，每行减去上一行的从最后一行开始，每行减去上一行的an倍。倍。u特征特征3：范德蒙德：范德蒙德(Vandermonde)行列式的计算过程及结论。行列式的计算过程及结论。例例3.9解解现在学习的是第35页，共73页现在学习的是第36页，共73页按最后一列展开按最后一列展开现在学习的是第37页，共73页现在学习的是第38页，共73页解：解：所以根为所以根为x=1,2,3.练习练习现在学习的是第39页，共73页计算行列式计算行列式D2n的值的值按第一行展开按第一行展开备用题备用题2解解现在学习的是第40页，共73页现在学习的是第41页，共73页

15、计算计算n阶行列式的值阶行列式的值按第一行展开按第一行展开备用题备用题3解解现在学习的是第42页，共73页得递推公式得递推公式u特征特征4：所求行列式某一行（列）至多有两个非零元素，按这一行展：所求行列式某一行（列）至多有两个非零元素，按这一行展开，并能够得到较低阶的具有相同结构的行列式，如备用题开，并能够得到较低阶的具有相同结构的行列式，如备用题2、3。现在学习的是第43页，共73页定理定理定理定理3.33.3（行列式的乘法定理）（行列式的乘法定理）（行列式的乘法定理）（行列式的乘法定理）只用第三种初等行变换可把只用第三种初等行变换可把A化为上三角矩阵化为上三角矩阵 证明证明设设A，B是是

16、n 阶方阵，则阶方阵，则注注 当当A，B都是都是n阶方阵时，一定有阶方阵时，一定有 只用第三种初等列变换可把只用第三种初等列变换可把B化为上三角矩阵化为上三角矩阵 即存在第三种初等矩阵即存在第三种初等矩阵 使得使得 并有并有 因此因此现在学习的是第44页，共73页设设A是奇数阶方阵，且是奇数阶方阵，且 证明证明例例3.10证明证明现在学习的是第45页，共73页解解例例3.11 ，计算，计算现在学习的是第46页，共73页作业作业P64 2（2）（3）P65 5（1）现在学习的是第47页，共73页3.3 3.3 行列式的应用行列式的应用行列式的应用主要体现在理论推导行列式的应用主要体现在理论推导。

17、方阵方阵A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是 ，时，其逆矩阵时，其逆矩阵 ，其中，其中A*为为A的伴随矩阵。的伴随矩阵。定理定理定理定理3.43.4且当且当A可逆可逆说明说明1 该定理不仅可以用来判别方阵可逆，同时也提供了求逆该定理不仅可以用来判别方阵可逆，同时也提供了求逆矩阵的计算公式。矩阵的计算公式。说明说明2 当当 时，时，A称为称为奇异矩阵奇异矩阵，否则称为，否则称为非奇异矩阵非奇异矩阵。现在学习的是第48页，共73页证明证明 必要性必要性设方阵设方阵A可逆，则存在可逆，则存在A-1，使，使对上式两边取行列式，并利用行列式乘法定理得对上式两边取行列式，并利用行列式乘法定理得 所以

18、所以 充分性充分性所以所以A可逆，且可逆，且设设 ，由行列式展开定理由行列式展开定理现在学习的是第49页，共73页讨论矩阵讨论矩阵何时可逆，且求其逆矩阵。何时可逆，且求其逆矩阵。A可逆的充分必要条件为可逆的充分必要条件为例例3.12解解现在学习的是第50页，共73页求求A的逆矩阵的逆矩阵例例3.13解解现在学习的是第51页，共73页设设例例3.14证明证明证明证明A可逆的充要条件是可逆的充要条件是并求其逆。并求其逆。现在学习的是第52页，共73页设设A，B均为均为n阶方阵，证明阶方阵，证明AB可逆的充分必要条件可逆的充分必要条件是是A，B均可逆。均可逆。若若A，B均可逆，则均可逆，则 从而从而

19、因此因此AB可逆。可逆。反之，若反之，若AB可逆，则可逆，则 从而从而因此因此A、B可逆。可逆。例例3.15证明证明现在学习的是第53页，共73页有唯一解有唯一解解的分量为解的分量为定理定理定理定理3.5 3.5 克莱姆法则克莱姆法则克莱姆法则克莱姆法则注注 通常把解的分量表达式叫做克莱姆法则。通常把解的分量表达式叫做克莱姆法则。设设，则线则线性方程性方程组组其中其中Dj(j=1,2,n)是把系数行列式是把系数行列式 D中第中第 j列换成向量列换成向量b而得到的行列而得到的行列式。式。现在学习的是第54页，共73页可知可知A可逆，且方程可逆，且方程组组有惟一解，其解有惟一解，其解为为由系数矩由

20、系数矩阵阵的行列式的行列式即即证明证明现在学习的是第55页，共73页比较左右两边矩阵的比较左右两边矩阵的j 行行,得得现在学习的是第56页，共73页推论推论3.4设齐次线性方程组设齐次线性方程组Ax=0，如果系数矩阵行列式如果系数矩阵行列式则方程组则方程组Ax=0只有零解。只有零解。现在学习的是第57页，共73页已知抛物线已知抛物线 经过三点经过三点(1,0)，(2,3)(-3,28)，求该抛物线的方程。，求该抛物线的方程。将三点的坐标代入抛物线方程，得将三点的坐标代入抛物线方程，得a,b,c应满足的非线性应满足的非线性 经计算得经计算得 例例3.16解解方程组方程组现在学习的是第58页，共7

21、3页故由克莱姆法则，上述方程组的惟一解为故由克莱姆法则，上述方程组的惟一解为 于是所求抛物线方程为于是所求抛物线方程为 现在学习的是第59页，共73页 系数行列式系数行列式按第按第3行展开行展开当当 时，齐次方程组有非零解。时，齐次方程组有非零解。当当 为何值时，齐次方程组有非零解？为何值时，齐次方程组有非零解？例例3.17解解现在学习的是第60页，共73页问问a,b为何值时，方程组有唯一解，无解，无穷多解。有无穷多解时，为何值时，方程组有唯一解，无解，无穷多解。有无穷多解时，求出其通解。求出其通解。已知方程组已知方程组 系数矩阵是方阵首选行列式法系数矩阵是方阵首选行列式法例例3.18解解现在

22、学习的是第61页，共73页当当a1时，方程组有唯一解；时，方程组有唯一解；a=1当当 时，方程组无解。时，方程组无解。当当 时，方程组有无穷多解。时，方程组有无穷多解。当当a=1 时，方程组可能无解也可能有无穷多解，需讨论。时，方程组可能无解也可能有无穷多解，需讨论。现在学习的是第62页，共73页通解为通解为现在学习的是第63页，共73页定义定义定义定义3.33.3（n n阶行列式的逆序数定义）阶行列式的逆序数定义）阶行列式的逆序数定义）阶行列式的逆序数定义）其中，其中，是自然数是自然数1，2，n 的一个排列；的一个排列；是对所有这样的排列求和，共有是对所有这样的排列求和，共有 项；项；是排列

23、是排列 的逆序数，其定义为：的逆序数，其定义为：在一个排列在一个排列 中，如果中，如果 ，则称出现一个，则称出现一个逆序，一个排列中出现逆序的总数称为这个排列的逆序数。逆序，一个排列中出现逆序的总数称为这个排列的逆序数。现在学习的是第64页，共73页例如例如因此因此现在学习的是第65页，共73页解解 根据行列式的逆序数定义，能够出现根据行列式的逆序数定义，能够出现x4，x3的项只有的项只有设设例例3.19问问f(x)中中x4，x3系数分别系数分别是多少？是多少？和和故故所以，所以，x4，x3的系数分别为的系数分别为1，-4。现在学习的是第66页，共73页计算计算n 阶行列式阶行列式Dn拆分为如

24、下两个行列式，且第一个行列式按最后一列展开，拆分为如下两个行列式，且第一个行列式按最后一列展开，注意与例注意与例3.7的的形式不同。形式不同。第二个行列式利用第二个行列式利用备用题备用题4解解现在学习的是第67页，共73页现在学习的是第68页，共73页u特征特征5：除对角线元素外，上三角各元素相等，下三角各元素相等，常：除对角线元素外，上三角各元素相等，下三角各元素相等，常用拆分法或数学归纳法求解。阅读书上例题用拆分法或数学归纳法求解。阅读书上例题3.10。现在学习的是第69页，共73页设分块矩阵设分块矩阵 ，其中，其中A是是m阶方阵，阶方阵，B是是 n阶方阵，证明阶方阵，证明 。设设 备用题

25、备用题5证明证明现在学习的是第70页，共73页对对 作作ri+krj 类型的变换将其化为下三角行列式，设为类型的变换将其化为下三角行列式，设为对对 作作ci+kcj 类型的变换将其化为下三角行列式，设为类型的变换将其化为下三角行列式，设为现在学习的是第71页，共73页于是，对于是，对 的前的前m行作与行作与 相同类型的变换相同类型的变换ri+krj，再对后，再对后n列列作与作与 相同类型的变换相同类型的变换ci+kcj，化为下三角行列式，化为下三角行列式所以所以现在学习的是第72页，共73页类似地，若类似地，若其中其中A是是m阶方阵，阶方阵，B是是n阶方阵，阶方阵，则则现在学习的是第73页，共73页