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1、 定义:每个面都是有相同边数的正多边形,每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体,叫做正多面体正多面体:第1页/共20页 正多面体有且仅有五种:正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体 第2页/共20页 正多面体有且仅有五种:正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体 第3页/共20页正多面体的展开图 第4页/共20页 著名的数学家,瑞士人,大部分时间在俄国和法国度过他17岁获得硕士学位,早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学,毕业后研究数学,是数学史上最高产的作家在世发表论文700多篇,去世后还留下100多篇待发表其论著几乎涉及所有数学分支他首先使用f(x)表示函数,首先用
2、表示连加,首先用i表示虚数单位在立体几何中多面体研究中,首先发现并证明欧拉公式欧拉欧拉公式及其应用第5页/共20页讨论问题1:(1)数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E 并填表(1)(2)(3)图形编号顶点数V面数F棱数E(1)(2)(3)(4)规律:V+F-E=2 464 8612 6812201230(4)第6页/共20页(6)问题1:(2)数出下列多面体的顶点数V、面数F、棱数E 并填表讨论(5)5857812图形编号顶点数V面数F棱数E(5)(6)121224(7)(7)第7页/共20页多面体简单多面体表面经过连续变形能变成一个球面的多面体V+F-E=2简单多面体欧拉公式欧拉示
3、性数第8页/共20页问题2:如何证明欧拉公式ABCDEA1B1C1D1E1ABCDEA1B1C1D1E1讨论压缩成平面图形第9页/共20页问题2:如何证明欧拉公式ABCDEA1B1C1D1E1ABCDEA1B1C1D1E1讨论压缩成平面图形第10页/共20页1、(1)一个简单多面体的各面都是三角形,则它的顶点数V和面数F的关系为_。欧拉公式的应用(2)一个简单多面体的各个顶点都有三条棱,则顶点数V与面数F满足的关系为_。第11页/共20页欧拉公式的应用2、简单多面体的每个面都是五边形,且每个顶点的一端都有三条棱,求这个多面体的面数和棱数第12页/共20页4、一个凸多面体的棱数是30,面数为12
4、,则它的各面多边形内角的总和为_。5、是否存在这样的多面体,它有奇数个面,且每一个面都有奇数条边第13页/共20页欧拉公式的应用3、1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科家C60是有60 个C原子组成的分子,它结构为简单多面体形状这个多面体有60个顶点,从每个顶点都引出3条棱,各面的形状分别为五边形或六边形两种计算C60分子中形状为五边形和六边形的面各有多少?第14页/共20页小结猜想证明应用空间问题平面化V+F-E=2欧拉公式第15页/共20页(方法二)以四面体 为例来说明:将它的一个面 去掉,并使其变为平面图形,四面体的顶点数 、棱数 与剩下的面数 变形后都没有变。因此
5、,要研究 、和 的关系,只要去掉一个面,将它变形为平面图形既可。对平面图形,我们来研究:(1)去掉一条棱,就减少一个面 例如去掉 ,就减少一个面,同理去掉棱 、也就各减少一个面 、因此,、的值都不变,因此 的值也不变。第16页/共20页(2)再从剩下的树枝形中,去掉一条棱,就减少一个顶点例如去掉 ,就减少一个顶点 ,同理,去掉 就减少一个顶点 ,最后剩下在此过程中 的值不变,但这时面数 是0。所以 的值也不变。最后只剩下 ,所以 最后加上去掉的一个面,就得到第17页/共20页例1.由欧拉定理证明:正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种证明:设正多面体的每个面的边数为n,每个顶点连有m条棱,令这个多面体的面数为F,每个面有n条边,故共有nF条边,由于每条边都是两个面的公共边,故多面体棱数 (2)令这个多面体有个V顶点,每一个顶点处有m条棱,故共有mV条棱,由于每条棱有两个顶点,故多面体棱数 (1)由(1)(2)得:,代入欧拉公式:即 (3),又 ,但m,n不能同时大于3,(若 ,则有 ,即 这是不可能的)第18页/共20页m,n中至少有一个等于3令 ,则 ,同样若 可得 第19页/共20页感谢您的观看!第20页/共20页
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