CH 大数定律和中心极限定理.pptx
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1、1本章要解决的问题 1.为何能以某事件发生的频率 作为该事件的 概率的估计?2.为何能以样本均值作为总体 期望的估计?3.为何正态分布在概率论中占 有极其重要的地位?4.大样本统计推断的理论基础 是什么?大数定律中心极限定理第1页/共23页25.1 切比雪夫不等式引理1 设随机变量X的数学期望E(X)与方差 D(X)均存在,则对于任意实数 0,有下述不等式成立或第2页/共23页3切比雪夫不等式示意图E(X)E(X)+E(X)F(x)x D(X)/2第3页/共23页4例1 已知E(X)=100,D(X)=30,试估计随机变量X 落在(70,130)内的概率。解:P70X130=P|X 100|3
2、0由切比雪夫不等式可得0.967 契比雪夫不等式给出了在随机变量X的分布未知的情况下,事件|X|0,有或第6页/共23页7引入随机变量序列Xk由题设X1,X2,Xn相互独立证明:故n+时,结论成立。由切比雪夫不等式第7页/共23页8贝努里(Bernoulli)大数定律的意义“稳定于”事件 A 在一次试验中发生的概率是指:在概率的统计定义中,事件 A 发生的频率频率 与 p 有较大偏差是小概率事件 因而在试验次数 n 足够大时,可用事件发生的频率近似代替事件发生的概率,即此类定律说明了大次数的重复试验所呈现的客观规律。同时,频率的这种稳定性也称为依概率稳定。第8页/共23页9切比雪夫(Cheby
3、shev)大数定律定理2 设X1,X2,.,Xn,.是相互独立的随机变量,且分别具有数学期望E(Xk)和方差D(Xk),(k=1,2,.)。若方差有界,即存在常数C,使得 D(Xk)C,则对于任意的 0,恒有 切比雪夫大数定律是贝努里大数定律的推广,而贝努里大数定律是切比雪夫大数定律的一个特例。第9页/共23页10证明:对于随机变量序列 Xk记根据切比雪夫不等式可知n1由方差和期望的性质可得第10页/共23页11均服从同一分布,并且有相同的数学期望 和方差 2,则对于任意的 0,恒有或是相互独立的随机变量,推论 设第11页/共23页12当 n 足够大时,算术平均值几乎是一常数。具有相同数学期望
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