正弦定理与余弦定理.pptx

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1、 1.问题的引入:.(1)在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月 高悬,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问,月亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样 测出来的呢？第1页/共41页(2)设A,B两点在河的两岸,只给你米尺和量角设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗?AB我们这一节所学习的内容就是解决这些问题的有力工具.第2页/共41页正弦定理正弦定理正弦定理正弦定理第3页/共41页回忆一下直角三角形的边角关系?ABCcba两等式间有联系吗？思考:对一般的三角形,这个结论还能成立吗?2.定理的推导正弦定理第4页/共41页(1)当 是锐角三角形时,结论是否还成立呢?D如图:作AB上的高是CD,根椐三

2、角形的定义,得到正弦定理BACabcE第5页/共41页(2)当 是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?BACbca正弦定理D第6页/共41页 正弦定理 在一个三角形中，各边和它所 对角的正弦的比相等，即正弦定理解三角形:已知三角形的几个元素求其他元素的过程含三角形的三边及三内角,由己知二角一边或二边一角可表示其它的边和角定理结构特征:第7页/共41页二、外接三角形中OB/cbaCBA第8页/共41页1、正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即能否用向量法来证明正弦定理？第9页/共41页我们选择单位向量j 并让 与 垂直.jACj 与AB ACCB的夹角分别为即:jABj(AC+

3、CB)ABC=bac第10页/共41页c sinA=a sinC同理:a sinB=b sinABCbacA即即第11页/共41页正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.即第12页/共41页（四）定理的应用例 1在ABC 中，已知c=10,A=45。,C=30。求 b (保留两位有效数字）。解：且 b=19=已知两角和任意边，求其他两边和一角第13页/共41页变式训练：（1）在ABC中，已知b=，A=，B=，求a。（2）在ABC中，已知c=，A=，B=，求b。解：=解：=又 第14页/共41页例2证明：用正弦定理证明三角形面积BACDabc而又第15页/共41页例3、在ABCA

4、BC中，已知 a=28a=28，b=20b=20，A=120A=120，求B B（精确到11）和c c（保留两个有效数字）。baCBA120小结：2、已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解或一解。如图第16页/共41页（1）A为锐角a=bsinA(一解）AbaBCAB2baB1CabsinAab(一解）baABCbaCBAab(一解）第18页/共41页（五）总结提炼（1）三角形常用公式：（2）正弦定理应用范围：已知两角和任意边，求其他两边和一角 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。正弦定理：第19页/共41页基础练习题正弦定理B=300无解第20页/共41页（3）在ABC中，B=30，

5、AB=，AC=2，则ABC的面积是解：根据正弦定理，有 所以则C有两解：1)当C为锐角时，C=60A=90S=当C为钝角时，C=120A=302)S=ABCC第21页/共41页余弦定理第22页/共41页角边角角边角角角边角角边边边角边边角边角边边角边边边边边边边正弦定理正弦定理第23页/共41页ABCcba 已知三角形两边分别为a和b,这两边的夹角为C，角C满足什么条件时较易求出第三边c？勾股定理你能用向量证明勾股定理吗？即证第24页/共41页CBAbca第25页/共41页CBAbca第26页/共41页CBAbca第27页/共41页 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边

6、与它们夹角的余弦的积的两倍。勾股定理令C900勾股定理与余弦定理有何关系？勾股定理与余弦定理有何关系？适用于任何适用于任何三角形三角形第28页/共41页ACBbacxyDC(bcosA,bsinA)能不能用坐标方法来证明余弦定理呢？B(c,0)第29页/共41页ACBbacxyDC(bcosA,bsinA)能不能用坐标方法来证明余弦定理呢？B(c,0)第30页/共41页 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。勾股定理令C900勾股定理与余弦定理有何关系？勾股定理与余弦定理有何关系？这个定理有什么作用？这个定理有什么作用？若已知b=8,c=3,A

7、=,能求a吗？适用于任何适用于任何三角形三角形第31页/共41页它还有别的用途吗？若已知a,b,c,可以求什么？利用余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角;（2）已知两边和它们的夹角，求第三边，进而还可求其它两个角。归纳：第32页/共41页角边角角边角角角边角角边边边角边边角边角边边角边边边边边边边正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理第33页/共41页例例3 3、在在ABCABC中，已知中，已知b=60cm,c=34cm,A=41b=60cm,c=34cm,A=41，解三角形（角度精确到解三角形（角度精确到1 1，边长精确到，边长精确到1 1cmcm）解：根据余弦定理所

8、以第34页/共41页例例4 4、在在ABCABC中，已知中，已知a=134.6cm,b=87.8cm,c=161.7cm,a=134.6cm,b=87.8cm,c=161.7cm,解三角形解三角形（角度精确到（角度精确到1 1）解：由余弦定理的推论得第35页/共41页练习练习：解：由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2ABACcosA =4+9-223 =7 BC=在在ABCABC中，已知中，已知AB=2AB=2，AC=3AC=3，A=A=，求求BCBC的长的长第36页/共41页例5：一钝角三角形的边长为连续自然数，则这三边长为（）分析：要看哪一组符合要求，只需检验哪一个选项中的最大角是钝角

9、，即该角的余弦值小于0。B中：，所以C是钝角D中：，所以C是锐角，因此以4，5，6为三边长的三角形是锐角三角形A、C显然不满足BA、1，2，3 B、2，3，4 C、3，4，5 D、4，5，6第37页/共41页例例6 6：在在 ABCABC中，已知中，已知a=7,b=8,cosC=,a=7,b=8,cosC=,求求最大角的余弦值最大角的余弦值分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断哪个角是最大角。由大边对大角，已知两边可求出第三边,找到最大角。解：则有：b是最大边，那么B 是最大角第38页/共41页小结1 1、余弦定理及其推论、余弦定理及其推论2 2、余弦定理的应用、余弦定理的应用（1）已知三边，求三个角;（2）已知两边和它们的夹角，求第三边，进而还可求其它两个角。（3）判断三角形第39页/共41页1、在ABC中，已知sinA：sinB：sinC5：7：8，则B B第40页/共41页感谢您的观看！第41页/共41页