直线的方向向量和平面的法向量讲稿.ppt

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1、关于直线的方向向量和平面的法向量第一页，讲稿共二十四页哦研究 从今天开始从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工具在我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用立体几何中的应用.第二页，讲稿共二十四页哦为了用向量来研究空间的线面位置关系，首先我们为了用向量来研究空间的线面位置关系，首先我们要用向量来表示直线和平面的要用向量来表示直线和平面的“方向方向”。那么如何。那么如何用向量来刻画直线和平面的用向量来刻画直线和平面的“方向方向”呢？呢？一、直线的方向向量一、直线的方向向量AB直线直线l上的向量上的向量 以及与以及与 共线共线的向量叫做直线的向量叫做直线l的的方向向量方向向量。第三页，讲稿

2、共二十四页哦由于垂直于同一平面的直线是互相平行的由于垂直于同一平面的直线是互相平行的,所以，可以用垂直所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向方向”。二、平面的法向量二、平面的法向量平面的法向量：平面的法向量：如果表示向量如果表示向量 的有向线段所在直线垂的有向线段所在直线垂直于平面直于平面 ，则称这个向量垂直于平面，则称这个向量垂直于平面 ,记作记作 ，如果如果 ，那，那 么么 向向 量量 叫做叫做平面平面 的的法向量法向量.Al 给定一点给定一点A和一个向量和一个向量 ,那么过点那么过点A,以向量以向量 为法向量的平面是完全确定的为法向量的

3、平面是完全确定的.几点注意：几点注意：1.法向量一定是非零向量法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都互相平行一个平面的所有法向量都互相平行;3.向量向量 是平面的法向量，向量是平面的法向量，向量 是是 与平面平行或在平面内，则有与平面平行或在平面内，则有第四页，讲稿共二十四页哦第五页，讲稿共二十四页哦由两个三元一次方程组由两个三元一次方程组成的方程组的解是不惟成的方程组的解是不惟一的，为方便起见，取一的，为方便起见，取z=1z=1较合理。其实平面的较合理。其实平面的法向量不是惟一的。法向量不是惟一的。第六页，讲稿共二十四页哦平面的法向量不平面的法向量不惟一，合理取值惟一，合理取值即可

4、。即可。第七页，讲稿共二十四页哦例例3.3.在空间直角坐标系内，设平面在空间直角坐标系内，设平面 经过经过 点点 ，平面，平面 的法向量为的法向量为 ，为平面为平面 内任意一点，求内任意一点，求 满足的关系式。满足的关系式。解：由题意可得解：由题意可得 第八页，讲稿共二十四页哦 因为方向向量与法向量可以确定直线和平面因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平平行、垂直、夹角行、垂直、夹角等位置关系等位置关系.那么如何用直线的方向向量表示空间两

5、那么如何用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角呢？如何用平面的法向量表示空间两平夹角呢？如何用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小呢？大小呢？第九页，讲稿共二十四页哦三、平行关系：三、平行关系：第十页，讲稿共二十四页哦例例4 4 如如图图，已知矩形，已知矩形和矩形和矩形所在平面互相垂直，点所在平面互相垂直，点分分别别在在对对角角线线上，且上，且求求证证：ABCDEFxyzMN简证：因为矩形简证：因为矩形ABCD和矩形和矩形ADEF所在平面互相垂直，所以所在平面

6、互相垂直，所以AB，AD，AF互相垂直。以互相垂直。以 为正交为正交基底，建立如图所示空间坐标系，基底，建立如图所示空间坐标系，设设AB,AD,AF长分别为长分别为3a，3b，3c，则可得各点坐标，从而有则可得各点坐标，从而有又平面又平面CDECDE的一个法向量是的一个法向量是因为因为MN不在平面不在平面CDE内内所以所以MN/平面平面CDE第十一页，讲稿共二十四页哦四、垂直关系：四、垂直关系：第十二页，讲稿共二十四页哦A1xD1B1ADBCC1yzEFCD中点，求证：中点，求证：D1F例例5.5.在正方体在正方体中，中，E、F分分别别是是BB1,1,，平面平面ADE 证明：设正方体棱长为证明

7、：设正方体棱长为1，为单位正交为单位正交 基底，建立如图所示坐标系基底，建立如图所示坐标系D-xyz，则可得：则可得：所以所以第十三页，讲稿共二十四页哦巩固性训练11.设设 分别是直线分别是直线l1,l2的方向向量的方向向量,根据下根据下 列条件列条件,判断判断l1,l2的位置关系的位置关系.平行平行垂直垂直平行平行第十四页，讲稿共二十四页哦巩固性训练21.设设 分别是平面分别是平面,的法向量的法向量,根据根据 下列条件下列条件,判断判断,的位置关系的位置关系.垂直垂直平行平行相交相交第十五页，讲稿共二十四页哦1、设平面、设平面 的法向量为的法向量为(1,2,-2),平面平面 的法向量为的法向

8、量为(-2,-4,k),若若 ，则，则k=；若；若 则则 k=。2、已知、已知 ，且，且 的方向向量为的方向向量为(2,m,1)，平面的法，平面的法向量为向量为(1,1/2,2),则则m=.3、若、若 的方向向量为的方向向量为(2,1,m),平面平面 的法向量为的法向量为(1,1/2,2),且且 ，则，则m=.巩固性训练3第十六页，讲稿共二十四页哦1如图，正方体如图，正方体 中，中，E为为 的中点，的中点，证明：证明：/平面平面AEC练习练习:用空间向量来解决下列题目用空间向量来解决下列题目2 2、在正方体、在正方体AC 中，中，E、F、G、P、Q、R分别是所在棱分别是所在棱AB、BC、BB A D 、D C 、DD 的中点，的中点，求证：求证：平面平面PQR平面平面EFG。BD 平面平面EFGABCDA B C D FQEGRP第十七页，讲稿共二十四页哦l1l2第十八页，讲稿共二十四页哦l1第十九页，讲稿共二十四页哦第二十页，讲稿共二十四页哦l1l2第二十一页，讲稿共二十四页哦l第二十二页，讲稿共二十四页哦第二十三页，讲稿共二十四页哦感感谢谢大大家家观观看看第二十四页，讲稿共二十四页哦