ch常系数线性微分方程组实用.pptx

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1、2013年6月2将(2)代入(1)得1 1 基解矩阵与其特征值和特征向量的关系基解矩阵与其特征值和特征向量的关系解法解法 找n个线性无关的特解（构成基解矩阵）（构成基解矩阵）3.1 常系数齐次线性微分方程组第2页/共50页2013年6月3方程组(3)有非零解的充要条件是:结论即第3页/共50页2013年6月42 基解矩阵的计算方法-常系数线性微分方程组的解法常系数线性微分方程组的解法(1)矩阵A具有n个线性无关的特征向量时定理3.1是常系数线性微分方程组的一个基解矩阵.第4页/共50页2013年6月5证明:由上面讨论知,每一个向量函数都是(1)的解,因此矩阵是(1)的解矩阵,所以第5页/共50

2、页2013年6月6注1：A的特征方程的n个特征根都是单根由线性代数的知识有：属于不同特征值的特征向量是线性无关的是常系数线性微分方程组的一个基解矩阵.第6页/共50页2013年6月7解解例例1 1 第7页/共50页2013年6月8第8页/共50页2013年6月9其通解为第9页/共50页2013年6月12注2：A的特征方程有重根时，但有n个线性无关特征向量。且属于不同特征值共有n个线性无关的特征向量:是常系数线性微分方程组(1)的一个基解矩阵.第12页/共50页2013年6月13解解例例2 2 设求A的特征值与特征向量由此第13页/共50页2013年6月14第14页/共50页2013年6月15得

3、基础解系为：由第15页/共50页2013年6月16故基解矩阵为故通解为第16页/共50页2013年6月17 若属于l li的线性无关特征向量个数ni如何确定常系数线性微分方程组(1)的ni个线性无关的特解？(2)矩阵A的线性无关的特征向量的个数n时第17页/共50页2013年6月18定理3.2第18页/共50页2013年6月19说明1:其中第19页/共50页2013年6月20说明2:对应于矩阵A的每个特征值按定理3.1或 定理3.2确定的那些线性无关的特解合起来 仍然线性无关，它们就是方程组（1）的 一个基本解组。见SeeP301定理3.3第20页/共50页2013年6月21例3解 特征方程为

4、为求其对应的特征向量考虑方程组解得第21页/共50页2013年6月22由第22页/共50页2013年6月23其通解为第23页/共50页2013年6月24其通解为代入初始条件第24页/共50页2013年6月30(3)矩阵A有复特征值，它的特征值中可能有共轭复数，特征向量可能是复向量。SeeP304可将线性无关的复向量值函数线性无关的实向量值函数。第30页/共50页2013年6月31例5解的根,第31页/共50页2013年6月32解得解得第32页/共50页2013年6月33第33页/共50页2013年6月34其中第34页/共50页2013年6月35重要性质：若X(t)是常系数线性微分方程组的一个基

5、解矩阵且满足条件X(0)=E，则有See P.307定理3.4的证明过程第35页/共50页2013年6月363.2 3.2 常系数非齐次线性微分方程组常系数非齐次线性微分方程组复习由第7.2节的一个满足的特解(2.1)(2.6)其通解为(2.10)满足的特解(2.11)第36页/共50页2013年6月373.2 3.2 常系数非齐次线性微分方程组常系数非齐次线性微分方程组的一个满足的特解(3.7)其通解为满足的特解常数矩阵第37页/共50页2013年6月38下面研究常系数非齐线性微分方程组定理3.4 常系数非齐线性微分方程组(5)的通解为满足的特解（6）（7）见P307第38页/共50页201

6、3年6月39解解由例5知故初值问题的解为例6 设的解.第39页/共50页2013年6月40故初值问题的解为第40页/共50页2013年6月41注意：若基解矩阵不满足定理3.4中条件seeP308的例3.6第41页/共50页2013年6月421.常系数齐次线性微分方程组的求解步骤小结(1)写出矩阵A的特征方程求出特征值l.l.(2)代入特征值l li,作矩阵A-l liE的初等行变换，求出A的属于特征值l li的特征向量第42页/共50页2013年6月43(3)代入特征值l li,作矩阵A-l liE的初等行变换，求出A的属于特征值l li的特征向量(i)(ii)第43页/共50页2013年6月44(iii)应用公式计算 若属于l li的线性无关特征向量个数ni第44页/共50页2013年6月452.常系数非齐次线性微分方程组的求解常系数非齐线性微分方程组的通解第45页/共50页2013年6月46解解故齐次方程组的基解矩阵为第46页/共50页2013年6月47第47页/共50页2013年6月48解解第48页/共50页2013年6月49，故所求方程组的通解为第49页/共50页2013年6月50感谢您的欣赏！第50页/共50页