Ch均值方差偏好下的投资组合选择实用.pptx

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1、2023/3/231教学重点 1.均值方差分析方法的合理性及其含义；2.选择最优投资组合的数理方法及其中蕴涵的多元化投资、风险、收益间关系；3.掌握两基金分离定理的内容及其经济学含义。第1页/共94页2023/3/232一、均值方差分析的假设条件（一）问题的提出 1.前章对最优投资组合的分析是建立在一般期望效用理论基础之上的。在这种分析中，我们对经济主体的效用函数和资产的收益分布只做了一般性的规定。其结论的应用范围难以确定，也限制了期望效用理论在资产定价中的应用。2.Markowitz(1952)发展了一个在不确定条件下严格陈述的可操作的资产组合选择理论：均值-方差方法 Mean-Varian

2、ce methodology.第2页/共94页2023/3/233 这一理论的问世，使金融学开始摆脱了纯粹的描述性研究和单凭经验操作的状态，标志着数量化方法进入金融领域。马科维茨的工作所开始的数量化分析和MM理论中的无套利均衡思想相结合，酝酿了一系列金融学理论的重大突破。正因为如此，马科维茨获得了19901990年诺贝尔经济学奖。第3页/共94页2023/3/234 马科维茨投资组合选择理论的基本思想为：投资组合是一个风险与收益的trade-off问题，此外投资组合通过分散化的投资来对冲掉一部分风险。“nothing ventured,nothing gained”for a given le

3、vel of return to minimize the risk,and for a given level of risk to maximize the return”“Dont put all eggs into one basket”第4页/共94页2023/3/235 3.马科维茨均值-方差组合理论的基本内容：在禁止融券和没有无风险借贷的假设下，以资产组合中个别资产收益率的均值和方差找出投资组合的有效前沿(Efficient Frontier)，即一定收益率水平下方差最小的投资组合，并导出投资者只在有效组合前沿上选择投资组合。欲使投资组合风险最小，除了多样化投资于不同的资产之外，

4、还应挑选相关系数较低的资产。第5页/共94页2023/3/236 4.均值-方差组合选择的实现方法：（1）收益证券组合的期望报酬 （2）风险证券组合的方差 （3）风险和收益的权衡求解二次规划 首先，投资组合的两个相关特征是：（1 1）它的期望回报率（均值）（2 2）可能的回报率围绕其期望偏离程度的某种度量，其中方差作为一种度量在分析上是最易于处理的。第6页/共94页2023/3/237 其次，理性的投资者将选择并持有有效率投资组合，即那些在给定的风险水平下的期望回报最大化的投资组合，或者那些在给定期望回报率水平上使风险最小化的投资组合。再次，通过对某种资产的期望回报率、回报率的方差和某一资产与

5、其它资产之间回报率的相互关系（用协方差度量）这三类信息的适当分析，辨识出有效投资组合在理论上是可行的。第7页/共94页2023/3/238 最后，通过求解二次规划，可以算出有效投资组合的集合，计算结果指明各种资产在投资者的投资中所占份额，以便实现投资组合的有效性即对给定的风险使期望回报率最大化，或对于给定的期望回报使风险最小化。第8页/共94页2023/3/239 5.马科维茨均值-方差组合理论的假设条件：（1）单期投资 单期投资是指投资者在期初投资，在期末获得回报。单期模型是对现实的一种近似描述，如对零息债券、欧式期权等的投资。虽然许多问题不是单期模型，但作为一种简化，对单期模型的分析成为我

6、们对多期模型分析的基础。（2 2）投资者事先知道资产收益率的概率分布，并且收益率满足正态分布的条件。第9页/共94页2023/3/2310（3 3）经济主体的效用函数是二次的，即 。（4 4）经济主体以期望收益率（亦称收益率均值）来衡量未来实际收益率的总体水平，以收益率的方差（或标准差）来衡量收益率的不确定性（风险），因而经济主体在决策中只关心资产的期望收益率和方差。（5 5）经济主体都是非饱和的和厌恶风险的，遵循占优原则，即：在同一风险水平下，选择收益率较高的证券；在同一收益率水平下，选择风险较低的证券。第10页/共94页2023/3/2311 6.问题：为何在马科维茨的均值-方差分析中需要

7、对效用函数和资产收益率的分布作出限制？第11页/共94页2023/3/2312（二）均值-方差分析的局限性 M-V模型以资产回报的均值和方差作为选择对象，但是一般而言，资产回报的均值和方差不能完全包含个体资产选择时的所有个人期望效用函数信息。对于任意的效用函数和资产的收益分布，期望效用并不能仅仅用预期收益和方差这两个元素来描述。第12页/共94页2023/3/2313 例1:假设有两个博彩L1和L2，其中：L1=0.75；10，100，L2=0.99；22.727，1000E（R1）=32.5 E（R2）=32.5Var（R1）=1518.75 Var（R2）=9455.11显然，L2的风险比

8、L1大。第13页/共94页2023/3/2314 考虑一个效用函数为 ，显然，该个体为风险厌恶者，其在两个博彩中的期望效用分别为：Eu(R1)=4.872 Eu(R2)=5.036 即该风险厌恶者在预期收益相等的两个博彩中，方差较大的博彩获得的期望效用较高。第14页/共94页2023/3/2315 一般地，假设经济主体在未来的全部收益或财富是一个随机变量 ，关于这个未来财富变量的效用函数可以通过泰勒展开式在经济行为主体对于这个随机变量的预期值周围展开。即 第15页/共94页2023/3/2316两边取期望值后得到：显然，对于具有严格凹的递增效用函数的经济主体而言，其评价风险资产的效用不能仅仅只

9、考虑其期望收益率和方差，因为三阶以上的中心矩E（R3）也影响其期望收益。第16页/共94页2023/3/2317 但是，如果财富的高阶矩为0或者财富的高阶矩可用财富的期望和方差来表示，则期望效用函数就仅仅是财富的期望和方差的函数。第17页/共94页2023/3/2318（三）均值方差分析的基本假设 定理一：在经济主体的未来收益或财富为任意分布的情况下，如果经济主体的效用函数为二次效用函数 那么，期望效用仅仅是财富的期望和方差的函数。证明：P180第18页/共94页2023/3/2319 定理二：在经济主体的偏好为任意偏好的情况下，如果资产收益的分布服从正态分布，则期望效用函数仅仅是财富的期望和

10、方差的函数。在收益分布为正态分布的情况下，上述展开式中，三阶以上的中心矩中，奇数项为零，偶数阶的中心矩可写成均值和方差的函数。第19页/共94页2023/3/2320（三）二次效用函数与收益正态分布假设的局限性 1.二次效用函数的局限性 二次效用函数具有递增的绝对风险厌恶和满足性两个性质。满足性意味着在满足点以上，财富的增加使效用减少，递增的绝对风险厌恶意味着风险资产是劣质品。这与那些偏好更多的财富和将风险视为正常商品的投资者不符。所以在二次效用函数中，我们需要对参数b的取值范围加以限制。第20页/共94页2023/3/2321 2.收益正态分布的局限性 （1）资产收益的正态分布假设与现实中资

11、产收益往往偏向正值相矛盾。收益的正态分布意味着资产收益率可取负值，但这与有限责任的经济原则相悖（如股票的价格不能为负）。（2）对于密度函数的分布而言，均值-方差分析没有考虑其偏斜度。概率论中用三阶矩表示偏斜度，它描述分布的对称性和相对于均值而言随机变量落在其左或其右的大致趋势。显然，正态分布下的均值-方差分析不能做到这一点。第21页/共94页2023/3/2322（3）用均值-方差无法刻画函数分布中的峭度。概率论中用四阶矩表示峭度。但这一点在正态分布中不能表达。实际的经验统计表明，资产回报往往具有“尖峰”“胖尾”的特征。这显然不符合正态分布。第22页/共94页2023/3/2323 尽管均值-

12、方差分析存在缺陷，且只有在严格的假设条件下才能够与期望效用函数的分析兼容，但由于其分析上的灵活性，相对便利的实证检验以及简洁的预测功能，使其成为广泛运用的金融和财务分析手段。第23页/共94页2023/3/2324二、资产组合收益与风险的度量及分散化效应（一）先行案例 A公司的股票价值对糖的价格很敏感。多年以来，当当地糖的产量下降时，糖的价格便猛涨，而A公司便会遭受巨大的损失。该公司股票收益率在不同状况下的情况如下：A公司股票收益10.5%，标准差为18.9%。糖生产的正常年份糖生产的正常年份异常年份异常年份股市的牛市股市的牛市股市的熊市股市的熊市糖的生产糖的生产危机危机概率概率0.50.30

13、.2收益率收益率%2510-25第24页/共94页2023/3/2325 假定某投资者考虑下列几种可供选择的资产，一种是持有A公司的股票，一种是购买无风险资产，还有一种是持有糖业公司B的股票。现已知投资者持有50%A公司的股票，另外的50%在无风险资产和持有糖业公司股票之间进行选择。无风险资产的收益率为5%。糖业公司B的股票收益率变化如下：第25页/共94页2023/3/2326B公司股票收益为6%，标准差为14.43%糖生产的正常年份糖生产的正常年份异常年份异常年份股市的牛市股市的牛市股市的熊市股市的熊市糖的生产糖的生产危机危机概率概率0.50.30.2收益率收益率%1-535第26页/共9

14、4页2023/3/2327E(rArB)25%1%10%（5%）35%（25%）0.50.30.2第27页/共94页2023/3/2328 投资者不同投资策略下期望收益与标准差：资产组合资产组合预期收益率预期收益率%标准差标准差(%)全部投资在于全部投资在于A公司股票公司股票10.518.90组合一：组合一：A公司公司股票和无风险资股票和无风险资产各投资产各投资50%7.759.45组合二：组合二：A公司公司和和B公司股票各公司股票各投资投资50%8.254.59第28页/共94页2023/3/2329（二）资产的期望收益（均值）（1）单一资产的期望收益 在任何情况下，资产的均值或期望收益是其

15、收益的概率加权平均值。Pr(s)表示s状态下的概率，r(s)为该状态下的收益率，则期望收益E(r)为 在上例中，我们可以算出投资于A公司股票的期望收益率为10.5%。第29页/共94页2023/3/23302.资产组合的期望收益（均值）资产组合的期望收益是构成组合的每一资产收益率的加权平均，以构成比例为权重.每一资产对组合的预期收益率的贡献依赖于它的预期收益率，以及它在组合初始价值中所占份额，而与其他一切无关。上例中第一种投资组合的收益率为7.75%7.75%，第二种投资组合的收益率为8.25%.8.25%.第30页/共94页2023/3/2331 假定市场上有资产1，2，N。资产i的期望收益

16、率为 ，方差为 i，资产i与资产j的协方差为 ij（或相关系数为 ij）（i=1，2，n，j=1，2，m）投资者的投资组合为：投资于资产i的比例为 ，i=1，2，N，则资产组合的期望收益为第31页/共94页2023/3/2332（三）资产的方差1.单一资产的方差 资产收益的方差是期望收益偏差的平方的期望值：在上例中，A公司股票收益的方差为357.25/W，标准差为18.9%。B公司股票收益率的标准差为14.73%.第32页/共94页2023/3/23332.资产组合的方差 （1）两资产组合收益率的方差 方差分别为 与 的两个资产以W1与W2的权重构成一个资产组合 的方差为，如果一个无风险资产与

17、一个风险资产构成组合，则该组合的标准差等于风险资产的标准差乘以该组合投资于这部分风险资产的比例。第33页/共94页2023/3/2334 在上例中投资组合1的标准差为9.45%，投资组合2的方差为21.1/W，标准差为4.59%。第34页/共94页2023/3/2335（2）多资产组合的方差 第35页/共94页2023/3/2336（四）资产的协方差 协方差是两个随机变量相互关系的一种统计测度，即它测度两个随机变量，如资产A A和B B的收益率之间的互动性。第36页/共94页2023/3/2337（五）相关系数 与协方差密切相关的另一个统计测量度是相关系数。事实上，两个随机变量间的协方差等于这

18、两个随机变量之间的相关系数乘以它们各自的标准差的积。资产A A和资产B B相关系数为第37页/共94页2023/3/2338 测量两种股票收益共同变动的趋势:-1.0 +1.0 完全正相关:+1.0 完全负相关:-1.0 在-1.0 和+1.0 之间的相关性可减少风险 但不是全部第38页/共94页2023/3/2339 在上例中，投资组合2中两公司股票收益的协方差为 -240.5/w，其相关系数为-0.88。第39页/共94页2023/3/2340（六）多个资产的方差-协方差矩阵第40页/共94页2023/3/2341（七）资产组合的风险分散效应 资产组合的方差不仅取决于单个资产的方差，而且还

19、取决于各种资产间的协方差。随着组合中资产数目的增加，在决定组合方差时，协方差的作用越来越大，而方差的作用越来越小。例如，在一个由30种证券组成的组合中，有30个方差和870个协方差。若一个组合进一步扩大到包括所有的证券，则协方差几乎就成了组合标准差的决定性因素。第41页/共94页2023/3/2342 风险的分散化原理被认为是现代金融学中唯一“白吃的午餐”。将多项有风险资产组合到一起，可以对冲掉部分风险而不降低平均的预期收益率。第42页/共94页2023/3/2343 假定资产1在组合中的比重是w，则资产2的比重就是1-w。它们的预期收益率和收益率的方差分别记为E(r1)和E(r2)，2 21

20、 1和 2 22 2，组合的预期收益率和收益率的方差则记为E(r)和 2 2。那么，第43页/共94页2023/3/2344因为-1+1，所以有w 1-(1-w)22 2 2 2w 1+(1-w)22 2 这表明，组合的标准差不会大于标准差的组合。事实上，只要 1，就有，2种风险资产，w代表投资到n种资产上的投资比例，w为一个n维列向量。记为：同时，允许w0，即卖空不受限制。2.为i资产的期望收益率，为风险资产组合的期望收益，同时，令所有n种资产的期望收益率组成的向量为第66页/共94页2023/3/2367 3.假设n种资产的收益率是非共线性的，即其中任何一种风险资产的随机收益都不能表示为其

21、他资产随即收益的线性组合。则组合的期望收益为：4.组合的方差、协方差矩阵为：第67页/共94页2023/3/2368 由于我们假定组合中资产的随机收益是非共线性的，所以，该矩阵是非奇异（nonsingular）的。此外，由于组合的方差是非负的，所以，组合的方差必须是一个正定矩阵，即对于任何非0的向量 ，都有 ，因此，整个组合的方差为第68页/共94页2023/3/2369（二）N种风险资产组合的组合前沿1.定义 给定收益率水平，如果一个资产组合收益率的方差是所有期望收益率为的组合中最小的，则称它为一个边界组合（frontier portfolio），所有边界组合构成的集合为组合边界。用数学语言

22、描述为：p是一个前沿资产组合当且仅当它的资产组合权重是二次规划问题P的解。第69页/共94页2023/3/2370第70页/共94页2023/3/2371 通过上述二次规划问题的求解，我们可以得到组合边界方程，它是均值-方差平面上的一条抛物线，这条抛物线称为最小方差曲线（minimum variance curve,MVC）抛物线的顶点对应于一个在所有组合中方差最小的组合，称为最小方差组合（minimum variance portfolio,MVP）。第71页/共94页2023/3/2372组合边界方差均值mvp第72页/共94页2023/3/2373（三）有效组合前沿 期望收益率严格高于最

23、小方差组合期望收益率的前沿边界称为有效组合前沿。位于资产组合前沿边界，既不是有效资产组合，又不是最小方差资产组合的前沿边界合称为非有效组合前沿。对于每一个属于非有效组合前沿上的资产组合，存在一个具有相同方差但更高期望收益率的有效资产组合。第73页/共94页2023/3/2374（四）组合前沿的性质 1.任何一个具有均值-方差偏好的经济主体的最优组合是一个均值-方差前沿组合。2.任意的前沿资产组合都可以由期望收益为0和期望收益为1的两个前沿组合组合而成。3.任何前沿边界组合的线性组合仍在前沿边界上。有效资产组合的任何凸组合仍是有效组合，有效组合的集合因此是一个凸集。第74页/共94页2023/3

24、/2375 4.任何具有均值-方差效率的资产组合都是由任何两个具有均值-方差效率的组合构成；由两个均有均值-方差效率的资产组合的线性组合构成的资产组合也是具有均值-方差效率的资产组合。5.最小方差组合mvp，与任何资产组合（不仅仅是前沿边界上的）收益率的协方差总是等于最小方差资产组合的收益率的方差。第75页/共94页2023/3/2376 6.资产组合边界的一个重要性质是，对于前沿边界上的任何资产p，除了最小方差资产组合，存在唯一的前沿边界资产组合，用zc(p)表示，与p的协方差为0。7.不存在与最小方差资产组合具有0协方差的前沿边界资产组合。第76页/共94页2023/3/2377（五）考虑

25、无风险资产的情形 考虑无风险资产情况下的投资者的二次规划问题为：第77页/共94页2023/3/2378 该二次规划问题的解表明，包含无风险资产在内的资产组合的均值-方差有效组合前沿为一条直线。MABC第78页/共94页2023/3/2379图中的AM线为效率组合前沿，该直线的方程可写为：当风险资产组合M固定时，无风险资产与风险资产组合的期望值收益和标准差呈线性关系。直线AM也称为对应于切点组合M的转换线（transformation line），它刻画了投资者在特定风险组合和无风险收益率之间的转换。在转换线上，点M对应着投资者将所有财富投资于风险资产组合。第79页/共94页2023/3/23

26、80 位于点M左侧的所有点对应于投资者将其财富的一部分投资于风险资产，另一部分则用于贷出生息；位于点M右侧的所有点对应于投资者在市场上卖空风险资产。该转换线也称之为资本市场线（Capital Market Line，CML）。它表明所由具有均值-方差偏好的经济主体都在资本市场线上选择最优的资产组合。转换线的斜率为：第80页/共94页2023/3/2381 其分子为组合M的风险溢价，该斜率刻画了组合单位风险所带来的风险溢价，我们称其为夏普比率（Sharp Ratio）。同样地，我们可知，有无风险资产和风险资产构成的组合的夏普比率与风险资产组合M的夏普比率相等。在存在无风险资产情况下，如果组合M是

27、一个有效组合前沿上的资产组合，那么，对于任意的组合p，我们有第81页/共94页2023/3/2382第82页/共94页2023/3/2383分散化证券的风险由两部分组成，一是市场（系统）风险，二是个别（或非系统）风险第83页/共94页2023/3/2384组合的总风险第84页/共94页2023/3/2385例题：（1）证券A和证券B贝塔值分别为1.2和0.8，随机误差的标准差分别为6.06%和4.76%，市场指数的标准差 为8%。求投资权重相同情况的组合总风险？加上证券C，贝塔值为1，随机误差项的标准差为5.5%，求投资权重相同情况的组合总风险？第85页/共94页2023/3/2386解:(1

28、)第86页/共94页2023/3/2387解:(2)第87页/共94页2023/3/2388 如果我们将M点看作是切点组合，则意味着在均值方差世界中，经济主体只持有均值-方差有效组合，即无风险资产和风险资产的组合。或者，我们可以将CML的斜率看作是个体在均衡状态下的期望收益率和标准差的边际替代率（MRS）。在均衡状态下，每一个体最优状态下的边际替代率相等。由于所有个体面对同一条有效边界，且无风险收益率相等，从而每个个体持有的最优风险组合是一致的。因此，最优风险组合的选择与个体的风险态度和收入水平无关。个体的风险态度和收入水平只反映在其持有风险组合的比例上。第88页/共94页2023/3/238

29、9（六）最优投资组合选择 确定了有效组合前沿的形状之后，投资者就可以根据自己的风险偏好（无差异曲线群）选择能使自己投资效用最大化的最优投资组合了。这个组合位于无差异曲线与有效集的相切点O，如图所示：第89页/共94页2023/3/2390OBN第90页/共94页2023/3/2391 有效集向上凸的特性和无差异曲线向下凸的特性就决定了有效集和无差异区线的相切点只有一个，也就是说最优投资组合是唯一的。对投资者而言，有效集是客观存在的，它是由资本市场线决定的。而无差异曲线则是主观的，它是由自己的风险收益偏好决定的。厌恶风险程度越高的投资者，其无差异曲线的斜率越陡，因此其最优投资组合越接近N。厌恶风

30、险程度越低的投资者，其无差异曲线的斜率越小，因此其最优投资组合越接近B点。第91页/共94页2023/3/2392五、两基金分离定理 1.两基金分离定理（Two-Fund Separation Theorem)的含义 根据有效组合边界的性质，在均值方差组合的有效组合前沿上，任意两个有效组合的线性组合构成整个组合的有效前沿，且该组合仍为有效组合。在所有风险资产组合的有效组合边界上，任意两个分离的点都代表两个分离的有效投资组合，而有效组合边界上任意其它的点所代表的有效投资组合，都可以由这两个分离的点所代表的有效组合的线性组合生成。第92页/共94页2023/3/23932.两基金分离定理的经济学含义（共同基金定理）一个决定买入既定风险-收益特征的均值方差效率资产组合的投资者，可以通过投资到任何两个它信赖的证券投资基金上获得同样的收益，只要这两个基金是具有均值方差效率和不同收益率的。投资者无需直接投资于多种风险资产，而只要线性组合地投资在他认为有效率的两种证券基金即可。第93页/共94页2023/3/2394感谢您的欣赏！第94页/共94页