行列式按行列展开定理讲稿.ppt

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1、关于行列式按行列展开定理第一页，讲稿共四十九页哦2可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式来来计算计算.问题：问题：一个一个n 阶行列式是否可以转化为若干个阶行列式是否可以转化为若干个 n-1阶阶行列式来计算？行列式来计算？一一.按一行按一行(列列)展开行列式展开行列式第二页，讲稿共四十九页哦3定义定义1.5在在 n 阶行列式中阶行列式中,把元素把元素所在的第所在的第i行和行和 余子式余子式.记为记为称称为元素为元素的代数余子式的代数余子式.例如例如第第 j 列划去后列划去后,余下的余下的 n-1-1 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素第三页，讲稿共四

2、十九页哦4的余子式的余子式.的代数余子式的代数余子式.第四页，讲稿共四十九页哦5 注注 行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式一个代数余子式.第五页，讲稿共四十九页哦6 引理引理 若在若在 n 阶行列式阶行列式 D 的第的第 i 行中有一个元素行中有一个元素aij 0,其余元素全为零其余元素全为零,则则D=aij Aij.定理定理1.4 设设 n 阶阶行列式行列式则则 n 阶行列式阶行列式 D 的值等于它的任意一行的值等于它的任意一行(列列)的各元素的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和与其对应的代数余子式的乘积之和.即即第六页，讲稿共四

3、十九页哦7证证(只证按行展开第一式只证按行展开第一式)将行列式将行列式D改写为改写为 D=a1jA1j+a2jA2j+anjAnj (j=1,2,n)或或第七页，讲稿共四十九页哦8由行列式性质由行列式性质2及引理，得及引理，得=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin.(i=1,2,n)同理可证按列展开式成立同理可证按列展开式成立.第八页，讲稿共四十九页哦9解解 按第一行展开按第一行展开,得得例例1 计算行列式计算行列式第九页，讲稿共四十九页哦10 推论推论 n 阶行列式阶行列式 D 的任意一行的任意一行(列列)的元素与另一行的元素与另一行(列列)对应元素的代数余子式乘积的和等于零对应元素的代

4、数余子式乘积的和等于零.即即证证由定理由定理1,1,行列式等于某一行的元素分别与它们行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和代数余子式的乘积之和.第十页，讲稿共四十九页哦11在行列式在行列式中中,如果令第如果令第 i 行的元素等于另外一行行的元素等于另外一行,譬如第譬如第 k 行的元行的元素素第十一页，讲稿共四十九页哦12则则行列式含有两个相行列式含有两个相同的行同的行,值为值为 0.第十二页，讲稿共四十九页哦13综上所述综上所述,得公式得公式 注注 在计算数字行列式时在计算数字行列式时,直接应用行列式展开公式直接应用行列式展开公式并不一定简化计算并不一定简化计算,因为把一个因为把

5、一个n阶行列式换成阶行列式换成n个个(n1)阶行列式的计算并不减少计算量阶行列式的计算并不减少计算量,只是在行列式中只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时某一行或某一列含有较多的零时,应用展开定理才有应用展开定理才有意义意义，但展开定理在理论上是重要的但展开定理在理论上是重要的第十三页，讲稿共四十九页哦14利用行列式按行按列展开定理利用行列式按行按列展开定理,并结合行列式性质并结合行列式性质,可简可简化行列式计算：化行列式计算：计算行列式时计算行列式时,可先用行列式的性质将某一行可先用行列式的性质将某一行(列列)化为仅化为仅含含1个非零元素个非零元素,再按此行再按此行(列列)展开展开,变为

6、低一阶的行列式变为低一阶的行列式,如如此继续下去此继续下去,直到化为三阶或二阶行列式直到化为三阶或二阶行列式.例例2 计算行列式计算行列式第十四页，讲稿共四十九页哦15解解 第十五页，讲稿共四十九页哦16第十六页，讲稿共四十九页哦17例例3计算计算 n 阶行列式阶行列式第十七页，讲稿共四十九页哦18解解 将将Dn 按第一列展开按第一列展开于是于是,得递推公式得递推公式而由递推公式而由递推公式,得得继续递推公式继续递推公式,得得第十八页，讲稿共四十九页哦19故故例例4证明范德蒙证明范德蒙(Vandermonde)(Vandermonde)行列式行列式第十九页，讲稿共四十九页哦20 证证用数学归纳

7、法用数学归纳法(1)当当n=2时时,结论成立结论成立.(2)设设n-1-1阶范德蒙行列式成立阶范德蒙行列式成立,证明证明n阶也成立阶也成立.第二十页，讲稿共四十九页哦21n-1 1阶范德蒙行列式阶范德蒙行列式第二十一页，讲稿共四十九页哦22证毕证毕.用降阶法计算行列式的值用降阶法计算行列式的值.（按行按列展开）（按行按列展开）=57练习题练习题第二十二页，讲稿共四十九页哦23例例5 利用性质及展开定理计算行列式的值利用性质及展开定理计算行列式的值.解解第二十三页，讲稿共四十九页哦24按第二列展开按第二列展开按第二行展开按第二行展开第二十四页，讲稿共四十九页哦25例例6 计算行列式计算行列式第二

8、十五页，讲稿共四十九页哦26解解 将行列式每一列加到第一列，则将行列式每一列加到第一列，则第二十六页，讲稿共四十九页哦27第二十七页，讲稿共四十九页哦28例例7 计算行列式计算行列式解解 我们称行列式我们称行列式D为箭形行列式为箭形行列式解决的目标：化为上三角形行列式解决的目标：化为上三角形行列式.第二十八页，讲稿共四十九页哦29第二十九页，讲稿共四十九页哦30例例8 计算行列式计算行列式第三十页，讲稿共四十九页哦31箭形行列式箭形行列式第三十一页，讲稿共四十九页哦32第三十二页，讲稿共四十九页哦33例例9（可以化为箭形行列式）可以化为箭形行列式）第三十三页，讲稿共四十九页哦34第三十四页，讲

9、稿共四十九页哦35第三十五页，讲稿共四十九页哦36二二.行列式按某行列式按某k行行(列列)展开展开定义定义1.6在在n阶行列式阶行列式D中任取中任取k行行k列列(1k n),称称位于这些行与列的交叉点处的位于这些行与列的交叉点处的k2个元素按照其在个元素按照其在D 中的相中的相对位置所组成的对位置所组成的k阶行列式阶行列式N为为D的一个的一个k阶子式阶子式.第三十六页，讲稿共四十九页哦37称划去称划去 N 所在的行与列后剩下的元素按照其在所在的行与列后剩下的元素按照其在 D中的中的相对位置所组成的相对位置所组成的 n-k 阶行列式阶行列式 M 为为 N 的余子式的余子式.若若 N 所在的行与列

10、的行标与列标分别为所在的行与列的行标与列标分别为第三十七页，讲稿共四十九页哦38例例10 设设则则D的位于第的位于第1、3行行,第第2、3列的列的2阶子式为阶子式为及及则称则称为为N的代数余子式的代数余子式,记作记作A.即即第三十八页，讲稿共四十九页哦39，N1的代数余子式为的代数余子式为D的位于第的位于第1、3、4行行,第第2、3、4列的列的3阶子式为阶子式为，N2的代数余子式为的代数余子式为第三十九页，讲稿共四十九页哦40显然显然,n 阶行列式阶行列式D位于某位于某k行的行的k阶子式有阶子式有个个,从而从而D共有共有个个k阶子式阶子式.定理定理1.5n 阶行列式阶行列式 D 等于其位于某等

11、于其位于某 k 行的所有行的所有k 阶阶与其对应的代数余子式与其对应的代数余子式A1,A2,.,At 的乘积之和的乘积之和,即即 显然显然,定理定理1.4是定理是定理1.5 中中k=1 时的特例时的特例.按照定理按照定理1.5展展开行列式似乎很繁开行列式似乎很繁,但当行列式的某些行中有众但当行列式的某些行中有众第四十页，讲稿共四十九页哦41多的零时多的零时,定理定理1.5的实用价值立即展现出来的实用价值立即展现出来.例例11计算行列式计算行列式解解因为因为D中第中第2、4 行的行的个个2阶子式中只有阶子式中只有 一个是非零的一个是非零的.故将故将D按第按第2、4 行展开得行展开得第四十一页，讲

12、稿共四十九页哦42例例12计算计算 m+n 阶行列式阶行列式第四十二页，讲稿共四十九页哦43解解按前按前m列展开列展开,得得第四十三页，讲稿共四十九页哦44例例13计算计算 2n 阶行列式阶行列式(其中未写出的元素皆其中未写出的元素皆为零）为零）解解按按第第1、2n行展开行展开,因位于这两行的全部因位于这两行的全部 2阶子阶子式中只有式中只有1个个(即位于第即位于第1、2n列的列的2阶子式阶子式)可能非零可能非零且且其余子式恰为其余子式恰为0,相应的代数余子式为相应的代数余子式为第四十四页，讲稿共四十九页哦45故得故得于是于是,得递推公式得递推公式从而从而第四十五页，讲稿共四十九页哦46三三.小结与思考题小结与思考题2.行列式按某行行列式按某行(列列)展开降阶方法求行列式展开降阶方法求行列式.1.行列式的余子式与代数余子式的概念和计算方法行列式的余子式与代数余子式的概念和计算方法.思考题思考题1第四十六页，讲稿共四十九页哦47思考题思考题1解答解答第四十七页，讲稿共四十九页哦48思考题思考题2求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和第四十八页，讲稿共四十九页哦感感谢谢大大家家观观看看第四十九页，讲稿共四十九页哦