D723可分离变量微分方程.pptx

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1、例例1.求微分方程求微分方程的通解.解:分离变量得两边积分得即(C 为任意常数)或说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解 y=0)第1页/共18页例例2.解初值问解初值问题题解:分离变量得两边积分得即由初始条件得 C=1,(C 为任意常数)故所求特解为第2页/共18页例例3:解法 1 分离变量即(C 0 )解法 2故有积分(C 为任意常数)所求通解:积分第3页/共18页练习练习.求下述微分方程的通求下述微分方程的通解解:解:令 则故有即解得(C 为任意常数)所求通解:第4页/共18页例例4.子的含量 M 成正比,求在衰变过程中铀含量 M(t)随时

2、间 t 的变化规律.解:根据题意,有(初始条件)对方程分离变量,即利用初始条件,得故所求铀的变化规律为然后积分:已知 t=0 时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原第5页/共18页例例5.成正比,求解:根据牛顿第二定律列方程初始条件为对方程分离变量,然后积分:得利用初始条件,得代入上式后化简,得特解并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系.t 足够大时第6页/共18页内容小结内容小结1.微分方程的概念微分方程;定解条件;2.可分离变量方程的求解方法:说明:通解不一定是方程的全部解.有解后者是通解,但不包含前

3、一个解.例如,方程分离变量后积分;根据定解条件定常数.解;阶;通解;特解 y=x 及 y=C 第7页/共18页(1)找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法:1)根据几何关系列方程(如:P298 题5(2)2)根据物理规律列方程3)根据微量分析平衡关系列方程(2)利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.(3)求通解,并根据定解条件确定特解.3.解微分方程应用题的方法和步解微分方程应用题的方法和步骤骤例4例5例6第8页/共18页思考与练习思考与练习 求下列方程的通解:提示:(1)分离变量(2)方程变形为第9页/共18页作业作业P 304 1(1),(5),(7),(10);2(3)

4、,(4);5;6第三节 第10页/共18页齐次方程 第三节第三节 第七章 第11页/共18页齐次方程齐次方程形如的方程叫做齐次方程.令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替 u,便得原方程的通解.解法:分离变量:第12页/共18页例例1.解微分方程解微分方程解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为(当 C=0 时,y=0 也是方程的解)(C 为任意常数)此处第13页/共18页例例2.解微分方程解微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即说明:显然 x=0,y=0,y=x 也是原方程的解,但在(C 为任意常数)求解过程中丢失了.第14页/共18页由光的反射定律:可得 OMA=OAM=例例3.探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面,它的形它的形状由状由解:将光源所在点取作坐标原点,并设入射角=反射角能的要求,在其旋转轴(x 轴)上一点O处发出的一切光线，从而 AO=OMxOy 坐标面上的一条曲线 L 绕 x 轴旋转而成,按聚光性而 AO 于是得微分方程:经它反射后都与旋转轴平行.求曲线 L 的方程.第15页/共18页积分得故有得 (抛物线)故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为(齐次方程)第16页/共18页作业作业P309 1(1),(4),(6);2(2),(3);3;第四节 第17页/共18页感谢您的欣赏！第18页/共18页