向量与矩阵的范数.pptx

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1、证明：都是 上的范数，并且还有引理（Hoider不等式）：设第1页/共83页则 其中 且 。引理（Minkowski不等式）：设则 第2页/共83页其中实数 。几种常用的范数定义：设向量 ，对任意的数 ，称为向量 的 范数。常用的 范数：（1）1范数 第3页/共83页（2）2范数也称为欧氏范数。（3）范数 定理：证明：令 ，则第4页/共83页于是有另一方面第5页/共83页故由此可知定义：设 是 维线性空间 上定义的两种向量范数，如果存在两个与 无关的正数 使得第6页/共83页定理：有限维线性空间 上的任意两个向量范数都是等价的。利用向量范数可以去构造新的范数。例：设 是 上的向量范数，且 ，则

2、由所定义的 是 上的向量范数。例：设 数域 上的 维线性空间，第7页/共83页 为其一组基底，那么对于 中的任意一个向量 可唯一地表示成又设 是 上的向量范数，则由所定义的 是 上的向量范数。矩阵范数第8页/共83页定义：对于任何一个矩阵 ，用 表示按照某一确定法则与矩阵 相对应的一个实数，且满足（1）非负性：当 只有且仅有当 （2）齐次性：为任意复数。（3）三角不等式：对于任意两个同种形状矩阵 都有第9页/共83页（4）矩阵乘法的相容性：对于任意两个可以相乘的矩阵 ，都有那么我们称 是矩阵 的范数。例 1：对于任意 ，定义可以证明如此定义的 的确为矩阵 的范数。第10页/共83页证明：只需要

3、验证此定义满足矩阵范数的四条性质即可。非负性，齐次性与三角不等式容易证明。现在我们验证乘法的相容性。设 ，则第11页/共83页第12页/共83页例 2 ：设矩阵 ，证明：是矩阵范数。证明：非负性，齐次性和三角不等式容易证得。现在我们考虑乘法的相容性。设 ，那么第13页/共83页因此 为矩阵 的范数。第14页/共83页例 3 ：对于任意 ，定义可以证明 也是矩阵 的范数。我们称此范数为矩阵 的Frobenious范数。证明：此定义的非负性，齐次性是显然的。利用Minkowski不等式容易证明三角不等式。现在我们验证乘法的相容性。设 ，则 第15页/共83页于是有 第16页/共83页例 4：对于任

4、意 ，定义证明如此定义的 是矩阵 的范数。证明：首先注意到这样一个基本事实，即由上一个例题可知此定义满足范数的性质。第17页/共83页Frobenious范数的性质：（1）如果 ，那么（2）（3）对于任何 阶酉矩阵 与 阶酉矩阵 第18页/共83页 都有等式关于矩阵范数的等价性定理。定理：设 是矩阵 的任意两种范数，则总存在正数 使得第19页/共83页 诱导范数定义：设 是向量范数，是矩阵范数，如果对于任何矩阵 与向量 都有则称矩阵范数 与向量范数 是相容的。例 1：矩阵的Frobenius范数与向量的2-范数是相容的.证明:因为 第20页/共83页根据Hoider不等式可以得到第21页/共8

5、3页第22页/共83页于是有 例 2：设 是向量的范数，则满足矩阵范数的定义，且 是与向量范 相容的矩阵范数。证明：首先我们验证此定义满足范数的四条性质。非负性，齐次性与三角不等式易证。现在考虑矩阵范数的相容性。第23页/共83页设 ，那么 因此 的确满足矩阵范数的定义。第24页/共83页 最后证明 与 是相容的。由上面的结论可知这说明 与 是相容的。定义：上面所定义的矩阵范数称为由向量范数 所诱导的诱导范数或算子范数。由 第25页/共83页向量 P-范数 所诱导的矩阵范数称为矩阵P-范数。即常用的矩阵P-范数为 ，和 。定理：设 ，则（1）我们称此范数为矩阵 的列和范数。第26页/共83页（

6、2）表示矩阵 的第 个特征值。我们称此范数为矩阵 的谱范数。（3）我们称此范数为矩阵 的行和范数。例 1：设 第27页/共83页计算 ，和 。解：第28页/共83页因为所以 。练习 ：设 或第29页/共83页分别计算这两个矩阵的 ，和 。例 2：证明：对于任何矩阵 都有第30页/共83页如何由矩阵范数构造与之相容的向量范数？定理：设 是矩阵范数，则存在向量范数 使得证明：对于任意的非零向量 ，定义向量范数 ，容易验证此定义满足向量范数的三个性质，且第31页/共83页例：已知矩阵范数求与之相容的一个向量范数。解：取 。设第32页/共83页那么矩阵的谱半径及其性质定义：设 ，的 个特征值为 ，我们

7、称为矩阵 的谱半径。例 1 ：设 ，那么第33页/共83页这里 是矩阵 的任何一种范数。例 2 ：设 是一个正规矩阵，则证明：因为 第34页/共83页于是有例 3 ：设 是 上的相容矩阵范数。证明：（1）（2）为可逆矩阵，为 的特征值则有第35页/共83页例 5 ：如果 ，则 均为可逆矩阵，且这里 是矩阵 的算子范数。第36页/共83页特征值估计粗略估计圆盘定理第37页/共83页（1 1）定理定理1 1(Schur)设 的特征值为 ，则 （2 2）（3 3）这里 。并且当且仅当 是正规矩阵时，等号成立。第38页/共83页（1）的证明）的证明：设 的Schur分解为 ，上三角阵 的主对角元就是矩

8、阵 的特征值。所以根据F-范数的酉不变性，有第39页/共83页（2）的证明）的证明：由于 ，因此第40页/共83页在上述证明中，当且仅当 是正规矩阵时，上三角阵 为对角矩阵，即因此等号都成立。第41页/共83页（1 1）推论推论1111(Hirsch)对 的任意特征值 ，有（2 2）（3 3）第42页/共83页（1）的证明）的证明：因此第43页/共83页例例 1 1 矩阵按推论11所得特征值的变化范围为带型区域：这个结果显然比相应的Gerschgorin区域差。第44页/共83页定义定义2 2 对方阵 ，称为矩阵 的行盖尔（Gerschgorin）圆。称并集 为矩阵 的行盖尔（Gerschgo

9、rinGerschgorin）区域。这里类似地，可定义矩阵 的列盖尔圆。第45页/共83页定理定理3 3 （Gerschgorin）对方阵 （1 1）矩阵 的特征值都位于其行盖尔区域内；（2 2）若矩阵 有 个盖尔圆构成的并集 是连通区域，并且与其余 个盖尔圆均不相交，则 中恰好有 的 个特征值。第46页/共83页（1）的证明）的证明：设 有特征对 ，这里 ，则令 ，则 ，因此从而第47页/共83页例例 2 2 矩阵的三个行Gerschgorin圆分别是：第48页/共83页Wilkson在名著代数特征值问题中，先将矩阵变换成Jordan标准型，再用Gerschgorin定理和对角相似变换，对不

10、同特征值结构的特征值问题进行了细致的扰动分析。因为相似变换不改变特征值，为了得到特征值的更加准确的估计，Gerschgorin发现可以将矩阵 变换为其相似矩阵 ，以减少Gerschgorin圆的半径，达到隔离Gerschgorin 圆的目的。为计算方便，常常取 为对角矩阵第49页/共83页例例 3 3 矩阵经过对角相似变换 后，得第50页/共83页三个行Gerschgorin圆分别收缩为：第51页/共83页%ex801.m j=sqrt(-1);A=20 5 0.8;4 10 1;1 2 10*jgersch(A)%调用ATLAST程序库函数gerschhold on v=1 1 0.5;D=

11、diag(v);B=inv(D)*A*D%通过对角相似变换隔离Gerschgorin圆gersch(B)hold off第52页/共83页 ，如果 个数列都收敛，则称矩阵序列 收敛。进一步，如果那么 我们称矩阵 为矩阵序列 的极限。矩阵序列与极限定义：设矩阵序列 ，其中第53页/共83页例 ：如果设 ，其中那么第54页/共83页定理：矩阵序列 收敛于 的充分必要条件是其中 为任意一种矩阵范数。证明：取矩阵范数必要性：设 第55页/共83页那么由定义可知对每一对 都有从而有上式记为第56页/共83页充分性：设那么对每一对 都有即第57页/共83页故有现在已经证明了定理对于所设的范数成立，如果 是

12、另外一种范数，那么由范数的等价性可知第58页/共83页这样，当时同样可得因此定理对于任意一种范数都成立。同数列的极限运算一样，关于矩阵序列的极限运算也有下面的性质。（1）一个收敛的矩阵序列的极限是唯一的。（2）设第59页/共83页则（3）设，其中 ，那么（4）设 ，其中 第60页/共83页那么（5）设 ，且 ，均可逆，则 也收敛，且例 1：若对矩阵 的某一范数 ，则第61页/共83页例 2：已知矩阵序列：则 的充要条件是 。证明：设 的Jordan标准形其中第62页/共83页于是显然，的充要条件是又因第63页/共83页其中第64页/共83页于是 的充要条件是 。因此 的充要条件是 矩阵的幂级数

13、第65页/共83页定义：设 ，如果 个常数项级数都收敛，则称矩阵级数收敛。如果 个个常数项级数第66页/共83页都绝对收敛，则称矩阵级数绝对收敛。例 ：如果设 ，其中第67页/共83页那么矩阵级数是收敛的。第68页/共83页定理：设 ，则矩阵级数绝对收敛的充分必要条件是正项级数收敛，其中 为任意一种矩阵范数。证明：取矩阵范数 第69页/共83页那么对每一对 都有因此如果收敛，则对每一对 常数项级数第70页/共83页都是收敛的，于是矩阵级数绝对收敛。反之，若矩阵级数绝对收敛，则对每一对 都有第71页/共83页于是根据范数等价性定理知结论对任何一种范数都正确。第72页/共83页定义：设 ，称形如的

14、矩阵级数为矩阵幂级数。第73页/共83页定理：设幂级数 的收敛半径为为 阶方阵。若 ，则矩阵幂级数 绝对收敛；若 ，则 发散。第74页/共83页证明：设 的Jordan标准形为其中于是第75页/共83页所以第76页/共83页其中第77页/共83页第78页/共83页当 时，幂级数都是绝对收敛的，故矩阵幂级数 绝对收敛。第79页/共83页当 时，幂级数发散，所以 发散。定理：矩阵幂级数绝对收敛的充分必要条件是 。且其和为 。第80页/共83页例 1：（1）求下面级数的收敛半径（2）设判断矩阵幂级数 的敛散性。解：设此级数的收敛半径为 ，利用公式第81页/共83页容易求得此级数的收敛半径为2。而。所以由上面的定理可知矩阵幂级数绝对收敛。第82页/共83页感谢您的欣赏第83页/共83页