浙江师范大学高等数学d一般周期函数的傅里叶级数.pptx

《浙江师范大学高等数学d一般周期函数的傅里叶级数.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浙江师范大学高等数学d一般周期函数的傅里叶级数.pptx（27页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、一、周期为一、周期为2 l 的周期函数的傅里叶级的周期函数的傅里叶级数数周期为 2l 的函数 f(x)周期为 2 的函数 F(z)变量代换将F(z)作傅氏展开 f(x)的傅氏展开式第1页/共27页狄利克雷(Dirichlet)条件:1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点2)在一个周期内只有有限个极值点设周期为2l 的周期函数 f(x)满足收敛定理条件,则它的傅里叶级数展开式为(在 f(x)的连续点处)其中定理定理.第2页/共27页证明证明:令令,则令则所以且它满足收敛定理条件,将它展成傅里叶级数:(在 F(z)的连续点处)变成是以2 为周期的周期函数,第3页/共27页其中令(在 f(x)

2、的 连续点处)证毕 第4页/共27页说明说明:其中(在 f(x)的连续点处)如果 f(x)为偶函数,则有(在 f(x)的连续点处)其中注:无论哪种情况,在 f(x)的间断点 x 处,傅里叶级数都收敛于如果 f(x)为奇函数,则有 第5页/共27页 例例1.设设f(x)是周期为是周期为4的周期函数，它在的周期函数，它在-2,2）上的表达式为）上的表达式为解:这时l=2，按公式8-2有：2xyh-2o第6页/共27页将求得的系数an,bn代入公式8-1有：第7页/共27页 例例2.将如图所示函数分别展开成正弦级数将如图所示函数分别展开成正弦级数和余弦级数和余弦级数.解:M(x)是定义在0,l)上的

3、函数，要将它展开成正弦级数，必须对M(x)进行奇延拓.l/2lMoxpl/4按公式8-4计算延拓后的函数的傅里叶系数：第8页/共27页对上式右端第二项，令t=l-x，则：当n=2k为偶数时，b2k=0；n=2k-1为奇数时，第9页/共27页将求得的bn代入8-3式，得M(x)的正弦级数展开式为：（2）再求M(x)的余弦级数展开式，对M(x)进行偶延拓，再做周期延拓.按公式8-6(l换成l/2)计算傅里叶系数：第10页/共27页将求得的an代入8-5式，得：第11页/共27页为正弦 级数.内容小结内容小结1.周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式(x 间断点)其中当f(x)为奇 函数时,(偶)(

4、余弦)2.在任意有限区间上函数的傅里叶展开法变换延拓第12页/共27页作业:P327 1(3);2(2)第13页/共27页例例3.交流电压交流电压经半波整流后负压消失,试求半波整流函数的解:这个半波整流函数,它在傅里叶级数.上的表达式为的周期是第14页/共27页第15页/共27页n 1 时第16页/共27页由于半波整流函数 f(t)直流部分说明:交流部分由收收敛定理可得2 k 次谐波的振幅为 k 越大振幅越小,因此在实际应用中展开式取前几项就足以逼近 f(x)了.上述级数可分解为直流部分与交流部分的和.第17页/共27页例例4.把把展开成(1)正弦级数;(2)余弦级数.解:(1)将 f(x)作

5、奇周期延拓,则有在 x=2 k 处级数收敛于何值?第18页/共27页(2)将将 作偶周期延拓,则有第19页/共27页说明:此式对也成立,由此还可导出据此有第20页/共27页当函数定义在当函数定义在任意有限区间任意有限区间上上时时,方法1令即在上展成傅里叶级数周期延拓将在代入展开式上的傅里叶级数 其展开方法为:第21页/共27页方法方法2令在上展成正弦或余弦级数奇或偶式周期延拓将 代入展开式在即上的正弦或余弦级数 第22页/共27页例例5.将函数将函数展成傅里叶级数.解:令设将F(z)延拓成周期为 10 的周期函数,理条件.由于F(z)是奇函数,故则它满足收敛定第23页/共27页思考与练思考与练习习1.将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其图形?答:易看出奇偶性及间断点,2.计算傅里叶系数时哪些系数要单独算?答:用系数公式计算如分母中出现因子 nk从而便于计算系数和写出收敛域.必须单独计算.第24页/共27页备用题备用题期的傅立叶级数,并由此求级数(1991 考研)解:为偶函数,因 f(x)偶延拓后在展开成以2为周的和.故得 第25页/共27页得故第26页/共27页感谢您的观看！第27页/共27页