D正项级数的审敛准则.pptx

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1、1/42定理1.3(比较审敛法I)设并且(1)若则(2)若则证:收敛,也收敛;发散,也发散.分别表示两个级数的部分和是两个正项级数,证明的基本思路与无穷积分的比较准则I相同.由于(2)是(1)的逆否命题，因此只证明(1)即可.根据定理1.2,级数必收敛.第1页/共37页2/42注:根据性质1.2,定理1.3中的条件“”因为改变级数的有限项，不影响级数的敛散性可以改为“”第2页/共37页3/42推论设且存在对一切有(1)若强级数则弱级数(2)若弱级数则强级数收敛,也收敛;发散,也发散.是两个正项级数,(常数 k 0),第3页/共37页4/42证明级数发散.证:因为而级数发散根据比较审敛法可知,所

2、给级数发散.例1.第4页/共37页5/42定理1.4(比较审敛法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散;(2)当 l=0(3)当 l=设两正项级数满足(1)当 0 l 0下面证明,交错级数易见上式右端的前n项之和就是级数的敛散性.时收敛,特别地,当p=1时,级数也是收敛的.的和为ln2,并估计用部分和近似代替级数和时所产生的余项误差.的部分和并且第22页/共37页23/42Leibniz判别法是判别交错级数收敛的充分条件,故级数的和很多的交错级数和变号级数不能用此法判别.下面的绝对收敛准则是更常用的一种判别法.第23页/共37页24/42绝对收敛与条件收敛 定义:对任意的级数若若原级数收敛,但

3、取绝对值以后的级数发散,收敛,数为条件收敛.均为绝对收敛.例如：绝对收敛；则称原级数条件收敛.则称原级第24页/共37页25/42定理1.9 若级数证:因为根据级数的Cauchy收敛原理，收敛.收敛,收敛,则级数也收敛若级数绝对收敛，则必收敛.第25页/共37页26/42例7.证明下列级数绝对收敛:证:(1)而收敛,收敛因此绝对收敛.第26页/共37页27/42(2)令因此收敛,绝对收敛.小结第27页/共37页28/42例1.12 讨论级数的敛散性,若收敛,是否绝对收敛?证:(1)而收敛,第28页/共37页29/42其和分别为 绝对收敛级数的性质 定理1.10 绝对收敛级数重排后仍绝对收敛,而

4、且和不变.(P275 定理)(证明见 P275P277)定理1.11.(绝对收敛级数的乘法)则对所有乘积 按任意顺序排列得到的级数也绝对收敛,设级数与都绝对收敛,其和为(P277 定理)说明:绝对收敛级数有类似有限项和的性质,但条件收敛级数不具有这两条性质.绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.第29页/共37页30/42THE END第30页/共37页31/42内容小结2.判别正项级数敛散性的方法与步骤必要条件不满足发 散满足比值审敛法根值审敛法收 敛发 散不定 比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限第31页/共37页32/423.任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法:则

5、交错级数收敛概念:绝对收敛条件收敛第32页/共37页33/42思考与练习设正项级数收敛,能否推出收敛?提示:由比较判敛法可知收敛.注意:反之不成立.例如,收敛,发散.第33页/共37页34/42备用题1.判别级数的敛散性:解:(1)发散,故原级数发散.不是 p级数(2)发散,故原级数发散.第34页/共37页35/42 作业 P266 1(1),(3),(5);2 (2),(3),(4);*3 (1),(2);4 (1),(3),(5),(6);5(2),(3),(5)第三节 第35页/共37页36/422.则级数(A)发散;(B)绝对收敛;(C)条件收敛;(D)收敛性根据条件不能确定.分析:(B)错;又C第36页/共37页37/42感谢您的欣赏！第37页/共37页