热传导学习教程.pptx

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1、热传导热传导q一一、热传导方程及定解条件热传导方程及定解条件 q二二、一维稳态导热一维稳态导热 q三三、非稳态导热非稳态导热 第1页/共126页一一、热传导方程及定解条件热传导方程及定解条件1导热微分方程 直角坐标：第2页/共126页柱坐标：球坐标：第3页/共126页一维(x 向或 r 向)导热微分方程：直角坐标：柱坐标：球坐标：通式：第4页/共126页2定解条件定解条件v导热微分方程是对导热物体内部温度场内在导热微分方程是对导热物体内部温度场内在规律的描述，适用于所有的导热过程，是一规律的描述，适用于所有的导热过程，是一普遍适用方程。普遍适用方程。v要获得特定条件下导热问题的解必须附加限要获

2、得特定条件下导热问题的解必须附加限制条件制条件,这些限制条件称为定解条件。这些限制条件称为定解条件。v定解条件包括时间条件（定解条件包括时间条件（初始条件初始条件）和）和边界边界条件条件。v所以，导热问题完整的数学描述应包括其导所以，导热问题完整的数学描述应包括其导热微分方程和相应的定解条件热微分方程和相应的定解条件。第5页/共126页定解条件定解条件 v初始条件初始条件（I.C.）反映研究对象的特定历史条件。反映研究对象的特定历史条件。追溯了在某个初始时刻的状态追溯了在某个初始时刻的状态。v边界条件边界条件（B.C.）反映所研究对象是处于怎样的特定环境。反映所研究对象是处于怎样的特定环境。环

3、境通过体系的边界将如何影响所研究的对象环境通过体系的边界将如何影响所研究的对象。q下面以下面以传热为例传热为例写出相应的初始条件和边界条件。写出相应的初始条件和边界条件。第6页/共126页q给定某时刻物体内的温度或浓度分布，写为：给定某时刻物体内的温度或浓度分布，写为：传热 传质 对于初始时刻物体内温度或浓度处处均匀分布的情况，写为：传热 传质 1）初始条件初始条件第7页/共126页2 2）边界条件）边界条件 v即物体边界上与环境的换热或传质条件。即物体边界上与环境的换热或传质条件。v对导热、扩散问题通常有三类不同的边界条件对导热、扩散问题通常有三类不同的边界条件。直接给出边界上（任意时刻）的

4、数值。传热 传质 第一类边界条件（记为）第8页/共126页第二类边界条件第二类边界条件（记为记为）给出边界上的导数值（梯度值、通量值）给出边界上的导数值（梯度值、通量值）传质 如温度分布中心对称(x=0)，则写为 传热 如某一端面(L)绝热，则可具体写为 第9页/共126页 给出边界上物体与周围流体之间对流传递系数 以及与周围流体温度或浓度平均值 之间的关系式。已知 k,Ab传质 传热 已知 h,Tb 第三类边界条件第三类边界条件（记为记为）第10页/共126页流体侧对流传热通量固体侧界面处的导热通量第11页/共126页第三类边界条件最为复杂，其实质包含了第一类边界条件和第二类边界条件第三类边

5、界条件最为复杂，其实质包含了第一类边界条件和第二类边界条件在一些特殊情况下可以将在一些特殊情况下可以将 转为转为或或，使问题简化使问题简化。仍以仍以传热传热为例给以说明。为例给以说明。第12页/共126页则 转化为当流体侧为绝热保温材料时，则 转化为当流体侧有强烈的搅拌,使得物体边界与周围流体之间的对流热阻非常小时,边界条件可写为第13页/共126页平均温度平均温度 又可称为热衡算温度，截面平均温度，主体温又可称为热衡算温度，截面平均温度，主体温度度。平均浓度 又可称截面平均浓度，主体浓度。第14页/共126页q有了导热微分基本方程式，就可根据实际情况选择适当的初始条件和边界条有了导热微分基本

6、方程式，就可根据实际情况选择适当的初始条件和边界条件来求特定条件下的解。件来求特定条件下的解。q求解的过程需要用到数学知识求解的过程需要用到数学知识q边界条件，初始条件的确定则要凭借工程经验边界条件，初始条件的确定则要凭借工程经验。第15页/共126页二二、一维稳态导热一维稳态导热 v1.大平板稳态导热大平板稳态导热v2.长圆柱体稳态导热长圆柱体稳态导热 (有内热源有内热源)v3.圆球及圆壳内的稳态导热（有内热源）圆球及圆壳内的稳态导热（有内热源）第16页/共126页在工程实践中会遇到在工程实践中会遇到温度随时间变化温度随时间变化的的非稳态导热问题非稳态导热问题。实际上，只要物体受到加热或冷却

7、，就会产生非实际上，只要物体受到加热或冷却，就会产生非稳态导热问题稳态导热问题。例如，食物冷却、化冻、工件的淬火、铸件的冷例如，食物冷却、化冻、工件的淬火、铸件的冷却、土壤温度的变化、热动力设备起停时部件温却、土壤温度的变化、热动力设备起停时部件温度的变化等，都涉及热量传递的非稳态过程度的变化等，都涉及热量传递的非稳态过程。三、非稳态导热三、非稳态导热 第17页/共126页三、非稳态导热三、非稳态导热q在在工工程程问问题题中中，需需要要知知道道当当物物体体表表面面的的热热状状态态发发生生变变化化时时，物物体体内内给给定定的的温温度度变变化化到到某某一一确确定值需要的时间，这也是非稳态导热问题定

8、值需要的时间，这也是非稳态导热问题。q在在本本节节将将着着重重讨讨论论薄薄壁壁、无无限限大大物物体体、厚厚壁壁物物体体非非稳稳态态导导热热中中的的温温度度分分布布及及求求解方法解方法。q非非稳稳态态导导热热过过程程中中物物体体内内的的温温度度随随时时间间变变化化，所以过程的分析和计算比稳态导热困难。所以过程的分析和计算比稳态导热困难。第18页/共126页非稳态导热过程的特点非稳态导热过程的特点 v非稳态导热过程的最主要特点是，物体内部非稳态导热过程的最主要特点是，物体内部的的温度场随时间和空间变化。温度场随时间和空间变化。v出现这种特点的原因是，当边界上换热情况出现这种特点的原因是，当边界上换

9、热情况突然变化后，随时间推移，物体内部温度将突然变化后，随时间推移，物体内部温度将由表及里地逐渐发生变化。由表及里地逐渐发生变化。v如果边界上维持变化后的换热状态，则非稳如果边界上维持变化后的换热状态，则非稳态导热过程将过渡到稳态过程态导热过程将过渡到稳态过程。第19页/共126页非稳态导热过程的特点非稳态导热过程的特点从非稳态导热过程的起因从非稳态导热过程的起因边界换热情况边界换热情况变化这一因素变化这一因素来看来看，3 3种不同边界条件种不同边界条件对对物体内部温度随时间和空间变化的影响也有物体内部温度随时间和空间变化的影响也有所不同，但其实质是一样的，都是由于边界所不同，但其实质是一样的

10、，都是由于边界条件的变化引起物体内能变化所造成的条件的变化引起物体内能变化所造成的。第20页/共126页本节主要内容本节主要内容 1.薄壁物体的非稳态导热薄壁物体的非稳态导热（集总热容法集总热容法Bi0.1）2.半半无限大物体的非稳态导热无限大物体的非稳态导热（F0Tb。q讨论：物体内温度随时间的变化关系讨论：物体内温度随时间的变化关系。q解决薄壁物体非稳态导热问题，因为在微分方程的解决薄壁物体非稳态导热问题，因为在微分方程的简化过程中简化过程中不可能引用边界条件不可能引用边界条件，所以不能直接采，所以不能直接采用导热微分方程。用导热微分方程。v解决的办法是：解决的办法是：1.将边界对流换热条

11、件视为将边界对流换热条件视为微分方程中的内热微分方程中的内热源源2.直接从直接从热平衡概念热平衡概念出发求解出发求解。第25页/共126页方法一方法一-导热微分方程导热微分方程 由上面给出的条件，可以得到边界处换热量，进而由上面给出的条件，可以得到边界处换热量，进而得到内热源发热率为得到内热源发热率为 得 薄壁导热微分方程导热微分方程将上式代入导热微分方程 第26页/共126页方法二方法二-对物体进行热衡算对物体进行热衡算v环境得到的热量物体内部放出的热量环境得到的热量物体内部放出的热量即即 环境得到 的热量移项后得(7-26)薄壁导热微分方程物体内部放出热量第27页/共126页考虑初始条件为

12、考虑初始条件为 将上述方程分离变量，时间从 0 t，温度从T0 T 积分得 积分得：第28页/共126页集总热容法集总热容法得到薄壁物体内的温度分布得到薄壁物体内的温度分布（7-28）上式给出了薄壁物体在环境温度为常数的对流条件下，物体内的温度随时间的变化关系，见图。第29页/共126页此式表明，物体内部温度随时间呈指数衰减，且经历时间越长，物体内的温度离初始值越远，最终物体温度趋于流体温度Tb b。温度随时间的衰减关系图（7-28）未变分数第30页/共126页分析上式中指数项的物理意义。将指数其分解为 式中右侧第二项称之为Fouier准数，可视为无因次时间 式中右侧第一项称之为Biot准数，

13、可视为两热阻之比 第31页/共126页毕渥特毕渥特(Biot)准数的物理意准数的物理意义义B Bi i 越大意味着物体内部温度越不均匀，温度梯度较大，内部导热热阻起控制作用。当 Bi 0.1，物体内各点温度之间的偏差小于0.5%，可视为薄壁物体导热问题,采用集总热容法处理。B Bi i 越小物体内部温度趋于均匀，对流热阻起控制作用。第32页/共126页傅里叶傅里叶（Fouier）准准数数 故，F0 0 可视为无因次时间。F0 0 越大大，表示温度扰动越扰动越深深入物体内部，内部温度也越 接近周围介质温度。因此小F F0 0值导热可视为厚物体导热。第33页/共126页式中指数具有时间量纲，称为时

14、间常数。这意味着，经过一个时间常数段，物体与环境的温差是初始温差(T0-Tb)的36.8%（温度未变分率）即一个时间常数是物体温度(T-Tb)相对初始温差变化了总变量的 63.2%所需要的时间。用 tr 表示，即当 t=tr 时，有 第34页/共126页当 t=tr 时，TbT已变分率 0.6321个时间常数T0未变分率 0.368第35页/共126页当当t=4tr 时时，未变分率此时即可认为此导热过程已达到稳定状态。它反映了薄壁物体动态过程的一种性质，tr 越小，响应就越快。时间常数 tr 是物体在一定换热条件下的属性 时间常数时间常数tr第36页/共126页时间常数时间常数trv由由该式作

15、为指导，工程制作该式作为指导，工程制作热电偶热电偶热电偶热电偶时，希望热时，希望热电偶的电偶的tr 要小。要小。v能在尽可能短的时间内反映流体温度的变化能在尽可能短的时间内反映流体温度的变化意味着意味着：q热电偶材料的热容热电偶材料的热容,V,C要小要小，q热电偶的体积热电偶的体积V/A要小要小,q热电偶尽量放在气流大的位置热电偶尽量放在气流大的位置，即即h要要大大。第37页/共126页式中长度因次式中长度因次V/A 为物体的体积与其传热为物体的体积与其传热表面积之比，对于不同的规则物体分别有表面积之比，对于不同的规则物体分别有 球体：长圆柱体：正立方体：式中 R 为柱和球的半径，L 为柱长或

16、正立方体的边长。第38页/共126页集总热容法集总热容法将指数的准数代入上述温度分布式将指数的准数代入上述温度分布式（7-28），得到得到（7-32）上式反映了薄壁物体在环境温度为常数的对流传热条件下，物体内的温度随时间呈指数衰减变化关系。第39页/共126页瞬时热流量：上面分析了温度随时间的变化关系，现在设法找出物体与环境的热交换量，即物体传热量随时间变化关系。集总热容法集总热容法(Bi0.1)第40页/共126页集总热容法集总热容法(Bi0.1)以上讨论的均为物体被冷却的情况，同样可以对被加热或边界条件换为其他形式时的薄壁物体的导热进行求解。从从0 到到t 时刻间所交换的时刻间所交换的总热

17、量总热量：第41页/共126页【例例】应用举例应用举例 John警长，在一炎热夏天的警长，在一炎热夏天的凌晨凌晨2 2点，从食点，从食品冰库中发现一具被害尸体，发现时体温为品冰库中发现一具被害尸体，发现时体温为8 0C，1 1小时后体温降为小时后体温降为0 0C，冰库温度为冰库温度为30 0C。因为被害者被放在某个通风不良的角落中，因为被害者被放在某个通风不良的角落中，因此对流换热系数因此对流换热系数h很小，由此推断很小，由此推断 Bi0.1。请您根据以上数据请您根据以上数据,初步判断被害人是什么初步判断被害人是什么时候遇害的时候遇害的？第42页/共126页当 t=1h 时，冰库温度为30 0

18、C得：求遇害时间：发现时体温为8 0C说明遇害人被害时间约在前一天晚上11点30分。解得：1小时后体温从8 0C降为0 0C【解解】因为因为Bi0.1）v所谓半无限大物体是指这样一类物体，当该物体一个所谓半无限大物体是指这样一类物体，当该物体一个边界上换热条件发生变化时，在给定时间内物体总边界上换热条件发生变化时，在给定时间内物体总存存在某个部分，其温度不发生变化。在某个部分，其温度不发生变化。v如如地壳地壳就是一个例子，当地表温度发生变化时，就是一个例子，当地表温度发生变化时，地表面以下总存在某个区域不受这个变化影响地表面以下总存在某个区域不受这个变化影响。v这类导热又可分为表面热阻这类导热

19、又可分为表面热阻可以忽略可以忽略和表面热阻和表面热阻不不可以忽略可以忽略的两种情况的两种情况。第47页/共126页1）表面热阻可以忽略的情况表面热阻可以忽略的情况 v现假定有一半无限大物体，其现假定有一半无限大物体，其初始温度初始温度T T0 0为均匀分布为均匀分布在物体内部，在物体内部，v在在t=0时刻时刻，在在x=0处的处的表面温度突然上升到表面温度突然上升到Ts（无表面热阻的结果无表面热阻的结果)，并保持不变，见图，并保持不变，见图。v试确定此情况下物体温度随时间和位置的变化关系试确定此情况下物体温度随时间和位置的变化关系T=f(x,t)v求热流通量求热流通量q的变化关系的变化关系。第4

20、8页/共126页半无限大物体内温度随时间的变化图 （Ts T0 加热过程）温度没变化部分与上图不同，讲义给出的是冷却的例子。第49页/共126页（1）方程及定解条件方程及定解条件 导热微分方程：定解条件：第50页/共126页（2）方程求解方程求解 引入一个新的引入一个新的组合变量组合变量：代入上式于是对复合函数进行求导：第51页/共126页代入导热微分方程使其转变为常微分方程：或 高斯误差函数 半无限大物体的温度分布式中高斯误差函数是一标准函数，可从附录中查取。积分上式，并代入定解条件得到温度分布表达式(7-44)第52页/共126页TsT0T未变分率a.方程的左侧为无因次温度，其物理意义是

21、温度的未变分率（3）讨论 第53页/共126页c.在同一时刻 t，随距离增加温度下降；d.方程中有三个未知数 x,t,T，只要知道其中2个，即可求出另外一个。b.在同一 x 处，随时间的增长温度升高；第54页/共126页此时 x 为渗透深度可则按半无限大物体处理。实际应用时常写成 xx=0 处的斜率e.当F0 0的任一时刻平板内的温度分布的任一时刻平板内的温度分布。第71页/共126页由于平板两个表面与环境对流换热情况一样，由于平板两个表面与环境对流换热情况一样，故温度分布为中心对称面（中心面温度对称故温度分布为中心对称面（中心面温度对称 相当于绝热面）；相当于绝热面）；取直角坐标系，取直角坐

22、标系，x=0的平面取在平板的中的平面取在平板的中心面上，如图心面上，如图7-67-6所示。只需研究厚度为所示。只需研究厚度为2L2L的的一半平板即可。一半平板即可。下面对这一导热情况建立方程和进行求解下面对这一导热情况建立方程和进行求解。1 1）忽略表面热阻的非稳态导热）忽略表面热阻的非稳态导热 第72页/共126页时间表面温度任意时刻 温度x离板中心的位置初始温度大平板的非稳态导热大平板的非稳态导热图图（）（）第73页/共126页q下面对这一导热情况建立方程和进行求解下面对这一导热情况建立方程和进行求解。q由于由于y和和z方向无限大，因此有方向无限大，因此有q该问题的x向导热微分方程可写为

23、1 1）忽略表面热阻的非稳态导热）忽略表面热阻的非稳态导热 第74页/共126页 微分方程及定解条件微分方程及定解条件 一维导热微分方程：定解条件：(板内初始温度均匀)第75页/共126页为求解方便，先将方程准数化，分别设定为求解方便，先将方程准数化，分别设定准数位置 准数温度 将准数变量代入因次方程，得：从上面看，方程并没有因为准数变化得到简化准数时间第76页/共126页相应的定解条件改写成相应的定解条件改写成 定解条件却因此得到很大的简化，均成为0，1型。第77页/共126页 方程通解方程通解可采用分离变量法求此方程。假定方程的解可采用分离变量法求此方程。假定方程的解为为两个函数的乘积，两

24、个函数的乘积，即即 令 解得（解题过程略）方程的通解为：方程的通解适用于厚平板非稳态导热的各种边界条件式中有三个未定常数第78页/共126页 方程特解方程特解 平板双向导热温度分布方程（）（7-71）上式为忽略表面热阻，平板双向导热时，物体内的温度分布方程 式中三个未定常数，分别由初始条件和边界条件代入通解求得式中三个未定常数，分别由初始条件和边界条件代入通解求得特解特解：第79页/共126页 平平板板双双向向导导热热温温度度分分布布方方程程还还可可用用 于平板的一个端面为于平板的一个端面为绝热面绝热面，另一，另一 断面突然升温至断面突然升温至Ts情况下的计算。情况下的计算。此此种种情情况况相

25、相当当于于双双向向导导热热的的一一半半平平板板的的导导热热问问题题，即即从从板板中中心心（绝绝热热面）至另一端面的导热。面）至另一端面的导热。最最常常见见的的例例子子是是防防火火墙墙，即即墙墙的的一一面面突突然然升升至至Ts，热热流流不不稳稳定定地地通通入入墙壁，墙的另一面绝热。墙壁，墙的另一面绝热。第80页/共126页【例例】有一厚度为有一厚度为0.04m0.04m的平板，其导温系数的平板，其导温系数=0.0028 m=0.0028 m2 2/s/s，平板的初始温度平板的初始温度7070，现同时将平板现同时将平板两侧表面温度突然提高到两侧表面温度突然提高到292292。求其中心温度升高到。求

26、其中心温度升高到290290时所需时间？时所需时间？【解解】：代入方程 第81页/共126页代入方程 则用试差法作为第一次近似解，只考虑取一级，解得：为了求时间，必须先求F0，级数太多无法直接求时，第82页/共126页现在检验级数中第二项之后的量是否可以忽略。又因为 第83页/共126页当 F0 0.55 时只需取1级，工程上一般取35级。显然，只取一级是满足精度要求的，也说明该无穷级数收敛很快，第84页/共126页v在上节中只考虑了平板内部的导热。更多的在上节中只考虑了平板内部的导热。更多的导热过程中，壁温导热过程中，壁温Ts降低不那么快降低不那么快，是未知是未知的。的。v而流体温度而流体温

27、度 Ts和和 对流传热系数对流传热系数 h，往往是，往往是可测的是已知的。可测的是已知的。v由于壁面两侧流体温度和传热系数均相同，由于壁面两侧流体温度和传热系数均相同，板内温度分布是对称的，只要求得其中一半板内温度分布是对称的，只要求得其中一半的分布即可，见下图。的分布即可，见下图。2 2）不可忽略表面热阻的非稳态导热不可忽略表面热阻的非稳态导热 第85页/共126页大平板的非稳态导热（）初始温度环境温度壁面温度逐渐降低第86页/共126页 方程及定解条件方程及定解条件 导热微分方程 若可忽略表面热阻 定解条件 第87页/共126页方程的解方程的解采用分离变量法（过程略），得到一含有无穷级数的

28、解第88页/共126页 方程解的分析方程解的分析（7-75）方程中：(1)ai与Bi 数有关：(3)x可以整理成与准数位置 n 有关的函数：(2)e 的指数可以整理成与 F F0 0 有关的函数:考虑表面热阻的大平板非稳态导热的温度分布温度分布第89页/共126页所以上式可以表示为所以上式可以表示为 下面先讨论 2种 特殊情况以 F0,Bi,n 为参数进行图解法第90页/共126页 特殊情况的讨论特殊情况的讨论i)当当Bi 时，时，h，外部对流热阻可以忽略，外部对流热阻可以忽略ai 代入（7-75）得到温度分布（7-85），即 x=0,T=Ts,有第91页/共126页可视为的薄壁物体的非稳态导

29、热，温度分布为 式中与位置有关的变量被消去了。iii)当Bi介于两者之间，则采用无穷级数解。ii)当Bi 0时，k,内部导热热阻可以忽略第92页/共126页0t时间内，通过端面时间内，通过端面L处的热通量处的热通量 第93页/共126页广平板导热TbTbTsTs第94页/共126页q由上讨论可见，非稳态导热时，无限大平板中由上讨论可见，非稳态导热时，无限大平板中的温度分布是一个无穷级数形式。的温度分布是一个无穷级数形式。q对于半径对于半径R的无限长的无限长圆柱圆柱圆柱圆柱和圆球一维非稳态导和圆球一维非稳态导热过程，其温度分布，也同样可采用分离变量热过程，其温度分布，也同样可采用分离变量法，其解

30、是含有贝塞尔函数的无穷级数解。法，其解是含有贝塞尔函数的无穷级数解。q海斯勒（海斯勒（Heisler）出于工程计算的目的，将）出于工程计算的目的，将平板、圆柱和圆球的一维非稳态导热分析解分平板、圆柱和圆球的一维非稳态导热分析解分别绘制成图解形式，给计算带来极大的方便。别绘制成图解形式，给计算带来极大的方便。q本书仅介绍本书仅介绍 F F0 00.020.02的近似解，其他情况查有的近似解，其他情况查有关图解。关图解。第95页/共126页4 4一维非稳态导热的速算图一维非稳态导热的速算图 v图图7-7、图、图7-8和图和图7-9分别给出了计算无限大平板、无分别给出了计算无限大平板、无限长圆柱和球

31、体温度的曲线。限长圆柱和球体温度的曲线。v所有情况，都以所有情况，都以 Tb b 表示对流环境温度，并假设初始表示对流环境温度，并假设初始温度均匀为温度均匀为 T0 0v图中以准数时间图中以准数时间F0 0为横坐标，以热阻比为横坐标，以热阻比 m=1/=1/Bi 为为参变量参变量v由由F0 0 和和 m 这这2个个参数查出物体的温度。参数查出物体的温度。第96页/共126页图图7-147-14 厚度为厚度为2L2L的无限大平板中间平面温的无限大平板中间平面温度度p185p185第97页/共126页图7-15 半径为 R 的无限长圆柱的轴线温度p185第98页/共126页图图7-167-16 半

32、径为半径为 R 的的圆球圆球的的中心温度中心温度p186第99页/共126页q如果要计算离开中心截面如果要计算离开中心截面任意位置任意位置处的温度处的温度q平板平板选图选图7-17、圆柱圆柱选图选图7-18、圆球圆球选图选图7-19q从中查得以中心温度为函数的温度值，然后将由两张图得到的数值相乘，即从中查得以中心温度为函数的温度值，然后将由两张图得到的数值相乘，即可得到任意位置的温度。可得到任意位置的温度。4 4一维非稳态导热的速算图一维非稳态导热的速算图 第100页/共126页图图7-17 以以中心温度中心温度为函数的大为函数的大平板内温度分平板内温度分布布p186任意位置 温度中心面 温度

33、第101页/共126页图7-18 以中心温度为函数的圆柱内温度分布 p187图7-19 以中心温度为函数的圆球内温度分布 p187第102页/共126页q由由图图7-207-20，图图7-217-21，图图7-227-22(p188,189)(p188,189)可可以查到无限大平板、无限长圆柱和圆球在某以查到无限大平板、无限长圆柱和圆球在某时间内得到或失去时间内得到或失去热量热量Q。q其中其中Q0 0 表示初始温度为表示初始温度为T0 0 的物体放在温度的物体放在温度为为T Tb b 的环境中，物体的环境中，物体所能取得或释放的热量所能取得或释放的热量q这个热量等于物体内能的变化，即这个热量等

34、于物体内能的变化，即第103页/共126页图图7-207-20 大平板大平板随时间变化的无量纲热随时间变化的无量纲热损失损失p188p188第104页/共126页图7-21 长圆柱随时间变化的无量纲热损失 p188图7-22 圆球随时间变化的无量纲热损失 p189第105页/共126页5 5二维、三维非稳态导热二维、三维非稳态导热v以上讨论以一维非稳态导热为主。以上讨论以一维非稳态导热为主。v但实际情况多为二维、三维导热，其解非常复杂，本课不做详细介绍，只介但实际情况多为二维、三维导热，其解非常复杂，本课不做详细介绍，只介绍称为绍称为Newman法则的简便方法。法则的简便方法。v以此方法将一维

35、导热的分析解推广应用到多维导热的问题。以此方法将一维导热的分析解推广应用到多维导热的问题。第106页/共126页牛曼牛曼（Newman）法则法则 vNewman法则认为：一些有规则的物体可以法则认为：一些有规则的物体可以看作是若干个无限尺寸物体的组合。看作是若干个无限尺寸物体的组合。v如正方体是三个无限大平板两两正交而成。如正方体是三个无限大平板两两正交而成。v短圆柱是无限大平板与无限长圆柱正交而成。短圆柱是无限大平板与无限长圆柱正交而成。v组合后物体内的温度分布与组合前各个物体组合后物体内的温度分布与组合前各个物体内温度有关内温度有关。第107页/共126页可看成是二个无限大平板正交而成。可

36、看成是二个无限大平板正交而成。其解可看成是二个无限大平板解的乘积2L12L22L1 2L2长方立柱长方立柱第108页/共126页厚度为 2L2的平板解（二维导热问题）厚度为 2L1的平板解2L1 2L2第109页/共126页正方体（矩形）正方体（矩形）可看成是可看成是三个无限大平板三个无限大平板正交而成。正交而成。2L1 2L22L32L1 2L2 2L3其解可看成是三个无限大平板解的乘积 （三维导热问题）第110页/共126页短圆柱体短圆柱体（二维二维导热问题）导热问题）可看成是可看成是无限大平板与长圆柱正交而成无限大平板与长圆柱正交而成。2L2R2L平板长圆柱其解为：2R第111页/共12

37、6页值得注意的是，有几个一维问题解的乘积得到多维问题解的方法不适用于一值得注意的是，有几个一维问题解的乘积得到多维问题解的方法不适用于一切边界条件。切边界条件。但可以证明对于但可以证明对于 和初始温度均匀为常数的情况，此方法均适用。和初始温度均匀为常数的情况，此方法均适用。第112页/共126页【例例】多维非稳态导热举例多维非稳态导热举例某一短圆柱形金属棒，直径为某一短圆柱形金属棒，直径为40cm，长为长为44cm，初始温度均匀为，初始温度均匀为200，然后将其置，然后将其置于温度为于温度为 70 70 的环境中。的环境中。已知导热系数已知导热系数k=215W/m.k，导温系数导温系数=8.4

38、*10-5m2/s，柱面与环境对流传热系数为柱面与环境对流传热系数为：h=525J/m2.s.k，试求算试求算10分钟后距一端分钟后距一端4cm远、半径为远、半径为10cm处的温度值。处的温度值。第113页/共126页4044104T0=200k=215=8.4*10-5t=10分钟后，距一端 4cm 远、半径为 10cm 处的温度值。h=500解：此题为沿 x 向 和 r 向 二维不稳态导热 问题，求短圆柱内某时刻某点的温度。Tb=70T(t,x,r)=?第114页/共126页其解形式为：x0.10.040.44m0.4mrx 方向（按平板）r 方向（按长圆柱）第115页/共126页第116

39、页/共126页（1）x 方向（按广平壁）查图7-14(p185)得查图7-17(p186)得第117页/共126页（2）r 方向（按长圆柱）查图7-15(p185)得：0.9040查图7-18(p187)得：0.92第118页/共126页r 方向第119页/共126页移项得：104平板圆柱t=10分钟后，距一端 4cm 远、半径为 10cm 处 温度从200降至142.8。第120页/共126页非稳态法非稳态法导温系数导温系数的测定的测定 测试装置第121页/共126页测试流程第122页/共126页测试样管热电阻待测物料第123页/共126页测试原理柱坐标非稳态导热方程求解方程，得到ln(Tb-T)=A t+C 水浴温度 测试温度时间第124页/共126页ln(Tb-T)=A t+C 由实验得到方程的斜率 A，从而获得导温系数值时间 tln(Tb-T)第125页/共126页第七章 热传导-ghp126感谢您的观看！第126页/共126页