函数极限精选PPT.ppt

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1、关于函数极限第1页，讲稿共36张，创作于星期日1.2.1 函数极限的概念函数极限的概念定义定义1.6 设设 在点在点a 的某个空心邻域内有定义的某个空心邻域内有定义,记作记作或或A 为常数为常数.第2页，讲稿共36张，创作于星期日使用使用数学语言数学语言进行描述进行描述,定义定义1.6可以写为：可以写为：设设 在点在点a 的某个空心邻域内有定义的某个空心邻域内有定义,A 为常数为常数.如果如果存在点存在点a 的空心邻域的空心邻域定义定义1.6同时定义了七种不同情形下函数的极限同时定义了七种不同情形下函数的极限,的的右极限右极限与与左极限左极限.其中其中 分别称为在点分别称为在点第3页，讲稿共3

2、6张，创作于星期日在定义在定义1.6,特别地特别地,我们有下面两个简单的极限：我们有下面两个简单的极限：由定义由定义1.6有有如果令如果令 则有则有 第4页，讲稿共36张，创作于星期日例例1 证明证明 不存在不存在.左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,证证所以所以,不存在不存在.第5页，讲稿共36张，创作于星期日例例2 用定义验证用定义验证:证证因因所以所以故故第6页，讲稿共36张，创作于星期日例例3 证明证明:当当 证证因因不妨设不妨设 由由 所以所以 故故 第7页，讲稿共36张，创作于星期日例例4 用定义验证用定义验证:证证因因不妨设不妨设 于是于是故故所以所以第8页，讲稿共36张，

3、创作于星期日例例5 证明证明 其中其中 为常数为常数.证证即即 当当 时时,结论显然成立结论显然成立.令令 则则 于是于是 所以所以 先证先证 的情形的情形.当当 时时,令令 而而同样有同样有 第9页，讲稿共36张，创作于星期日几个极限不存在的例子几个极限不存在的例子:因因因因但要但要注意到注意到:第10页，讲稿共36张，创作于星期日第11页，讲稿共36张，创作于星期日但所有的结果都可以平行推广到一般情况但所有的结果都可以平行推广到一般情况.定理定理1.9(唯一性唯一性)本节主要针对本节主要针对 的情形讨论极限的性质与运算的情形讨论极限的性质与运算,证证 反证法反证法.若若 存在存在,则极限值

4、是唯一的则极限值是唯一的.于是于是 为无穷小为无穷小,与与 矛盾矛盾.则则 都是无穷小都是无穷小.1.2.2 函数极限的性质函数极限的性质第12页，讲稿共36张，创作于星期日由已知可设由已知可设 定理定理1.10 (局部有界性局部有界性)若若 存在存在,则则 在在 x0的某个空心邻域的某个空心邻域证证因为因为 在点在点 x0 某空心邻域内有界某空心邻域内有界,所以所以,在该空心邻域内有界在该空心邻域内有界.内有界内有界.第13页，讲稿共36张，创作于星期日定理定理1.11 (局部保号性局部保号性)证证与与 A 同号同号.不妨设不妨设 1.设设 且且因因所以所以 为无穷小为无穷小.即即于是于是第

5、14页，讲稿共36张，创作于星期日1.2.3 函数函数极限的运算法则极限的运算法则定理定理1.12 (极限四则运算法则极限四则运算法则)则有则有 证证 (1)则则 设设 第15页，讲稿共36张，创作于星期日推论推论1 如果如果即即:常数因子常数因子可以提到极限记号外面可以提到极限记号外面.推论推论2 如果如果所以所以(1)成立成立.于是于是第16页，讲稿共36张，创作于星期日推论推论1.2 (局部保序性局部保序性)由定理由定理1.11和定理和定理1.12,立即有下面的推论立即有下面的推论 则则在在 x0的某个空心邻域内有的某个空心邻域内有2.若若在在 x0的某个空心邻域内有的某个空心邻域内有则

6、则则则第17页，讲稿共36张，创作于星期日有有利用极限的运算法则和上节的两个结果利用极限的运算法则和上节的两个结果我们可以求解一些简单的极限问题我们可以求解一些简单的极限问题：对于的多项式函数对于的多项式函数第18页，讲稿共36张，创作于星期日例例1 求求 解解由函数商的极限法则由函数商的极限法则,有有第19页，讲稿共36张，创作于星期日一般地一般地,设设 则商的法则不能使用则商的法则不能使用.则当则当第20页，讲稿共36张，创作于星期日解解商的法则不能用商的法则不能用由由无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系,得得例例2 求求 第21页，讲稿共36张，创作于星期日解解消去零因子法消去零因子

7、法时时,分子分子、分母的极限都是零分母的极限都是零.例例3 求求 第22页，讲稿共36张，创作于星期日解解时时,分子分子、分母的极限都是无穷大分母的极限都是无穷大,例例4 求求 分子、分母同时除以分子、分母同时除以 x 的最高次幂的最高次幂.第23页，讲稿共36张，创作于星期日一般地一般地,当当第24页，讲稿共36张，创作于星期日解解先作恒等变形先作恒等变形,使和式的项数固定使和式的项数固定,再求极限再求极限.和式的项数随着和式的项数随着n在变化在变化,原式原式不能用运算法则不能用运算法则.方法方法:例例5 求求 第25页，讲稿共36张，创作于星期日定理定理1.13 (复合函数的极限运算法则复

8、合函数的极限运算法则)设设且存在且存在推论推论 若若例例则则则则复合复合函数函数时的极限也存在时的极限也存在,且且第26页，讲稿共36张，创作于星期日证证例例6 证明证明:如果如果 则则 由由 及复合函数的极限法则及复合函数的极限法则,有有 有有特别地特别地,如果如果 为多项式函数为多项式函数,且且 第27页，讲稿共36张，创作于星期日解解原式原式例例7 求求 第28页，讲稿共36张，创作于星期日 由于数列可以看作特殊的函数由于数列可以看作特殊的函数,因此复合函数因此复合函数的极限法则对数列同样适用的极限法则对数列同样适用.抽取无限多项并保持它们在原数列中的先后次序抽取无限多项并保持它们在原数

9、列中的先后次序,在数列在数列 中任意中任意得到的数列称为原数列的一个子数列得到的数列称为原数列的一个子数列(简称子列简称子列).设在设在 数列中数列中,第一次抽取第一次抽取 第二次在第二次在后抽取后抽取抽取下去得到子数列抽取下去得到子数列 第三次在第三次在 后抽取后抽取注意注意:严格单调递增，显然有严格单调递增，显然有 无休止地无休止地第29页，讲稿共36张，创作于星期日如果数列如果数列 收敛于收敛于A,则它的任意子数列则它的任意子数列推论推论1.3 (收敛数列与其子数列间的关系收敛数列与其子数列间的关系)也收敛于也收敛于A.证证设设 是是 的任的任一子列一子列.令令显然有显然有由由定理定理1

10、.13有有第30页，讲稿共36张，创作于星期日如果如果推论推论1.4 (函数极限与数列极限之间的关系函数极限与数列极限之间的关系)则对任意满足则对任意满足 用此结论同样可以证明函数极限不存在用此结论同样可以证明函数极限不存在.且且 的数列的数列 有有 例如例如,由由 有有 不存在不存在.第31页，讲稿共36张，创作于星期日解解原式原式答案答案原式原式(2)求求(1)求求 第32页，讲稿共36张，创作于星期日解解原式原式(3)求求 第33页，讲稿共36张，创作于星期日(4)试确定常数试确定常数 a,使使解解 令令则则即即第34页，讲稿共36张，创作于星期日作业作业nP41：习题：习题1.2n4(3)(4)(5)(7)(8)(12)(14)n5(2)(4)n8(1)n11第35页，讲稿共36张，创作于星期日感感谢谢大大家家观观看看09.04.2023第36页，讲稿共36张，创作于星期日