D微分方程及其求解.pptx
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1、解的叠加原理解的叠加原理第1页/共33页一、一、为实数为实数,设特解为设特解为其中其中 为待定多项式为待定多项式,代入原方程代入原方程,得得 为为 m 次多项式次多项式.第2页/共33页(2)若若 是特征方程的单根是特征方程的单根,(3)若若 是特征方程的重根是特征方程的重根,即即即即(1)若若 不是特征方程的根不是特征方程的根,可设可设可设可设可设可设第3页/共33页上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次阶常系数非齐次线性微分方程线性微分方程(k是重根次数是重根次数).综上讨论综上讨论 不是根不是根 是单根是单根 是重根是重根特解形式设为特解形式设为第4页/共33页例例1.的一个特
2、解的一个特解.解解:本题本题而特征方程为而特征方程为不是特征方程的根不是特征方程的根.设所求特解为设所求特解为代入方程代入方程:比较系数比较系数,得得于是所求于是所求特解为特解为第5页/共33页例例2.的通解的通解.解解:本题本题特征方程为特征方程为其根为其根为对应对应齐次方程的通解齐次方程的通解为为设设非齐次方程特解非齐次方程特解为为代入方程得代入方程得第6页/共33页例例2.的通解的通解.解解:比较系数比较系数,得得因此因此特解为特解为所求所求通解为通解为代入方程得代入方程得第7页/共33页令令的特解的特解 y*(一般为复根一般为复根)求求可以证明可以证明与与分别是下列方程的解分别是下列方
3、程的解设设第8页/共33页综上讨论综上讨论(i)不是根不是根特解形式设为特解形式设为(i)是根是根第9页/共33页解解例例3的一个特解的一个特解.有共轭复根有共轭复根特征方程特征方程本题本题 不是特征根不是特征根 的特解的特解 令特解令特解 第10页/共33页解解例例3的一个特解的一个特解.将特解将特解代入原方程得代入原方程得第11页/共33页例例3的一个特解的一个特解.于是求得一个于是求得一个特解特解原方程得一个原方程得一个特解特解第12页/共33页解解例例4的通解的通解.对应齐次方程对应齐次方程 特征方程为特征方程为 特征根特征根:对应齐次方程的通解:对应齐次方程的通解:第13页/共33页
4、解解例例4的通解的通解.齐次通解:齐次通解:特征方程特征方程是特征方程的根是特征方程的根本题本题 故设特解为故设特解为考虑方程考虑方程第14页/共33页解解例例4的通解的通解.代入方程整理得代入方程整理得于是求得一个于是求得一个特解特解原方程通解为原方程通解为第15页/共33页一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解 1.一阶标准类型方程求解一阶标准类型方程求解 关键关键:辨别方程类型辨别方程类型,掌握求解步骤掌握求解步骤四个标准类型四个标准类型:可分离变量方程可分离变量方程,齐次方程齐次方程,线性方程线性方程,*全微分方程全微分方程 小结小结第16页/共33页1.可降阶的二阶微分方程可降阶的
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