D高阶偏导数方向导数与梯.pptx

《D高阶偏导数方向导数与梯.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《D高阶偏导数方向导数与梯.pptx（31页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、一、高阶偏导数一、高阶偏导数设 z=f(x,y)在域 D 内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:2/30第1页/共31页类似可以定义更高阶的偏导数类似可以定义更高阶的偏导数.例如，例如，z=f(x,y)关于 x 的三阶偏导数为z=f(x,y)关于 x 的 n 1 阶偏导数,再关于 y 的一阶偏导数为3/30第2页/共31页例例1.求函求函数数解解:注意注意:此处但这一结论并不总成立.的二阶偏导数及 4/30第3页/共31页例如例如,二者不等5/30第4页/共31页例例2.证明函数证明函数满足拉普拉斯证：证：利

2、用对称性,有方程6/30（偏微分方程）第5页/共31页则定理定理.例如例如,对三元函数 u=f(x,y,z),说明说明:本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.(与求导次序无关.)因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续连续时,有而初等(证明在P29-30)7/30第6页/共31页二、方向导数二、方向导数定义定义:若函数则称为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数方向导数.在点 处沿方向 l(方向角为)存在下列极限:记作记作 8/30第7页/共31页定理定理:则函数在该点沿任意方向沿任意

3、方向 l 的方向导数存在,证明证明:由函数且有在点 P 可微,得故9/30第8页/共31页对于二元函数为,)的方向导数为特别特别:当 l 与 x 轴同向 当 l 与 x 轴反向向角10/30第9页/共31页例例3.求函数求函数 在点 P(1,1,1)沿向量3)的方向导数.解解:向量 l 的方向余弦为11/30第10页/共31页例例4.求函求函数数 在点P(2,3)沿曲线朝 x 增大方向的方向导数.解解:将已知曲线用参数方程表示为它在点 P 的切向量为12/30第11页/共31页例例5.设设 是曲面在点 P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解解:方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P 处沿求函

4、数13/30第12页/共31页三、梯度三、梯度 方向导数公式令向量这说明方向：f 的值增长最快的那个方向;模:f 的最大方向导数的值.方向导数取最大值：14/30第13页/共31页1.定义定义即同样可定义二元函数称为函数 f(P)在点 P 处的梯度记作(gradient),在点处的梯度 说明说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量2.梯度的几何意义梯度的几何意义15/30第14页/共31页称为函数 f 的等值线等值线(P5).则L*上点P 处的法向量为 同样,对应函数有等值面(等量面)当各偏导数不同时为零时,其上 点P处的法向量为16/30（等值线实质就是曲面 z=f(x,y）与平面z

5、=C 的交线在xoy坐标平面上的投影.）第15页/共31页3.梯度的基本运算公梯度的基本运算公式式17/30函数在一点的梯度垂直于等值面(或等值线)在该点的切线(或梯度与等值线在相应点的法线平行),指向函数增大的方向.第16页/共31页例例6.证证:试证处矢径 r 的模,18/30第17页/共31页例例7.已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点试证证证:利用例4的结果 这说明场强:处所产生的电位为垂直于等位面,且指向电位减少的方向.19/30第18页/共31页内容小结内容小结 混合偏导数连续与求导顺序无关 求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)1.高阶偏导数20

6、/30第19页/共31页2.方向导数方向导数 三元函数 在点沿方向 l(方向角的方向导数为 二元函数 在点的方向导数为沿方向 l(方向角为21/30第20页/共31页3.梯度梯度 三元函数 在点处的梯度为 二元函数 在点处的梯度为22/30第21页/共31页5.方向导数的几何意义(P26)4.几个概念之间的关系几个概念之间的关系方向导数存在偏导数存在 可微梯度在方向 l 上的投影.23/30第22页/共31页思考与练习思考与练习1.设函数(1)求函数在点 M(1,1,1)处沿曲线在该点切线方向的方向导数;(2)求函数在 M(1,1,1)处的梯度梯度与(1)中切线方向切线方向 的夹角 .24/3

7、0第23页/共31页曲线1.(1)在点解答提示解答提示:函数沿 l 的方向导数M(1,1,1)处切线的方向向量25/30第24页/共31页26/30第25页/共31页备用题备用题 1.函数在点处的梯度解解:则注意 x,y,z 具有轮换对称性(92考研考研)27/30第26页/共31页指向 B(3,2,2)方向的方向导数是 .在点A(1,0,1)处沿点A2.函数函数提示提示:则(96考研考研)28/30第27页/共31页数学实验安排数学实验安排第12周（5月13号）主B-304上数学实验理论课第13周上机实验，地点:理科楼226 1.核工程01,建环01,土木01 时间:（5月18号）星期三3-4节10:00-12:00;2.核工程02,03,地环01 时间:(5月20号)星期五3-4节10:00-12:00;第14周（5月27号）主B-304上数学实验理论课第15周上机实验，地点:理科楼226 1.核工程01,建环01,土木01 时间:（6月1号）星期三3-4节10:00-12:00 2.核工程02,03,地环01 时间:(6月3号)星期五3-4节10:00-12:00;第30页/共31页感谢您的欣赏！第31页/共31页