gs函数的极限与连续.pptx

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1、 前面讨论了数列xn=f(n)的极限,它是函数极限中的特殊情形,特殊性在于:n只取自然数,且n趋于无穷大.现在讨论y=f(x)的极限,自变量x大致有两种变化形式.(1)x,(2)xx0(有限数).并且,x不是离散变化的,而是连续变化的.第一节函数的极限第一节函数的极限第1页/共133页一、一、x时时,f(x)的极限的极限定义定义1.1.设f(x)在(M,+)内有定义,也可记为 f(x)a,(x+)若 0,X 0,当xX(或xX)时,相应的函数值f(x)满足|f(x)a|0,X 0,当xX(或xX)时,有|f(x)a|0,正整数N,使得当nN 时,都有|xna|0”.但是,数列极限中n是离散变化

2、的,而这里x是连续变化的.第4页/共133页例例1.1.证明 其中 0a1.证证:0 1,要使|ax0|=ax0,X 0,当xX(或xX)时,有|f(x)a|0,X 0,当|x|X时,相应的函数值满足|f(x)a|0),都存在X 0.当 x X 时,函数 y=f(x)的图形夹在这两直线之间.如图axyoa+a Xy=f(x)第9页/共133页直观地,这个式子表示当 x 0),存在X 0.当 x 0),存在X 0.当|x|X 时,y=f(x)的图形夹在两直线y=a 之间.如图axyoa+a XX第11页/共133页比如,由 y=arctg x 的图象xyoy=arctg x第12页/共133页二

3、、当二、当x x0时时,f(x)的极限的极限若当x x0时,对应的函数值f(x)a,则称a是f(x)当x x0时的极限,f(x)a可用|f(x)a|刻划,如何用精确的数学而x x0则可用|x x0|0,0,当0|xx0|时,相应的函数值f(x)满足|f(x)a|0”,将“nN”换成 “0|xx0|0,正数数N,使得当nN 时,都有|xna|0,0,当0|xx0|时,|f(x)a|,则记第15页/共133页而现在 x x0,“0|xx0|N”表示了n充分大这一意思.第16页/共133页注注2.2.定义中“0|xx0|0,0,当0|xx0|时,|f(x)a|0,要使|f(x)2|,只须|x 1|.

4、(本例说明f(x)在x0无定义,但其极限可能存在)取=.则当0|x1|时,有|f(x)2|0,0,当0|xx0|时,有|f(x)a|0,|x31|=|(x1)(x2+x+1)|=|x1|x2+x+1|因x1,故不妨设 0|x1|1,即 0 x 2故|x2+x+1|=x2+x+1 4+2+1=7从而|x31|7|x1|.例例5.5.考虑第20页/共133页要使|x31|,只须7|x1|,即|x1|即可.取=min(,1),则当 0|x1|时,(有|x 1|1及|x1|)有|x31|0,要使|sinx sinx0|,只须|x x0|0,0,当0|xx0|时,有|f(x)a|0要使|lnxlnx0|

5、或,x0e-x x0e-即只须 x0(1e-)xx0 x0(e1).取=minx0(1e-),x0(e1),则当0|xx0|时,(有 xx0 x0(e1),x0(1e-)xx0)例例7.7.第24页/共133页有|lnx lnx0|0,0.当0 xx0(或0 x0 x 0,0,当0|xx0|时,|f(x)a|0,0.当0 xx0(或0 x0 x 0时,解：解：由于当x0时,对应的函数值f(x)=x.由于当x0时,对应的函数值f(x)=sinx.f(x)是一个分段函数，x=0是这个分段函数的分段点.对一个分段函数来说，其分段点处的极限要分左、右极限讨论.第31页/共133页例例9.9.设f(x)

6、=x,当x0时,cos x,当x0时,左、右极限存在,但不相等,解：解：第32页/共133页以后,常用下列记号表示函数的左,右极限看图x0+cosxxyx01yy第33页/共133页定理定理2.2.定理定理3.3.三、函数极限性质三、函数极限性质第34页/共133页推论推论1:1:第35页/共133页推论推论2.2.(1)若存在0,使当0|xx0|时,有 f(x)g(x).当 0|xx0|0,第36页/共133页证证:(1)由于当 0|xx0|时,有 f(x)g(x).所以,若记 F(x)=f(x)g(x),则当 0|xx0|0，使得f(x)在(,X)(X,+)内有界,则称 f(x)是x时的有

7、界量.第38页/共133页比如y=x2在定义域(,+)内是无界的,但在 x=0的某个小邻域内是有界的.因此,y=x2是x0时的有界量.y=x20 xyM第39页/共133页0yx第40页/共133页比如:y=sinx在(,+)内有界，是x时的有界量.但定理定理4.4.定理4的逆命题不成立.第41页/共133页yx11y=sinx0第42页/共133页则称f(x)是该极限过程中的一个无穷小量(省去xxo,x的极限符号“lim”表示任一极限过程).定义定义1 1.若lim f(x)=0,第二节无穷大量、无穷小量第二节无穷大量、无穷小量一、无穷小量一、无穷小量第43页/共133页注注1 1：无穷小量

8、与极限过程分不开,不能脱离极限过程谈无穷小量,小量,但如sinx是x0时的无穷例：例：第44页/共133页注注2 2：注注3 3：0是任何极限过程的无穷小量.由于limC=C(常数),所以,除0外的任何常数不是无穷小量.第45页/共133页是该极限过程中的无穷小量.A为常数.0,0,当0|x x0|时,有|f(x)A|0(无论多么大),记作：0(或X0),当0|xxo|X)时，有|f(x)|M,则称f(x)是x x0(或x)时的无穷大量.二、无穷大量二、无穷大量第48页/共133页若以“f(x)M”代替定义中的“|f(x)|M”,就得到正无穷大量的定义.若以“f(x)M”,就得到负无穷大量的定

9、义.分别记作：0,0(或X0),当0|xxo|X)时，有|f(x)|M,第49页/共133页01-11xxyyx1+x1例例1 1：证证：第50页/共133页例例2:2:试从函数图形判断下列极限.第51页/共133页解：解：(1)xy0 xyy=tgxxy第52页/共133页第53页/共133页(2)xoyxxyyx+x第54页/共133页第55页/共133页注注1 1：若在定义2中，将“f(x)”换成“xn”,注注2 2：若lim f(x)=,将“X”换成“N”,将“x”换成就得到数列xn为无穷大量定义.“n”,则表示在该极限过程中f(x)的极限不存在.0,X0,当|x|X 时,有|f(x)

10、|M,第56页/共133页注注3 3：不能脱离极限过程谈无穷大量.注注4 4：无穷大量一定是无界量,任何常量都不是无穷大量.但无界量不一定是无穷大量.第57页/共133页说明0,x0(,+)，使得|x0sinx0|M即可.例例3 3：解：解：第58页/共133页第59页/共133页例例4 4：第60页/共133页定理定理2 2：在某极限过程中,若f(x)为无穷大量,则反之,若f(x)为无穷小量三、无穷小与无穷大量的关系三、无穷小与无穷大量的关系第61页/共133页第62页/共133页证：证：只证两个无穷小量的情形.设当xx0时,(要证(x)(x)为无穷小量),0,(x)0,(x)0,四、无穷小

11、量的运算定理四、无穷小量的运算定理定理定理3 3：有限个无穷小量的代数和为无穷小量.第63页/共133页故(x)(x)是无穷小量.第64页/共133页注：注：定理3中“有限个”不能丢，无限个无穷小量的和不一定是无穷小量,n个比如：第65页/共133页定理定理4 4：若(x)是某极限过程中的无穷小量,f(x)是该过程的有界量,则f(x)(x)为该过程的无穷小量.即,有界量与无穷小量之积为无穷小量.证证：第66页/共133页第67页/共133页推论：推论：设(x),(x)是某极限过程中的无穷小量,C为常数.则(x)(x),C(x)都是无穷小量.例例2 2：解解：第68页/共133页1.，都不一定是

12、无穷大量，也不一定是无穷小量.2.0,(有界量)不一定是无穷大量，也不一定是无穷小量(其中0表无穷小量).3.无穷大量是无界量,但无界量不一定是无穷大量.五、无穷大量的运算性质五、无穷大量的运算性质第69页/共133页4.(+)+(+)=+,()+()=.5.=,(有界量)=，常量=.6.C =(其中C等非0常量).第70页/共133页定理定理1.1.若limf(x)=A,limg(x)=B存在,则(1)limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB(2)limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=A B(3)第三节极限运算法则第三节极限运算法则一、极限四则运算法则一、极

13、限四则运算法则第71页/共133页证证:(2)因limf(x)=A,limg(x)=B,均存在,则f(x)=A+(x),g(x)=B+(x).从而f(x)g(x)=A+(x)B+(x)=AB+A(x)+B(x)+(x)(x)得lim f(x)g(x)=AB同理可证(1),(3).第72页/共133页推论推论:设limf(x)存在.C为常数,n为自然数.则(1)limCf(x)=C limf(x)(2)limf(x)n=limf(x)n第73页/共133页例例1.1.解解:由于=26=4=2 23+22 4=16,第74页/共133页例例2.2.解解:由定理1及其推论,有第75页/共133页例例

14、3.3.第76页/共133页更一般的,以后将有结论:若f(x)为初等函数.且f(x)在点 x0处有定义.则比如:第77页/共133页例例4.4.解解:将x=1代入分母,分母为0,不能用例3或定理1(3)的方法求极限.想办法约去使分子分母都为零的因子x1.有第78页/共133页例例5.5.解解:将x=0代入.分子,分母都为0.不能用定理1(3).想法约去零因子x.为此,有理化.第79页/共133页例例6.6.解解:这是有理函数.当x时的极限问题.分子,分母的极限都为.不存在.不能用定理1(3).同除以分母的最高次幂x2.第80页/共133页将本题改为x3=0 x3=改为第81页/共133页例例7

15、.7.则第82页/共133页总结总结:设f(x),g(x)为多项式.=第83页/共133页例例8.8.解解:这是两个无穷大量之差的极限问题.无穷大量的和,差不一定是无穷大量.这类问题,称为“”型.通分第84页/共133页例例9.9.解解:这是两无穷大量之差的问题.即“”型.对无理函数,可考虑有理化.第85页/共133页解解:这是一分段函数.分段点x=0.在分段点处极限要分左,右极限讨论.分段函数=2=b故,当b=2时,f(0+0)=f(00)=2,例例10.10.何值时,问常数b为第86页/共133页例例11.11.证证:先用“单调有界数列必有极限”证明(1)(1)单调性单调性.=xn1故xn

16、单调递增.0n1个an个a第87页/共133页(2)(2)有界性有界性.故 xn有界.00,由保号性定理,A0从而即第90页/共133页求复合函数的极限时,常可用“换元法”简化运算.二、复合函数的极限二、复合函数的极限第91页/共133页例例12.12.解解:直观地看.当x1时,lnx0,而当lnx0时,cos(lnx)cos0=1.或者,令u=lnx,当x1时,u0,代入这种方法称为换元法.使用时,将原式中所有x换写成u的表达式.极限过程xx0换成相应的u的极限过程.第92页/共133页定理定理2.2.设y=f(x)由y=f(u),u=(x)复合而成.且在x0的某去心邻域(x0)内,(x)u

17、0证(略).第93页/共133页例例13.13.解解:(1)令u=sinx.代入.(2)也可直接利用例3后介绍的结论,有第94页/共133页例例14.14.解解:代入,x0+第95页/共133页定理定理1.1.设在点x0的某去邻域(x0,1)内,有 F(x)f(x)G(x),则第四节函数极限存在定理第四节函数极限存在定理一、夹逼定理一、夹逼定理第96页/共133页证证:0.当0|xx0|2时,有|F(x)A|且|G(x)A|0.故 A F(x),G(x)A+即|f(x)A|0,当nN时，有|f(xn)a|)二、函数极限与数列极限的关系二、函数极限与数列极限的关系的充要条件是任何以x0为极限的数

18、列xn(xnx0,xnD(f),有第98页/共133页由于则 0,0,当0 xx0 时,有f(x)a .由于xnx0(n+).当nN时,有0|xnx0|(xn x0).从而，对 0,N 0,当 n N 时,有故所以，对上述0,N0,f(xn)a 第99页/共133页充分性：用反证法.若对任何数列 xn x0(xnx0),有但(注意，)就是“0 0,对 0,存在xD(f),虽然0 xx0 ,但 f(x)a .”对上述00,取 依次等于1,可设相应的x1,x2,xn,满足第100页/共133页0 x1x0 1,但 f(x1)a 00 x2x0 ,但 f(x2)a 00 xnx0 ,但 f(xn)a

19、 0左边一列说明 xnx0(n+,xnx0),此与条件矛盾.故充分性成立.右边一列说明 f(xn)不以a为极限,第101页/共133页例例1.1.证明不存在.证：证：只须证可取两个数列 xn0,的极限不相等即可.第102页/共133页第103页/共133页如图,若当 xx0 时,f(x)a.x1f(x1)x2f(x2)x3f(x3)xnf(xn)0 xx0a y=f(x)y显然,当xnx0 时,f(xn)a.反过来,若对任意的数列 xn,xnx0(xnx0),有 f(xn)a,则 f(x)a(xx0).第104页/共133页注注:1.若对某个数列 xnx0(xnx0),有 f(xn)a,不能得

20、出 f(x)a(xx0)的结论.考虑 x=0处的极限.2.该定理对 x 也成立.第105页/共133页定理定理3.3.的充要条件是0,0,当x1,x2D(f)且0 x1x0,0 x2x0 时,有 f(x1)f(x2).证：证：略x时的柯西收敛准则可依照定理3给出.三、柯西收敛准则三、柯西收敛准则第106页/共133页证证:(1)先证110 xyAxDBC总有 SAOC S扇形AOB 0.必存在自然数n,使得nxn+1.由幂函数,指数函数的单调性.有第117页/共133页=e 1=e令x+,由于xn+1,有n+.且=e 1=e第118页/共133页(2)考虑x时的情形.令u=x,当x时,有u+.

21、第119页/共133页(令u1=t,当u+时,t+.)=e 1=e综合(1),(2),得第120页/共133页综合这两公式,有特点:(1+无穷小)的无穷大次方.该无穷小与无穷大恰好为倒数.则其极限为e.第121页/共133页此类极限问题中常使用指数公式(i)(ii)第122页/共133页例例7.7.解解:变形.第123页/共133页例例8.8.解解:第124页/共133页例例9.9.解解:第125页/共133页例例10.10.解解:=lne=1第126页/共133页例例11.11.解解:=1令u=ex 1,则x=ln(1+u),当x0时,u0.第127页/共133页例例12.12.解解:令u=x a,则x=a+u,当xa时,u0.第128页/共133页例例13.13.解解:如何利用第二个重要极限呢?注意到,若f(x)A,则f(x)=A+,为无穷小量.第129页/共133页第130页/共133页定义定义1.1.设lim(x)=0,lim(x)=0.则称(x)是比(x)高阶的无穷小量,记作,(x)=o(x)或称(x)是比(x)低阶的无穷小量,则称(x)是比(x)低阶的无穷小量.第131页/共133页例例14.14.解解:第132页/共133页感谢您的观看！第133页/共133页