用Matlab求解差分方程问题.pptx

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1、模型建立模型建立记第k年沙丘鹤的数量为xk,年均增长率为r，则第k+1年鹤的数量为 xk+1=(1+r)xk k=0,1,2已知x0=100,在较好，中等和较差的自然环境下 r=0.0194,-0.0324,和-0.0382 我们利用Matlab编程，递推20年后观察沙丘鹤的数量变化情况第1页/共33页Matlab实现实现首先建立一个关于变量n，r的函数function x=sqh(n,r)a=1+r;x=100;for k=1:n x(k+1)=a*x(k);end第2页/共33页在command窗口里调用sqh函数 k=(0:20);y1=sqh(20,0.0194);y2=sqh(20,

2、-0.0324);y3=sqh(20,-0.0382);round(k,y1,y2,y3)第3页/共33页利用利用plot 绘图观察数量变化趋势绘图观察数量变化趋势可以用不同线型和颜色绘图r g b c m y k w 分别表示 红绿兰兰绿洋红黄黑白色：+o*.X s d 表示不同的线型 第4页/共33页 plot(k,y1,k,y2,k,y3)在同一坐标系下画图 plot(k,y2,:)plot(k,y2,-)plot(k,y2,r)plot(k,y2,y)plot(k,y2,y,k,y1,:)plot(k,y2,k,y1,:)plot(k,y2,oy,k,y1,:)用gtext(r=0.0

3、194),gtext(r=-0.0324),gtext(r=-0.0382)在图上做标记。第5页/共33页人工孵化是挽救濒危物种的措施之一，如果每年孵化5只鹤放入保护区，观察在中等自然条件下沙丘鹤的数量如何变化Xk+1=aXk+5 ,a=1+r如果我们想考察每年孵化多少只比较合适，可以令Xk+1=aXk+b ,a=1+r第6页/共33页function x=fhsqh(n,r,b)a=1+r;X=100;For k=1:nX(k+1)=a*x(k)+b;end第7页/共33页k=(0:20);%一个行向量y1=(20,-0.0324,5);也是一个行向量round(k,y 1 )对k,y1四舍

4、五入，但 是 不改变变量的值 plot(k,y1)k y1 是行向量列向量都可以也可以观察200年的发展趋势，以及在较差条件下的发展趋势，也可以考察每年孵化数量变化的影响。第8页/共33页一阶线性常系数差分方程的解、平衡点及其稳定性一阶线性常系数差分方程的解、平衡点及其稳定性自然环境下,b=0人工孵化条件下令xk=xk+1=x得 差分方程的平衡点k时，xkx,称平衡点是稳定的第9页/共33页高阶线性常系数差分方程高阶线性常系数差分方程 如果第k+1时段变量Xk+1不仅取决于第k时段变量Xk，而且与以前时段变量有关，就要用高阶差分方程来描述第10页/共33页一年生植物的繁殖一年生植物的繁殖一年生

5、植物春季发芽，夏天开花，秋季产种，没有腐烂，风干，被人为掠取的那些种子可以活过冬天，其中一部分能在第2年春季发芽，然后开花，产种，其中的另一部分虽未能发芽，但如又能活过一个冬天，则其中一部分可在第三年春季发芽，然后开花，产种，如此继续，一年生植物只能活1年，而近似的认为，种子最多可以活过两个冬天，试建立数学模型研究这种植物数量变化的规律，及它能一直繁殖下去的条件。第11页/共33页模型及其求解模型及其求解记一棵植物春季产种的平均数为c,种子能活过一个冬天的(1岁种子)比例为b,活过一个冬天没有发芽又活过一个冬天的（2岁种子）比例仍为b,1岁种子发芽率a1，2岁种子发芽率a2。设c,a1,a2固

6、定，b是变量，考察能一直繁殖的条件记第k年植物数量为Xk，显然Xk与Xk-1,Xk-2有关，由 Xk-1决定的部分是 a1bcXk-1,由Xk-2决定的部分是 a2b(1-a1)bcXk-2 Xk=a1bcXk-1 +a2b(1-a1)bcXk-2 第12页/共33页Xk=a1bcXk-1 +a2b(1-a1)bcXk-2实际上，就是Xk=pXk-1+qXk-2 我们需要知道x0,a1,a2,c,考察b不同时，种子繁殖的情况。在这里假设X0=100,a1=0.5,a2=0.25,c=10,b=0.180.20这样可以用matlab计算了第13页/共33页Xk=a1bcXk-1 +a2b(1-a

7、1)bcXk-2Function x=zwfz(x0,n,b)C=10;a1=0.5;a2=0.25;p=a1*b*c;q=a2*b*(1-a1)*b*c;X1=x0;X2=p*(x1);for k=3:nX(k)=p*(xk-1)+q*(xk-2);end第14页/共33页K=(0:20);Y1=zwfz(100,21,0.18);Y2=zwfz(100,21,0.19);Y3=zwfz(100,21,0,20);Round(k,y1,y2,y3)Plot(k,y1,k,y2,:,k,y3,o),Gtext(b=0.18),gtext(b=0.19),gtext(b=0.20)第15页/共3

8、3页结果分析：结果分析：Xk=pXk-1+qXk-2 (1)x1+px0=0 (2)对高阶差分方程可以寻求形如的解。代入(1)式得称为差分方程的特征方程。差分方程的特征根：方程(1)的解可以表为C1,c2 由初始条件x0,x1确定。第16页/共33页本例中，用待定系数的方法可以求出b=0.18时,c1=95.64,c2=4.36 ，这样实际上，植物能一直繁殖下去的条件是b0.191第17页/共33页线性常系数差分方程组线性常系数差分方程组汽车租赁公司的运营一家汽车租赁公司在3个相邻的城市运营，为方便顾客起见公司承诺，在一个城市租赁的汽车可以在任意一个城市归还。根据经验估计和市场调查，一个租赁期

9、内在A市租赁的汽车在A,B,C市归还的比例分别为0.6,0.3,0.1;在B市租赁的汽车归还比例0.2,0.7,0.1;C市租赁的归还比例分别为0.1,0.3,0.6。若公司开业时将600辆汽车平均分配到3个城市，建立运营过程中汽车数量在3个城市间转移的模型，并讨论时间充分长以后的变化趋势。第18页/共33页0.60.3A B CA B CA B C假设在每个租赁期开始能把汽车都租出去，并都在租赁期末归还0.10.70.20.10.60.30.1第19页/共33页模型及其求解模型及其求解记第k个租赁期末公司在ABC市的汽车数量分别为x1(k),x2(k),x3(k)（也是第k+1个租赁期开始各

10、个城市租出去的汽车数量），很容易写出第k+1个租赁期末公司在ABC市的汽车数量为(k=0,1,2,3)第20页/共33页用矩阵表示用matlab编程，计算x(k),观察n年以后的3个城市的汽车数量变化情况第21页/共33页function x=czqc(n)A=0.6,0.2,0.1;0.3,0.7,0.3;0.1,0.1,0.6;x(:,1)=200,200,200;for k=1:n x(:,k+1)=A*x(:,k);end如果直接看10年或者20年发展趋势，可以直接在命令窗口（commond window）作，而不是必须编一个函数第22页/共33页A=0.6,0.2,0.1;0.3,0

11、.7,0.3;0.1,0.1,0.6;n=10;for k=1:nx(:,1)=200,200,200;x(:,k+1)=A*x(:,k);end round(x)第23页/共33页作图观察数量变化趋势作图观察数量变化趋势 k=0:10;plot(k,x)，gridgtext(x1(k),gtext(x2(k),gtext(x3(k)第24页/共33页可以看到时间充分长以后3个城市汽车数量趋于180，300，120可以考察这个结果与初始条件是否有关若最开始600辆汽车都在A市，可以看到变化时间充分长以后，各城市汽车数量趋于稳定，与初始值无关第25页/共33页直接输入直接输入x（:,1）的值即可

12、）的值即可x(:,1)=600,0,0;round(x);plot(k,x),grid第26页/共33页按年龄分组的种群增长按年龄分组的种群增长野生或饲养的动物因繁殖而增加，因自然死亡和人为屠杀而减少，不同年龄动物的繁殖率，死亡率有较大差别，因此在研究某一种群数量的变化时，需要考虑年龄分组的种群增长。将种群按年龄等间隔的分成若干个年龄组，时间也离散化为时段，给定各年龄组种群的繁殖率和死亡率，建立按年龄分组的种群增长模型，预测未来各年龄组的种群数量，并讨论时间充分长以后的变化趋势。第27页/共33页模型及其求解模型及其求解设种群按年龄等间隔的分成n个年龄组，记i=1,2,，n,时段记作k=0,1

13、,2,且年龄组区间与时段长度相等(若5岁为一个年龄组，则5年为一个时段)。以雌性个体为研究对象记在时段k第i年龄组的数量为xi(k);第i年龄组的繁殖率为bi，表示每个个体在一个时段内繁殖的数量；第i年龄组死亡率为di，表示一个时段内死亡数与总数的比，si=1-di是存活率。第28页/共33页注意：第k时段的第i年龄组活过来的，是第k+1时段的第i+1年龄组Xi+1(k+1)=sixi(k)i=1，2,n-1,k=0,1,各年龄组在第k时段繁殖的数量和是第k+1时段的第1年龄组X1(k+1)=k=0,1,记在时段k种群各年龄组的数量为X(k)=x1(k),x2(k),xn(k)第29页/共33

14、页这样，有x(k+1)=Lx(k),k=0,1,给定在0时段，各年龄组的初始数量x(0)就可以预测任意时段k,各年龄组的数量设一种群分成5个年龄组，繁殖率b1=0,b2=0.2,b3=1.8,b4=0.8,b5=0.2存活率s1=0.5,s2=0.8,s3=0.8,s4=0.1各年龄组现有数量都是100只，用matlab计算x(k)第30页/共33页b=0,0.2,1.8,0.8,0.2;s=diag(0.5,0.8,0.8,0.1);L=b;s,zeros(4,1);x(:,1)=100*ones(5,1);n=30;for k=1:nx(:,k+1)=L*x(:,k);end round(x)k=0:30;subplot(1,2,1),plot(k,x),grid第31页/共33页将x(k)归一化后的向量记做x(k),称为种群按年龄组的分布向量，即各年龄组在k时段在数量上占总数的百分比。y=diag(1./sum(x);%sum(x)对列求和Z=x*y Subplot(1,2,2),plot(k,z),grid结果分析：时间充分长以后，种群按年龄组的分布x(k)趋向稳定。第32页/共33页感谢您的观看！第33页/共33页