高数例题课件第七章微分方程.ppt

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1、高数例题课件第七章微分方程现在学习的是第1页，共102页二、微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。三、阶微分方程的一般形式 ，其中个变量的函数，并且 必须出现，而 等变量则可以不出现。现在学习的是第2页，共102页 例1列车在平直路上以20m/s的速 度行驶，当制动时列车获得加速度 ，问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？现在学习的是第3页，共102页四、微分方程的解、通解、初始条件、特解 1、微分方程的解：设有微分方程 ,且函数 在区间 上有 阶连续导数,如果在区间 上，,那么函数 就叫做微分方程 在区间 上的解。现在学

2、习的是第4页，共102页2、微分方程的通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的的阶数相同（这里所说的任意常数是相互独立的，就是说，它们不能合并而使得任意常数的个数减少），这样的解叫做微分方程的通解。现在学习的是第5页，共102页3、微分方程的初始条件 用来确定微分方程通解中任意常数的条件 叫做微分方程的初始条件。4、微分方程的特解 确定了通解中任意常数以后得到的解叫做微分方程的特解（满足初始条件的解）现在学习的是第6页，共102页例2验证函数是微分方程 的通解,并求满足初始条件 的特解。现在学习的是第7页，共102页五、微分方程的积分曲线 微分方程的解的图形是一条曲线

3、，叫做微分方程的积分曲线，通解代表一族曲线。现在学习的是第8页，共102页7-2可分离变量的微分方程一、定义：如果一个一阶微分方程能写成 的形式,就是说,能把微分方程写成一端只含 的函数和 ,另一端只含 的函数和 ,那么原方程就称为可分离变量的微分方程。现在学习的是第9页，共102页例1求微分方程 的通解。现在学习的是第10页，共102页三、注意的问题(1)在求形如 类积分时,按照积分基本公式应有 ,但如果整理后的正负号可含于任意常数C中,在求积分 时,为了简化运算,常写成 。现在学习的是第11页，共102页例2求微分方程 现在学习的是第12页，共102页2、通解不是微分方程的全部解。现在学习

4、的是第13页，共102页例3解微分方程 现在学习的是第14页，共102页3、有些方程需经变量替换或变形后，再进行变量分离。现在学习的是第15页，共102页例4解微分方程 现在学习的是第16页，共102页例5解微分方程 现在学习的是第17页，共102页例6解微分方程现在学习的是第18页，共102页例7放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素,铀的含量就不断减少，这种现象叫衰变，由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比，已知t=0时铀的含量为 ，求在衰变过程中铀含量 随时间 t 变化的规律。现在学习的是第19页，共102页例8设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力

5、与速度成正比，并设降落伞离开跳伞塔时（t=0）速度为零，求降落伞下落速度与时间的函数关系。现在学习的是第20页，共102页例9解方程现在学习的是第21页，共102页7-3 齐次方程一、定义：如果一阶微分方程可化成 的形式，那么就称这方程为齐次方程。现在学习的是第22页，共102页例1解方程现在学习的是第23页，共102页例2探照灯的聚光镜的镜面是一张旋转曲面,它的形状由 坐标面上的 一条曲线 绕 轴旋转而成,按聚光镜性能的要求,在其旋转轴(轴)上一点 发出的一切光线,经它反射后都与旋转轴平行,求曲线 的方程。现在学习的是第24页，共102页例2有旋转曲面形状的凹镜，假设由旋转轴上一点 发出的一

6、切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行，求这旋转曲面的方程。现在学习的是第25页，共102页7-4 一阶线性微分方程一、线性方程（一）定义：方程叫做一阶线性微分方程(都是一次的)当 时,称为齐次的一阶线性微分方程。现在学习的是第26页，共102页 当 时,称方程为非齐次的一阶线性微分方程,并把称为与非齐次线性微分方程 对应的齐次线性微分方程。现在学习的是第27页，共102页(二)解法1、常数变易法（求 的解）(1)求与方程对应的齐次方程 的通解。(2)将对应的齐次方程的通解中的常数C换成 的未知函数 ，,并把它们作为 的解，求出 .现在学习的是第28页，共102页从而得通解 因此得出结论:一阶非奇

7、次线性微分方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和.现在学习的是第29页，共102页 例1求方程 的通解。现在学习的是第30页，共102页例2解方程现在学习的是第31页，共102页 2、公式法：现在学习的是第32页，共102页例3设有微分方程 ,其中 ,试求在 内的连续函数 ,使之在 和 内都满足所给方程,且满足条 件 。现在学习的是第33页，共102页例4设 是微分方程 的一个解，求此微分方程满足条件 的特解。现在学习的是第34页，共102页(三)注意的问题1、有时微分方程不能化成 的形式，但可化成 的形式，此时可把 看作函数（因变量），按公式法求解。现在学习的是第35页

8、，共102页例5解方程现在学习的是第36页，共102页2、有些微分方程不是一阶微分方程,可以通过变量替换将其化成一阶微分方程。现在学习的是第37页，共102页例6解现在学习的是第38页，共102页二、伯努利方程（一）定义：方程叫做伯努利方程。现在学习的是第39页，共102页(二)解法:通过变量代换,把它化成一阶线性微分方程1、两边同乘以2、令现在学习的是第40页，共102页例6求方程 的通解。现在学习的是第41页，共102页例7解微分方程 现在学习的是第42页，共102页一、定义：形如的方程，如果它的左端恰好是某一函数 的全微分那么该方程就叫做全微分方程。7-5 全微分方程现在学习的是第43页

9、，共102页二、全微分方程的判别 设有方程 函数 在单连通城 内具有一阶连续偏导数，则在G内方程（1）是全微分方程的充要条件是 。现在学习的是第44页，共102页例1求解现在学习的是第45页，共102页四、可化为全微分方程的微分方程的解法（一）积分因子：若 ，则方程 不是全微分方程，但若存在函数使 ，即为全微分方程，则 称为 微分方程的积分因子。现在学习的是第46页，共102页(三)积分因子的寻找 必须熟记一些微分公式：现在学习的是第47页，共102页现在学习的是第48页，共102页现在学习的是第49页，共102页现在学习的是第50页，共102页例2求微分方程的解。现在学习的是第51页，共10

10、2页例3解微分方程现在学习的是第52页，共102页例4设函数 在 上连 续，且满足方程 求 。现在学习的是第53页，共102页例5设于半空间 内任意的光滑有向封闭曲面S，都有 其中函数 在 内具有 连续的一阶导数，且 ，求 。现在学习的是第54页，共102页7-5 可降阶的高阶微分方程一、定义：二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程。二、几种易降阶的高阶微分方程的解法(一)型的微分方程特点：方程的左端是函数 的 阶导,右端是仅含有自变量 的函数。现在学习的是第55页，共102页 解法：两边积分,每积分一次,微分方程的阶就降一阶,直到求出 为止。积分 次，即得微分方程的通解。现在学习的是第56

11、页，共102页例1求微分方程 的通解。现在学习的是第57页，共102页例2质量为m的质点受力F的作用沿 轴作直线运动,设力 在开始时刻t=0时 随着时间t的增大,此力F均匀地减小,直到t=T时，如果开始时质点位于原点，且初速度为零，求这质点的运动规律。现在学习的是第58页，共102页(二)型的微分方程特点：方程的右端不显含 未知函数 。现在学习的是第59页，共102页例3求微分方程 满足初始条件 的特解。现在学习的是第60页，共102页(三)型的微分方程特点：右端不显含自变量现在学习的是第61页，共102页例4求微分方程 的通解。现在学习的是第62页，共102页例5求微分方程 ，的解。现在学习

12、的是第63页，共102页例6求微分方程 满 足初始条件 的特解。现在学习的是第64页，共102页一、定义：形如这样的微分方程叫做高阶线性微分方程。我们把方程叫做与方程（1）对应的齐次方程。7-6高阶线性微分方程现在学习的是第65页，共102页二、线性微分方程的解的结构（一）定理1：如果函数是方程 的两个解，那么 也是该方程的解，其中 是任意常数。现在学习的是第66页，共102页（二）线性相关与线性无关1、定义：设 为定义在区间 个函数，如果存在 个不全为零的常数 ，使得当 时，有恒等式 成立，那么称这 个函数在区间 上线性相关，否则称线性无关。现在学习的是第67页，共102页例1判别下列函数组

13、在给定区间 上的线性相关性：（1）三个函数在区间 上。（2）三个函数在区间 上。现在学习的是第68页，共102页2、注意：(1)对于两个函数 ，若其中一个函数为常数0，则这两个函数必线性相关。(2)对于两个非零函数 来说，线性相关的充要条件是它们的比值为常数。现在学习的是第69页，共102页(三)定理2：1、定理：如果 是方程 的两个线性无关的特解，那么(是任意常数)就是该方程的通解.现在学习的是第70页，共102页例2验证 （是任意常数）是方程 的通解。现在学习的是第71页，共102页2、推论：如果是 阶齐次线性方程 的 个线性无关的解，那么此方程的通解为其中 为任意常数。现在学习的是第72

14、页，共102页（四）定理3：设 是二阶非齐次线性方程的一个特解，是与（1）对应的齐次方程 的通解，那么 是二阶非齐次线性微分方程（1）的通解。现在学习的是第73页，共102页例3.设 有一特 解 ，对应齐次方程有一特解 ，试求：(1)的表达式。(2)此方程的通解。现在学习的是第74页，共102页(五)定理4：设非齐次线性方程 的右端 是两个函数之和，即 而 分别是方程 与 的特解那么 就是原方程的特解现在学习的是第75页，共102页一、二阶常系数齐次线性阶微分方程（）定义：形如 （其中 是常数）的方程叫做二阶常系数齐次线性微分方程，如果 不全为常数，则该方程叫做二阶变系数齐次线性微分方程。7-

15、7常系数齐次线性阶微分方程现在学习的是第76页，共102页(二)微分方程的特征方程及特征根：把代数方程 叫做微分方程 的特征方程,而把特征方程的根叫做微分方程的特征根。现在学习的是第77页，共102页(三)二阶常系数齐次线性微分方程通解的求法1、是微分方程的解的充要条件是 是微分方程 的特征方程 的特征根2、通解的求法(1)若特征方程有两个不相同的实根 ，则微分方程的通解为 。现在学习的是第78页，共102页例1求微分方程 的通解。现在学习的是第79页，共102页（2）若特征方程有两个相同的实根 ，则微分方程的通解为现在学习的是第80页，共102页例2求方程满足初始条件 的特解。现在学习的是第

16、81页，共102页（3）若特征方程有一对共轭复根 ，则微分方程的通解为现在学习的是第82页，共102页例3求微分方程 的通解。现在学习的是第83页，共102页二、阶常系数齐次线性微分方程（一）一般形式：其中 都是常数。（二）特征方程，特征根把叫做微分方程（1）的特征方程，微分方程的特征方程的根叫特征根。现在学习的是第84页，共102页（三）微分方程的通解和特征方程的根的关系1、若特征方程有单实根 ，则通解中含有对应项 2、若特征方程有一对单复根 则通解中含有对应两项3、若特征方程有k重实根 ，则通解中含有对应k项现在学习的是第85页，共102页4、若特征方程有一对k重复根 ，则通解中含有对应2

17、k项把所有可能的对应项加到一起，即为微分方程的通解。现在学习的是第86页，共102页例4求方程 的通解。现在学习的是第87页，共102页例5求方程 的通解（其中 ）。现在学习的是第88页，共102页例6具有特解 的3阶常系数齐次线性微分方程 是（）（A）（B）（C）（D）现在学习的是第89页，共102页例7已知 是某二阶常系数非齐次线性微分方程 的三个解，求此微分方程。现在学习的是第90页，共102页例8设函数 具有二阶连续导数，而 满足方程 ，求 现在学习的是第91页，共102页7-8 常系数非齐次线性阶微分方程一、二阶常系数非齐次线性微分方程(一)通解的结构：的通解 等于它所对应的齐次方程

18、 的通解 和 的一个特解之和,即 .现在学习的是第92页，共102页(二)两种常见形式特解的求法（待定系数法）1、,其中 是常数,的一个m次多项式现在学习的是第93页，共102页 则二阶常系数非齐次线性微分方程具有形如 的特解，其中 是与 同次 的多项式，而k按 不是特征方程的根，是特征方程的单根，或是特征方程的重根，依次取0,1或2。现在学习的是第94页，共102页例1求微分方程 的一个特解。现在学习的是第95页，共102页例2求微分方程 的通解。现在学习的是第96页，共102页（二）其中 是常数，分别是 次，次多项式，其中有一个可为零。则 阶常系数非齐次线性微分方程具有形如的特解，现在学习

19、的是第97页，共102页其中 是 m 次多项式，而 k 按 不是特征方程的根，或是特征方程的单根依次取0或1。现在学习的是第98页，共102页例3求微分方程 的一个特解。现在学习的是第99页，共102页二、n阶常系数非齐次线性微分方程特解的求法设有微分方程（一）若 ，则方程具有形如 的特解，其中 是与 同次的多项式，K是特征方程含根 的重复次数（即若 不是特征方程的根，则 ，若 是特征方程的S重根，则 k取为S）现在学习的是第100页，共102页（二）若方程具有形如的特解，其中 是次多项式 是特征方程含根 的重复次数。现在学习的是第101页，共102页例4求下列微分方程的通解 （1）（2）现在学习的是第102页，共102页