“杨辉三角”与二项式系数的性质.pptx

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1、一般地，对于一般地，对于n N*有有二项定理二项定理:新课引入新课引入二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过观察们先通过观察n为特殊值时，二项式系数有什么特为特殊值时，二项式系数有什么特点？点？第1页/共33页计算计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表展开式的二项式系数并填入下表 n(a+b)n展开式的二项式系数展开式的二项式系数12345616152015611510105114641133112111第2页/共33页(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6

2、议一议1 1）请看系数有没有明显的规律？2 2）上下两行有什么关系吗？3 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?对称性第3页/共33页每行两端都是1 Cn0=Cnn=1从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和 Cn+1m=Cnm +Cnm-1(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+第4页/共33页详解九章算法中记载的表杨 辉杨辉三角第5页/共33页二项式系数的性质 展开式的二项式系数依次是：从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数 ,其定义域是：当 时，其图象是右图中的7个孤立点第6页/共33页对称性对称性 与首末两端“等距离”的两个二

3、项式系数相等 这一性质可直接由公式 得到图象的对称轴：二项式系数的性质第7页/共33页2、若（、若（a+b）n的展开式中，第三项的二项的展开式中，第三项的二项式系数与第七项的二项式系数相等，式系数与第七项的二项式系数相等，练习：练习：1、在、在(ab)展开式中，与倒数第三项二展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是项式系数相等是()A 第项第项 B 第项第项 C 第项第项 D 第项第项则则n=_B8第8页/共33页增减性与最大值增减性与最大值 由于：所以 相对于 的增减情况由 决定二项式系数的性质由：即二项式系数前半部分是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。可知

4、，当 时，第9页/共33页 因此,当n为偶数时,中间一项的二项式系数 取得最大值；当n为奇数时,中间两项的二项式系数 相等，且同时取得最大值。增减性与最大值增减性与最大值 二项式系数的性质第10页/共33页1.在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为 ；在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为 .3.在二项式(x-1)11的展开式中,求系数最小的项的系数。最大的系数呢？练习练习2.指出（a+2b）15的展开式中哪些项的二项式系数最大，并求出其最大的二项式系数最大。解:第8、9项的二项式系数即6435最大。第11页/共33页变式:若将“只有第10项”改为“第10项”呢？解第12页/共33

5、页各二项式系数的和各二项式系数的和 在二项式定理中，令 ，则：这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：同时由于 ，上式还可以写成：这是组合总数公式 二项式系数的性质第13页/共33页例例 证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。在二项式定理中，令 ，则：赋值法证明：证明：第14页/共33页例题例题 2.求证：证明：倒序相加法倒序相加法第15页/共33页(1)二项式系数的三个性质(2)数学思想：函数思想 a 单调性；b 图象；c 最值。小结小结第16页/共33页求奇数求奇数(次次)项偶数项偶数(次次)项系数的和项系数的和(1)(1)(2)(2)第17页/共

6、33页求奇数求奇数(次次)项偶数项偶数(次次)项系数的和项系数的和所以（3）第18页/共33页例题点评例题点评求二项展开式系数和，常常得用求二项展开式系数和，常常得用赋值法赋值法，设，设二项式中的字母为二项式中的字母为1或或-1，得到一个或几个等，得到一个或几个等式，再根据结果求值式，再根据结果求值第19页/共33页求多项式的展开式中特定的项求多项式的展开式中特定的项(系数系数)例例2.2.的展开式中的展开式中,的系数等于的系数等于_解解:仔细观察所给已知条件可直接求得仔细观察所给已知条件可直接求得 的系的系 数是数是第20页/共33页 例例 3:3:求求 的展开式中的展开式中 项项 的系数的

7、系数.解解的通项是的通项是的通项是的通项是的通项是的通项是第21页/共33页由题意知解得所以所以 的系数为的系数为:例题点评例题点评对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两个通项之积比较方便运算个通项之积比较方便运算第22页/共33页求展开式中系数最大求展开式中系数最大(小小)的项的项解解:设设 项是系数最大的项项是系数最大的项,则则二项式系数最大的项为第11项,即所以它们的比是第23页/共33页例例 5 5 在在 的展开式中，系数的展开式中，系数绝对值绝对值最大的项最大的项 解：设系数绝对值最大的项是第解：设系数绝对值最大的项是第r+1r+1项，则项，则所

8、以当所以当 时，系数绝对值最大的项为时，系数绝对值最大的项为第24页/共33页解决系数最大问题，通常设第解决系数最大问题，通常设第 项是系数最项是系数最大的项，则有大的项，则有由此确定由此确定r r的取值的取值例题点评例题点评第25页/共33页三项式转化为二项式三项式转化为二项式解：三项式不能用二项式定理解：三项式不能用二项式定理,必须转化为二项式必须转化为二项式再利用二项式定理逐项分析常数项得再利用二项式定理逐项分析常数项得=1107=1107第26页/共33页_解：解：原式化为其通项公式为其通项公式为240240例题点评括号里含有三项的情况可以把某两项合并为一项括号里含有三项的情况可以把某

9、两项合并为一项,合合并时要注意选择的科学性并时要注意选择的科学性.也可因式分解化为乘积二也可因式分解化为乘积二项式项式.第27页/共33页问问题题探探究究:(1)(1)今天是星期五，那么今天是星期五，那么7天后天后 的这一天是星期几呢的这一天是星期几呢?（星期五）（星期五）(2)(2)如果是如果是15天后的这一天呢？天后的这一天呢？（星期六）（星期六）(3)(3)如果是如果是24天后的这一天呢？天后的这一天呢？（星期一）（星期一）(4)(4)如果是如果是 天后的这一天呢？天后的这一天呢？第28页/共33页 余数是余数是1 1，所以是所以是星期六星期六(4)(4)今天是星期五，那么今天是星期五，

10、那么 天后天后的这一天是星期几？的这一天是星期几？变式变式:若将若将 除以除以9 9，则得到的余数是多少？，则得到的余数是多少？第29页/共33页变式变式:若将若将 除以除以9 9，则得到的余数是多少？，则得到的余数是多少？所以余数是所以余数是1 1，思思考考：若将若将 除以除以9 9，则得，则得到的余数还是到的余数还是1 1吗？吗？8第30页/共33页2.2.求求(1+(1+x)+(1+)+(1+x)2 2+(1+(1+x)1010展开式中展开式中x3 3的系数的系数3.9192除以100的余数是.由此可见，除后两项外均能被100整除所以 9192除以100的余数是81第31页/共33页4、已知a,bN，m,n Z，且2m+n=0，如果二项式(ax m+bx n)12 的展开式中系数最大的项恰好是常数项，求 a:b 的取值范围。解：令m(12 r)+nr=0，将 n=2m 代入，解得 r =4故T5 为常数项，且系数最大。第32页/共33页谢谢您的观看！第33页/共33页