知识回顾概率论与数理统计.pptx

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1、第1页/共39页第2页/共39页数学期望数学期望定义1离散型随机变量数学期望的定义假定有一个离散型随机变量X有n个不同的可能取值x1,x2,xn，而p1,p2,pn是X取这些值相应的概率，则这个随机变量X的数学期望定义如下：数学期望描述的是随机变量（总体）的一般水平。定义2连续型随机变量数学期望的定义第3页/共39页期望的性质期望的性质（1）如果a、b为常数，则 E(aX+b)=aE(X)+b（2）如果X、Y为两个随机变量，则 E(X+Y)=E(X)+E(Y)（3）如果g(x)和f(x)分别为X的两个函数，则 Eg(X)+f(X)=Eg(X)+Ef(X)（4）如果X、Y是两个独立的随机变量，则

2、 E(X.Y)=E(X).E(Y)第4页/共39页方差反映随机变量的离散程度。方差反映随机变量的离散程度。对于随机变量对于随机变量X，若，若EX-EX2存在，则称存在，则称EX-EX2为随机变量为随机变量X的的方差方差，记为，记为D(X)或或Var(X)，即，即D(X)=EX-EX2称为随机变量称为随机变量X的的均方差或标准差均方差或标准差。方差方差第5页/共39页由方差的定义可知，由方差的定义可知，D(X)0。当当X为为离散型随机变量离散型随机变量时，且分布律为时，且分布律为 P(X=xk)=pk，则，则当当X为为连续型随机变量连续型随机变量时，且密度函数为时，且密度函数为f(x)，则，则在

3、实际计算中，通常使用如下公式在实际计算中，通常使用如下公式即方差是即方差是“随机变量平方的期望减去随机变量期望的随机变量平方的期望减去随机变量期望的平方平方”。第6页/共39页方差的性质方差的性质（a、b、c为常数；x、y为随机变量）（1）Var(c)=0（2）Var(c+x)=Var(x)（3）Var(cx)=c2Var(x)（4）Var(x-y)=Var(x)+Var(y)-2cov(x,y)Var(x+y)=Var(x)+Var(y)+2cov(x,y)若x，y独立，则：Var(x+y)=Var(x)+Var(y)（5）Var(a+bx)=b2Var(x)（6）a,b为常数，x,y为两个

4、相互独立的随机变量，则Var(ax+by)=a2Var(x)+b2Var(y)（7）Var(x)=E(x2)-(E(x)2第7页/共39页证明:=D(x)+D(y)+2cov(x,y)证明：D(x+y)=D(x)+D(y)+2cov(x,y)第8页/共39页 协方差协方差 A.协方差定义协方差定义随机变量随机变量X和和Y，若，若X的期望的期望E(X)和和Y的期望的期望E(Y)存在存在,则称则称COV(X,Y)=EX E(X)Y E(Y).为为X与与Y的的协方差协方差,易见易见COV(X,Y)=E(XY）-E(X)E(Y).第9页/共39页B.第10页/共39页相关系数相关系数 A.定义定义 若

5、随机变量若随机变量 X，Y的方差和协方的方差和协方差均存在差均存在,且且DX0,DY0，则，则称为称为X与与Y的的相关系数相关系数.B.相关系数的性质相关系数的性质(1)|XY|1；(2)|XY|=1存在存在常数常数a,b使使PY=aX+b=1；(3)X与与Y不相关不相关 XY=0;第11页/共39页第12页/共39页（一）统计量（样本均值、样本方差、标准差）（二）抽样分布 （正态分布、t分布、F分布）（三）几个重要的抽样分布定理几个重要的抽样分布几个重要的抽样分布第13页/共39页由由样样本本值值去去推推断断总总体体情情况况，需需要要对对样样本本值值进进行行“加加工工”，这这就就要要构构造造

6、一一些些样样本本的的函函数数，它它把把样样本本中中所所含含的的（某某一一方方面面）的的信息集中起来信息集中起来.这种不含任何未知参数的样本的函数称为统计量.它是完全由样本决定的量.（一）统计量第14页/共39页几个常见统计量几个常见统计量样本均值：样本方差：它反映了总体均值的信息它反映了总体方差的信息样本标准差：S第15页/共39页统计量既然是依赖于样本的，而统计量既然是依赖于样本的，而后者又是随机变量，故统计量也是随后者又是随机变量，故统计量也是随机变量，因而就有一定的分布，这个机变量，因而就有一定的分布，这个分布叫做分布叫做统计量的统计量的“抽样分布抽样分布”.（二）抽样分布第16页/共3

7、9页几种重要分布正态分布（含标准正态分布）t分布 F分布第17页/共39页 （1）正态分布的定义：（2）正态分布的数学期望和方差：（3）标准正态分布：1.正态分布第18页/共39页定理：正态分布标准化定理：如果XN（0，1），则X2 X2（1），即服从具有1个自由度的分布。第19页/共39页分位数问题第20页/共39页第21页/共39页记为分布2、定定义义:设设相相互互独独立立,都都服服从从标标准准正态分布正态分布N(0,1),则称随机变量：则称随机变量：所服从的分布为自由度为所服从的分布为自由度为 n的的 分布分布.分布是由正态分布派生出来的一种分布.第22页/共39页由分布的定义，不难得到

8、：1.设相互独立,都服从正态分布则2.设且X1,X2相互独立，则这个性质叫分布的可加性.X2分布的和仍然服从分布的和仍然服从X2分布。分布。第23页/共39页2 2分布的分位数分布的分位数对于对于(0,1)(0,1)给定给定,称满足条件称满足条件:的点的点n n2 2()为为n n2 2分布的上分布的上 分位数。分位数。第24页/共39页所服从的分布为自由度为n的t 分布.定定义义:设设XN(0,1),Y,且且X与与Y相相互独立，则称变量互独立，则称变量3、t 分布记为T .当n充分大时，其图形类似于标准正态分布密度函数的图形.第25页/共39页 T Tt tn n,对于对于(0,1)(0,1

9、)给定给定,称满足条件称满足条件:t t分布的分位数分布的分位数的点t tn n()为为t t分布的上分布的上 分位数。分位数。第26页/共39页4、F分布定义:设X与Y相互独立，则称统计量服从自由度为n1及n2的F分布，n1称为第一自由度，n2称为第二自由度，记作F.由定义可见，第27页/共39页 FF Fm,nm,n,对于对于(0,1)(0,1)给定给定,称满足条件称满足条件:F F分布的分位数分布的分位数 的点的点F Fm,nm,n()为为F F分布的上分布的上 分位数。分位数。第28页/共39页定理1(样本均值的分布)：定理2(样本方差的分布)：定理3（三）几个重要的抽样分布定理第29

10、页/共39页定理定理1(样本均值的分布样本均值的分布)设X1,X2,Xn是取自正态总体的样本，则有第30页/共39页n取不同值时样本均值的分布第31页/共39页定理定理2(样本方差的分布样本方差的分布)设X1,X2,Xn是取自正态总体的样本,分别为样本均值和样本方差,则有第32页/共39页定理定理3设X1,X2,Xn是取自正态总体的样本,分别为样本均值和样本方差,则有第33页/共39页小结一、概念：一、概念：随机变量，总体，样本随机变量，总体，样本二、统计量及其分布1.几个常见统计量几个常见统计量2.统计四大分布统计四大分布样本均值样本均值,样本方差样本方差分布,t 分布,F分布正态分布，正态分布，第34页/共39页3.抽样分布定理抽样分布定理设X1,X2,Xn是取自正态总体的样本,则第35页/共39页注意把握各种分布之间的联系注意把握各种分布之间的联系1.一般正态分布与标准正态分布的关系 如果XN（，2），则（X-）/N（0，1）2.标准正态分布与X2分布之间的关系 如果XN（0，1），则X2 X2（1），即服从具有1个自由度的分布。3.标准正态分布与t分布之间的关系第36页/共39页4.标准正态分布（分布）与F分布之间的关系5.关于正态分布的和第37页/共39页6.关于X2分布第38页/共39页感谢您的观看！第39页/共39页