研究生课程数值分析.pptx

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1、11数值微分数值微分第1页/共57页21.1差商型求导公式：差商型求导公式：向前差商公式向后差商公式中心差商公式第2页/共57页3差商型求导公式的截断误差：差商型求导公式的截断误差：第3页/共57页4二阶导数的中心差商公式：二阶导数的中心差商公式：二阶导数的中心差商公式的截断误差：二阶导数的中心差商公式的截断误差：第4页/共57页51.2插值型求导公式：插值型求导公式：用插值多项式的导数作为函数导数的近似，即用插值多项式的导数作为函数导数的近似，即等距节点下的常用公式等距节点下的常用公式,见课本见课本第5页/共57页61.3利用样条插值函数求数值微分利用样条插值函数求数值微分误差估计:第6页/

2、共57页7定积分的图形表示定积分的图形表示2 NewtonCotes求积公式第7页/共57页8行星运行轨道:开普勒定律行星在两点之间的运行距离第8页/共57页9问题：如何构问题：如何构造数值积分公式？造数值积分公式？第9页/共57页10积分中值定理积分中值定理:2.1 数值积分的基本思想第10页/共57页11第11页/共57页12插值型求积公式第12页/共57页13插值型求积公式的截断误差:第13页/共57页142.2 NewtonCotes求积公式第14页/共57页15第15页/共57页16第16页/共57页17此求积公式称为n阶Newton-Cotes公式第17页/共57页18Cotes系

3、数表系数表n1234第18页/共57页19xf(x)L(x)y第19页/共57页20 xf(x)hhL(x)y第20页/共57页21x0 x1xf(x)x2hhL(x)x3hy第21页/共57页22则称该求积公式具有则称该求积公式具有m次代数精确度。次代数精确度。2.3 误差估计误差估计（一）求积公式的代数精确度（一）求积公式的代数精确度第22页/共57页23结论：结论：第23页/共57页24梯形公式具有1次代数精确度第24页/共57页25抛物线公式具有3次代数精确度第25页/共57页26第26页/共57页27第27页/共57页28第28页/共57页29（二）梯形公式与Simpson公式的误差

4、估计第29页/共57页30第30页/共57页31第31页/共57页32第32页/共57页33梯形公式的误差：梯形公式的误差：Simpson公式的误差：公式的误差：第33页/共57页34第34页/共57页35第35页/共57页363复化求积公式3.1复化梯形公式x0 x1xf(x)x2hhx3hhx4第36页/共57页37第37页/共57页38复合梯形公式：复合梯形公式：第38页/共57页39复合梯形公式：复合梯形公式：第39页/共57页40事实上，事实上，第40页/共57页41即分段用Simpson公式再求和可得复化Simpson公式.3.2 复化Simpson公式 x0 x2xf(x)x4h

5、hxn-2hxn.hx3x1xn-1第41页/共57页4244444第42页/共57页43复化复化Simpson公式：公式：第43页/共57页44复化复化Simpson公式：公式：第44页/共57页45例：对于函数例：对于函数给出n=8的函数表,试用复化梯形公式及复化复化梯形公式及复化Simpson公式计算积分公式计算积分解：解：0.00.1250.250.3750.50.6250.750.8751.01.00.99739780.98961580.97672670.95885100.93615560.90885160.84147090.8771925复化梯形公式复化梯形公式=0.9456909

6、复化复化Simpson公式公式=0.9460832准确值准确值 I=0.9460831第45页/共57页46等分数相同，即运算量基本相同时，复化Simpson公式比复化梯形公式精度高第46页/共57页47第47页/共57页48如果用复化梯形公式计算，则由误差公式为了达到相同的精度复化Simpson公式比复化梯形公式的运算量小第48页/共57页49复化梯形公式事后误差估计第49页/共57页50复化Simpson公式事后误差估计第50页/共57页513.3 逐次分半算法（一）梯形公式的逐次分半算法第51页/共57页52递推公式:第52页/共57页53（二）Simpson公式的逐次分半算法为停步准则

7、为Simpson公式的逐次分半算法的事后误差估计公式，实际计算时也可以第53页/共57页54例：若用复化Simpson公式计算积分问积分区间要等分为多少份才能保证计算结果有4位有效数字？第54页/共57页550.00.1250.250.3750.50.6250.750.8751.01.00.99739780.98961580.97672670.95885100.93615560.90885160.84147090.8771925例例:根据数据表根据数据表解解:=0.9460869=0.9460832第55页/共57页56思考思考:从地面发射一枚火箭从地面发射一枚火箭,在最初在最初80秒内秒内,记录其加记录其加速度如下表速度如下表 t(秒秒)a(米米/秒秒2)0 30.00 10 31.63 20 33.44 30 35.47 40 37.75 50 40.33 60 43.29 70 46.69 80 50.67试求火箭在第试求火箭在第80秒时的速度秒时的速度.(并说明计算结果有并说明计算结果有几位有效数字几位有效数字)第56页/共57页57感谢您的观看！第57页/共57页