微积分不定积分教案PPT课件.ppt
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1、关于微积分不定积分教案1第一张,PPT共九十三页,创作于2022年6月2例例第一节第一节 不定积分的概念不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念定义定义不定积分又称不定积分又称反导数反导数,它是求导运算的逆运算它是求导运算的逆运算.本章所讲的内容就是导数的逆运算。本章所讲的内容就是导数的逆运算。第二张,PPT共九十三页,创作于2022年6月3原函数存在定理:原函数存在定理:简言之:连续函数一定有原函数简言之:连续函数一定有原函数.问题:问题:(1)原函数是否存在?原函数是否存在?(2)是否唯一?是否唯一?因此初等函数在其定义域内都有原函数因此初等函数在其定义域内都有原
2、函数。(但原函数不一定是初等函数但原函数不一定是初等函数)第三张,PPT共九十三页,创作于2022年6月4唯一性?唯一性?第四张,PPT共九十三页,创作于2022年6月5任任意意常常数数积积分分号号被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量记为记为定义定义 第五张,PPT共九十三页,创作于2022年6月6例例1 1 求求解解解解例例2 2 求求第六张,PPT共九十三页,创作于2022年6月7由不定积分的定义,可知由不定积分的定义,可知结论结论:微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆的的.或或或或第七张,PPT共九十三页,创作于2022年6月8实例实例启示启示
3、能否根据求导公式得出积分公式?能否根据求导公式得出积分公式?二、二、基本积分表基本积分表第八张,PPT共九十三页,创作于2022年6月9基本积分表(k是常数是常数);说明:说明:第九张,PPT共九十三页,创作于2022年6月10基本积分表(k是常数是常数);第十张,PPT共九十三页,创作于2022年6月11基本积分表第十一张,PPT共九十三页,创作于2022年6月12例例3 3 求积分求积分解解根据积分公式(根据积分公式(2)第十二张,PPT共九十三页,创作于2022年6月13例例4 4 设曲线通过点设曲线通过点(1,3),且其上任一点处的切线斜率等且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍
4、,求此曲线方程于这点横坐标的两倍,求此曲线方程.解解设曲线方程为设曲线方程为根据题意知根据题意知由曲线通过点由曲线通过点(1,3)所求曲线方程为所求曲线方程为-2-1O12x-2-112 yyx2+2yx2(1,3)第十三张,PPT共九十三页,创作于2022年6月14证证等式成立等式成立.(此性质可推广到有限多个函数之和的情况)(此性质可推广到有限多个函数之和的情况)第二节第二节 不定积分的运算法则不定积分的运算法则第十四张,PPT共九十三页,创作于2022年6月15例例1 1例例2 2例例3 3直直接接积积分分法法第十五张,PPT共九十三页,创作于2022年6月16例例4 4例例5 5第十六
5、张,PPT共九十三页,创作于2022年6月17例例8 8例例9 9例例1010第十七张,PPT共九十三页,创作于2022年6月18问题问题第三节第三节 换元积分法换元积分法一、第一类换元法一、第一类换元法(凑微分法凑微分法)凑微分第十八张,PPT共九十三页,创作于2022年6月19 凑微分法的关键是凑微分法的关键是“凑凑”,凑的目的是把被积函数凑的目的是把被积函数的中间变量变得与积分变量相同的中间变量变得与积分变量相同.第十九张,PPT共九十三页,创作于2022年6月20例例1例例2 运用运用 d(x+k)=dx第二十张,PPT共九十三页,创作于2022年6月21例例3 运用运用 d(ax+b
6、)=a dx第二十一张,PPT共九十三页,创作于2022年6月22例例4 运用运用 d(x2)=2x dx第二十二张,PPT共九十三页,创作于2022年6月23(1)(1)根据被积函数复合函数的特点和基本积分公式的形式根据被积函数复合函数的特点和基本积分公式的形式,依据恒等变形的原则依据恒等变形的原则,把把 d dx x凑成凑成d d(x x).).如如(2)(2)把被积函数中的某一因子与把被积函数中的某一因子与d dx x凑成一个新的微分凑成一个新的微分d d(x x).).如如“凑微分凑微分”的方法有的方法有:方法方法1 1较简单较简单,而方法而方法2 2则需一定的技巧则需一定的技巧,请同
7、学们务必记请同学们务必记牢以下常见的凑微分公式!牢以下常见的凑微分公式!第二十三张,PPT共九十三页,创作于2022年6月24常用凑微分公式:常用凑微分公式:等等等等.第二十四张,PPT共九十三页,创作于2022年6月25例例5 5例例6 6例例7 7第二十五张,PPT共九十三页,创作于2022年6月26例例7 7例例8 8第二十六张,PPT共九十三页,创作于2022年6月27例例9 9例例1010第二十七张,PPT共九十三页,创作于2022年6月28练练习习一一第二十八张,PPT共九十三页,创作于2022年6月296.6.7.7.8.8.第二十九张,PPT共九十三页,创作于2022年6月30
8、例例1111另:另:例例1212类似地,类似地,第三十张,PPT共九十三页,创作于2022年6月31例例1313练练习习说明说明 当被积函数是三角函数相乘时,拆开奇次当被积函数是三角函数相乘时,拆开奇次项去凑微分项去凑微分.第三十一张,PPT共九十三页,创作于2022年6月32例例1414例例1515或解或解第三十二张,PPT共九十三页,创作于2022年6月33例例1616例例1717例例1818第三十三张,PPT共九十三页,创作于2022年6月34例例1919解法解法1解法解法2解法解法3第三十四张,PPT共九十三页,创作于2022年6月35例例2020第三十五张,PPT共九十三页,创作于2
9、022年6月36解解例例2121 设设 求求 .令令第三十六张,PPT共九十三页,创作于2022年6月37第一类换元积分法在积分中是经常使用的方第一类换元积分法在积分中是经常使用的方法,不过如何适当地选取代换却没有一般的法,不过如何适当地选取代换却没有一般的规律可循,只能规律可循,只能具体问题具体分析具体问题具体分析。要掌握好。要掌握好这种方法,需要这种方法,需要熟记熟记一些函数的微分公式,并一些函数的微分公式,并善于根据这些微分公式对被积表达式做善于根据这些微分公式对被积表达式做适当的适当的微分变形微分变形,拼凑出合适的微分因子。,拼凑出合适的微分因子。第三十七张,PPT共九十三页,创作于2
10、022年6月38二、第二类换元法二、第二类换元法回代回代,得得 问题问题解决解决方法方法“根式替换根式替换”第三十八张,PPT共九十三页,创作于2022年6月39称为称为第二换元法第二换元法回 代第三十九张,PPT共九十三页,创作于2022年6月40例例1 1解解“根式替换根式替换”第四十张,PPT共九十三页,创作于2022年6月41例例2 2解解第四十一张,PPT共九十三页,创作于2022年6月42指数替换指数替换第四十二张,PPT共九十三页,创作于2022年6月43例例5 5 求求解解令令注意:根式替换与指数替换可以结合使用注意:根式替换与指数替换可以结合使用第四十三张,PPT共九十三页,
11、创作于2022年6月44例例4 4解解三角替换三角替换正弦替换正弦替换第四十四张,PPT共九十三页,创作于2022年6月45例例5 5解解正切替换正切替换第四十五张,PPT共九十三页,创作于2022年6月46例例6 6解解正割替换正割替换第四十六张,PPT共九十三页,创作于2022年6月47说明说明:以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换,目的是化掉根式目的是化掉根式.一般规律如下:当被积函数中含有一般规律如下:当被积函数中含有可令可令可令可令可令可令 但是否一定采用三角代换并不是绝对的但是否一定采用三角代换并不是绝对的,有时可有时可灵活采用别的方法灵活采用别的方法.注意:所
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