特征值和特征向量.ppt

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1、关于特征值与特征向量第一张，PPT共四十六页，创作于2022年6月定义定义5.1.1 设设A为为n阶方阵阶方阵,是一个数是一个数,若存在若存在非零非零列向量列向量x,使得使得 Ax=x （1）则称则称为为 A 的的一个特征值一个特征值，非零向量，非零向量x 称为矩阵称为矩阵 A 的对应于的对应于 特征值特征值的的特征向量特征向量，简称为，简称为 A 的特征向量的特征向量.一、一、矩阵的特征值与特征向量的定义与求法矩阵的特征值与特征向量的定义与求法第一节第一节 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量例如：例如：=2第二张，PPT共四十六页，创作于2022年6月 为为A的特征方程的特征方程.

2、齐齐次次线线性性方方程程组组 矩阵矩阵A的对应于的对应于的特征向量就是方程组的特征向量就是方程组(3)或或(2)的非零解的非零解.Ax=x (1)x-Ax=O(I-A)x=O (2)(3)IA为为A的的特征矩阵特征矩阵,|I-A|(的的n次多项式次多项式)称为称为A的的特征多项式特征多项式.特征方程的根叫做特征方程的根叫做A的特征根，即的特征根，即A的特征值的特征值.定义定义5.1.2第三张，PPT共四十六页，创作于2022年6月总结：总结：已知已知n阶方阵阶方阵A，求，求A的的特征值特征值归结为求特征方程归结为求特征方程的根；的根；求求A的的特征向量特征向量等价于求齐次线性方程组等价于求齐次

3、线性方程组(I-A)x=O的的非零解非零解.求矩阵求矩阵A的特征值与特征向量的的特征值与特征向量的步骤步骤：第一步，求第一步，求A的特征多项式的特征多项式|I-A|；第二步，令第二步，令|I-A|=0，得到，得到A的的n个特征值个特征值(重根按重数计重根按重数计)；第三步，对应于每个特征值第三步，对应于每个特征值i，求方程组求方程组(i I-A)x=O的非零解，的非零解，即是矩阵即是矩阵A的对应于特征值的对应于特征值i的特征向量的特征向量.第四张，PPT共四十六页，创作于2022年6月解：解：矩阵矩阵A的特征多项式为的特征多项式为例例1-2 -2-3-1令令|I-A|=0得得A的的特征值特征值

4、为：为：3I-A=1 -10 0 00 -1令令x3=1得基础解系得基础解系.是属于是属于 1 1=3=3的的一个特一个特征向量征向量.对应于特征值对应于特征值 1 1=3=3的的全部特征向量：全部特征向量：第五张，PPT共四十六页，创作于2022年6月令令x3=1得方程组的基础解系为：得方程组的基础解系为：-3I-A=是属于是属于 2 2=3=-3 3的一个特的一个特征向量征向量.则对应于则对应于2=3=-3的的全部特征向量全部特征向量为：为：c2v2=第六张，PPT共四十六页，创作于2022年6月解：解：A的特征多项式：的特征多项式：例例2求求A的特征值与特征向量的特征值与特征向量.|I-

5、A|=令令|I-A|=0，得，得A的特征值：的特征值：对于对于求方程组求方程组(I-A)x=O的非零解的非零解.I-A=0 -1 1得基础解系为：得基础解系为：对应于对应于 1 1=1=1的全部特征向量：的全部特征向量：第七张，PPT共四十六页，创作于2022年6月对于对于求方程组求方程组(2I-A)x=O的非零解的非零解.2I-A=x1=-x2+x3同解方程组：同解方程组：令令得到方程组的基础解系：得到方程组的基础解系：每个都是每个都是A的特征向量的特征向量.对应于对应于 2=3=2的全部特征向量：的全部特征向量：c1v21+c2v22其中，其中，c1,c2不全为零不全为零.第八张，PPT共

6、四十六页，创作于2022年6月命题命题2证：证：命题命题1 任一任一 n 阶方阵在复数域内都有阶方阵在复数域内都有 n 个特征根个特征根.若若x是是A的对应于特征值的对应于特征值的特征向量，则的特征向量，则kx(k0)也是也是A的对应于的对应于的特征向量；的特征向量；若若x，y都是都是A的对应于特征值的对应于特征值的特征向量，则非零线性的特征向量，则非零线性组合组合k1x+k2y(k1,k2不全为零不全为零)也是也是A的对应于的对应于的特征向量；的特征向量；(kx0)所以，所以，kx(k0)也是也是A的对应于的对应于的特征向量；的特征向量；因为因为k1,k2不全为零，所以不全为零，所以所以，所

7、以，k1x+k2y(k1,k2不全为零不全为零)是是A的对应于的对应于的特征向量的特征向量.注：注：同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是该特征值的特征向量同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是该特征值的特征向量.简言之简言之1.1.一个特征值对应有无穷多个特征向量一个特征值对应有无穷多个特征向量.2.2.一个特征向量只属于一个特征值一个特征向量只属于一个特征值.第九张，PPT共四十六页，创作于2022年6月解：解：练习：练习：对于对于基础解系：基础解系：全部特征向量：全部特征向量：c1,c2不全不全为零为零.基础解系：基础解系：全部特征向量：全部特征向量：第十张，PPT共四十六页，创作于20

8、22年6月练习：练习：教材教材P133例例9求求A的特征值和全部特征向量的特征值和全部特征向量.解：解：(-1)A的特征值为：的特征值为：基础解系：基础解系：不全为不全为0)基础解系：基础解系：第十一张，PPT共四十六页，创作于2022年6月定理定理5.1.1二、特征值与特征向量的性质二、特征值与特征向量的性质注：注：A与与AT 不一定有相同的特征向量不一定有相同的特征向量.方阵方阵A与其转置矩阵与其转置矩阵AT 有相同的特征值有相同的特征值.证：需证证：需证A与与AT有相同的特征多项式有相同的特征多项式.因为，因为，所以，所以，A与与AT有相同的特征多项式，从而有相同的特征值有相同的特征多项

9、式，从而有相同的特征值.定理定理5.1.2 设设 1，2，n 是是n阶方阵阶方阵A的所有特征值，则的所有特征值，则 tr(A)=1+2+n；|A|=1 2 n 相当重要！相当重要！迹迹验证：验证：设设 1,2 是是A的特征值的特征值,则则=|A|第十二张，PPT共四十六页，创作于2022年6月|A|=1 2 n 推论推论 A可逆的充要条件是可逆的充要条件是A的所有特征值的所有特征值 都不等于零都不等于零.特征值的其他简单性质：特征值的其他简单性质：1.若若是矩阵是矩阵A的一个特征值，则的一个特征值，则 (1)k是矩阵是矩阵kA的一个特征值；的一个特征值；(2)k是矩阵是矩阵Ak的一个特征值；的

10、一个特征值；(3)+1 是矩阵是矩阵A+I的一个特征值的一个特征值.(证明提示：利用定义证明提示：利用定义)设设是方阵是方阵A的特征值的特征值,则则 f()是是f(A)的特征值的特征值.一般地一般地,定理定理5.1.35.1.32.矩阵矩阵A可逆可逆,其特征值是其特征值是1,2,n,则则x=第十三张，PPT共四十六页，创作于2022年6月例例1 三阶方阵三阶方阵A的特征值为的特征值为-1，2，3，求：，求：(1)2A的特征值；的特征值；(2)A2的特征值；的特征值；(3)|A|；(4)A是否可逆是否可逆?解：解：(1)2A的特征值为的特征值为-2，4，6；(2)A2的特征值的特征值1，4，9；

11、(3)|A|=(-1)23=-6；(4)A可逆可逆.再求再求:(6)矩阵矩阵 A2-2A+3I 的特征值的特征值.问题问题：A-1的特征值？的特征值？-1，1/2，1/3.2-2+3：6，3，6.(7)伴随矩阵伴随矩阵 A*的特征值的特征值.=6，-3，-2第十四张，PPT共四十六页，创作于2022年6月例例2 P133例例8 求下列特殊矩阵的特征值求下列特殊矩阵的特征值.(1)Am=O(m是正整数是正整数);(2)A2=I.A叫作幂零矩阵叫作幂零矩阵 A叫作对合矩阵叫作对合矩阵解：解：设设为为A的任一特征值，对应的特征向量为的任一特征值，对应的特征向量为x,即即Ax=x Am x=m x A

12、2 x=2 x(1)因为因为Am=O,所以，所以，m x=O,而而x O,故故m=0,即即=0.(2)因为因为A2=I,所以，所以，x=2 x,即即(2-1)x=O,而而x O,所以，所以，2-1=0,即即=1.简言之，简言之，幂零矩阵的特征值为零；对合矩阵的特征值为幂零矩阵的特征值为零；对合矩阵的特征值为1.第十五张，PPT共四十六页，创作于2022年6月定理定理5.1.4不同特征值对应的特征向量线性无关不同特征值对应的特征向量线性无关.对应特征向量：对应特征向量：则则线性无关线性无关.简言之：简言之：推论推论设设 1，2，m 是是A的互异特征值，的互异特征值，线性无关特线性无关特征向量：征

13、向量：则则线性无关线性无关.如矩阵如矩阵A的特征值的特征值1=1，2=2，对应于对应于1=1的线性无关的特征向量为的线性无关的特征向量为对应于对应于2=2的线性无关的特征向量为的线性无关的特征向量为则则 v11,v21,v22 线性无关线性无关.第十六张，PPT共四十六页，创作于2022年6月 本节基本要求：本节基本要求：1.1.理解矩阵的特征值与特征向量的定义，会用定义解决问题；理解矩阵的特征值与特征向量的定义，会用定义解决问题；2.2.了解特征矩阵、特征多项式、特征方程、特征根；了解特征矩阵、特征多项式、特征方程、特征根；3.3.掌握特征值与特征向量的性质，能灵活运用性质解题；掌握特征值与

14、特征向量的性质，能灵活运用性质解题；4.4.熟练掌握矩阵的特征值与特征向量的求法熟练掌握矩阵的特征值与特征向量的求法.第十七张，PPT共四十六页，创作于2022年6月一、相似矩阵的定义与性质一、相似矩阵的定义与性质定义定义5.2.1注：注：矩阵的相似关系有以下性质：矩阵的相似关系有以下性质：相似与等价是矩阵的两大关系，二者既有区别又有联系：相似与等价是矩阵的两大关系，二者既有区别又有联系：第二节 方阵的相似变换设设A，B为为n阶方阵，若存在阶方阵，若存在n阶可逆矩阵阶可逆矩阵P，使得，使得1.矩阵相似的定义矩阵相似的定义 P-1AP=B则称矩阵则称矩阵A与与B相似，或相似，或A与与B是相似矩阵

15、，是相似矩阵，(1)自反性：自反性：A A因为：因为：I-1AI=A(2)对称性：若对称性：若AB，则则B A.由由P-1AP=BA=PBP-1=(P-1)-1 BP-1(3)传递性：若传递性：若AB，B C，则，则 A C.A与与B等价等价区别：区别：PAQ=B (P,Q可逆可逆)A与与B相似相似 P-1AP=B联系：联系：若若AB，则，则 A B.反之不然反之不然.第十八张，PPT共四十六页，创作于2022年6月2.相似矩阵的性质相似矩阵的性质性质性质1若若AB，则，则|A|=|B|.相似矩阵的行列式的值相等相似矩阵的行列式的值相等.P-1AP=B|P-1|A|P|=|B|A|=|B|性质

16、性质2若若AB，则，则 r(A)=r(B).相似矩阵的秩相等相似矩阵的秩相等.P-1AP=B 初等变换不改变矩阵的秩初等变换不改变矩阵的秩.性质性质3若若AB，则，则 A,B或者都可逆，或者都不可逆或者都可逆，或者都不可逆.且且A,B可逆时，有可逆时，有A-1 B-1.由性质由性质1 1易得易得.P-1AP=B性质性质4若若AB，则，则 Ak Bk (k是正整数是正整数).P-1AP=B(P-1AP)k=Bk P-1AkP=Bk第十九张，PPT共四十六页，创作于2022年6月10 Th4.2.1逆命题不成立逆命题不成立.即若即若A与与B有相同的特征值有相同的特征值,A与与B未必相似未必相似.性

17、质性质5若若AB,则则 A与与B有相同的特征值有相同的特征值.相似矩阵的特征值相同相似矩阵的特征值相同.=P138定理定理5.2.1证：证：因为因为AB，即：，即：P-1AP=B|I-B|=|I-P-1AP|=|P-1IP-P-1AP|=|P-1(I A)P|=|P-1|I A|P|=|I A|从而矩阵从而矩阵A，B有相同的特征值有相同的特征值.注：注：如：如：有相同特征值有相同特征值：1=2=1.但不相似但不相似.20 相似相似 矩阵有相同的特征值矩阵有相同的特征值,不保证有相同的特征向量不保证有相同的特征向量.那么特征向量之间有何关系？那么特征向量之间有何关系？性质性质6若若AB，则，则

18、tr(A)=tr(B).由性质由性质5易得易得.第二十张，PPT共四十六页，创作于2022年6月二、矩阵可对角化的条件二、矩阵可对角化的条件定理定理5.2.2n阶方阵阶方阵A相似于对角形矩阵的充分必要条件是相似于对角形矩阵的充分必要条件是A有有n个个线性无关的特征向量线性无关的特征向量.证证:必要性必要性若矩阵若矩阵A相似于对角矩阵相似于对角矩阵则则存在可逆矩阵存在可逆矩阵P，满足，满足即：即：将矩阵将矩阵P按列分块，令按列分块，令有有可逆可逆线性无关线性无关是是A的的n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.如果如果n阶方阵阶方阵A相似于对角形矩阵相似于对角形矩阵,即即 ,则称矩阵则称矩阵

19、A可对角化可对角化.为矩阵为矩阵A的相似标准形的相似标准形.第二十一张，PPT共四十六页，创作于2022年6月定理定理5.2.2n阶方阵阶方阵A相似于对角形矩阵的充分必要条件是相似于对角形矩阵的充分必要条件是A有有n个个线性无关的特征向量线性无关的特征向量.充分性充分性若矩阵若矩阵A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量其对应的特征值分别为：其对应的特征值分别为：则有则有即即PP可逆可逆说明说明:(1)的顺序与的顺序与相对应一致相对应一致.(2)定理的证明过程给出了定理的证明过程给出了A相似于对角矩阵时，可逆矩阵相似于对角矩阵时，可逆矩阵P及对角矩及对角矩阵阵 的构成的构成.第二十二张

20、，PPT共四十六页，创作于2022年6月推论推论1 1即即A有有n个互异特征值是个互异特征值是A可对角化的充分条件，而不是必要条件可对角化的充分条件，而不是必要条件.定理定理5.2.2n阶方阵阶方阵A相似于对角形矩阵的充分必要条件是相似于对角形矩阵的充分必要条件是A有有n个个线性无关的特征向量线性无关的特征向量.若若n 阶方阵阶方阵A有有n个互异的特征值个互异的特征值则则反之不然反之不然.线性无关线性无关.第二十三张，PPT共四十六页，创作于2022年6月已知已知n阶方阵阶方阵A，既能判定，既能判定A是否可以对角化，同时可求出可逆矩阵是否可以对角化，同时可求出可逆矩阵P及对及对角矩阵角矩阵.例

21、例1已知矩阵已知矩阵问问A能否对角化？若能，求出可逆矩阵能否对角化？若能，求出可逆矩阵P及对角矩阵及对角矩阵.解：解：|I-A|=A的特征值：的特征值：对于对于求求(I-A)x=O的基础解系的基础解系.I-A=对于对于求求(2I-A)x=O的基础解系的基础解系.2I-A=x1=-x2+x3A可对角化可对角化.且且注注 P及及并不唯一并不唯一.第二十四张，PPT共四十六页，创作于2022年6月解：解：例例2问问A能否对角化？若能，求出可逆矩阵能否对角化？若能，求出可逆矩阵P及对角矩及对角矩阵阵.A的特征值：的特征值：基础解系：基础解系：基础解系：基础解系：所以，所以，A可对角化可对角化.或或第二

22、十五张，PPT共四十六页，创作于2022年6月解：解：A的特征值为：的特征值为：由于三阶方阵由于三阶方阵A只有两个线性无关的特征向量只有两个线性无关的特征向量v1，v2,所以，所以，A不与对角形矩阵相似，即不与对角形矩阵相似，即A不能对角化不能对角化.例例3试判断试判断A可否对角化？可否对角化？练习之练习之求求的基础解系：的基础解系：求求的基础解系：的基础解系：练习：练习：P144例例6第二十六张，PPT共四十六页，创作于2022年6月 本节基本要求：本节基本要求：1.1.理解相似矩阵的定义与性质，灵活运用性质解题；理解相似矩阵的定义与性质，灵活运用性质解题；2.2.理解矩阵与对角矩阵相似的充

23、要条件及充分条件；理解矩阵与对角矩阵相似的充要条件及充分条件；3.3.熟练掌握矩阵熟练掌握矩阵A可对角化的判别方法可对角化的判别方法.第二十七张，PPT共四十六页，创作于2022年6月第三节第三节 向量内积和正交矩阵向量内积和正交矩阵一、向量的内积一、向量的内积1.向量内积的定义与性质向量内积的定义与性质定义定义5.3.1 设设n维向量维向量=(a1,a2,an)，=(b1,b2,bn)，称实数，称实数为向量为向量与与 的内积的内积.(,)=记记=T若列向量：若列向量：则内积则内积(,)=T 例例1 =(1,2,3),=(0,-3,5)，则，则(,)=10+2(-3)+35=9例例2 =(-1

24、,-3,-2,7),=(4,-2,1 1,0)，则，则(,)=-4+6-2+0=0第二十八张，PPT共四十六页，创作于2022年6月向量的内积运算具有如下性质：向量的内积运算具有如下性质：(1)(,)=(,)(2)(k,)=k(,)(3)(+,)=(,)+(,)(4)(,)0,当且仅当当且仅当=O时，有时，有(,)0.2.向量的长度与性质向量的长度与性质 向量的夹角向量的夹角定义定义5.3.2 设设n维向量维向量=(a1,a2,an)，称实数，称实数为向量为向量 的长度，或范数或的长度，或范数或模，记模，记向量的长度具有如下性质：向量的长度具有如下性质：(1)当且仅当当且仅当=O时，时，|=0

25、.(2)|k|=|k|(3)|(,)|Cauchy-Schwarz不等式不等式.(4)|+|+|三角不等式三角不等式.第二十九张，PPT共四十六页，创作于2022年6月将向量将向量单位化单位化长度为长度为1的向量称为单位向量的向量称为单位向量.如：如：1=(1,0),2=(0,1)都是单位向量都是单位向量.例例3 求向量求向量 =(1,2,-1)的长度，并将其单位化的长度，并将其单位化.解：解：练习：求向量练习：求向量 =(2,-1,1,3)的长度的长度.第三十张，PPT共四十六页，创作于2022年6月任意两个向量任意两个向量i与与j都正交都正交(ij)，称其两两正交，称其两两正交.定义定义5

26、.3.3 设设，是任意两个向量，若是任意两个向量，若(,)=0则称向量则称向量与与正交或垂直，记作正交或垂直，记作.显然，显然，零向量与任意向量正交零向量与任意向量正交.n维初始单位向量组：维初始单位向量组：定义定义5.3.4 若若n维向量组维向量组1，2，s中任意两个向量都正交，中任意两个向量都正交，且且jO，j=1,2,s.则称则称1，2，s是正交向量组是正交向量组.定义定义5.3.5 如果一个正交向量组又是单位向量组，则称其为如果一个正交向量组又是单位向量组，则称其为单位正单位正交向量组交向量组或或标准正交向量组标准正交向量组.标准正交向量组标准正交向量组1，2，s是标准正交向量组是标准

27、正交向量组由定义知：由定义知：3.正交向量组正交向量组第三十一张，PPT共四十六页，创作于2022年6月定理定理5.3.1 正交向量组必是线性无关的向量组正交向量组必是线性无关的向量组.若若1，2，s是正交向量组是正交向量组单位化单位化则则1，2，s是标准正交向量组是标准正交向量组.则则=0=0注注：线性无关组未必是正交向量组线性无关组未必是正交向量组.第三十二张，PPT共四十六页，创作于2022年6月施密特施密特(Schmidt)正交化方法正交化方法化线性无关组为正交向量组化线性无关组为正交向量组.施密特正交化方法施密特正交化方法:可以证明，可以证明，正交正交第三十三张，PPT共四十六页，创

28、作于2022年6月例例4解：解：=4=12=-32可进一步将可进一步将 1 1，2，3单位化，得到标准正交向量组单位化，得到标准正交向量组.第三十四张，PPT共四十六页，创作于2022年6月练习：练习：解：先正交化解：先正交化标准正交化标准正交化.=-1=1=3/2再单位化再单位化标标准准正正交交组组第三十五张，PPT共四十六页，创作于2022年6月二、二、正交矩阵正交矩阵正交矩阵正交矩阵的性质：的性质：定义定义5.3.6=AIAT=I(5)若若A是是n阶正交矩阵，阶正交矩阵，,是是n维列向量，则维列向量，则(A,A)=(,)=I=(,)第三十六张，PPT共四十六页，创作于2022年6月定理定

29、理5.3.3 设设 A为为 n 阶实方阵，阶实方阵，A 为正交矩阵的充分必要条件为正交矩阵的充分必要条件 是其列是其列(行行)向量组为标准正交向量组向量组为标准正交向量组.正交矩阵与标准正交向量组之间的关系：正交矩阵与标准正交向量组之间的关系：1 2 3两两正交，且长度为两两正交，且长度为1.第三十七张，PPT共四十六页，创作于2022年6月第四节第四节 实对称矩阵的相似标准形实对称矩阵的相似标准形一、一、实对称矩阵的特征值与特征向量的特殊性质实对称矩阵的特征值与特征向量的特殊性质定理定理5.4.1 n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A有有n个实特征值个实特征值,且其特征向量是实向量且其特征向量是实向

30、量.定理定理5.4.2 实对称矩阵实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量必正交的属于不同特征值的特征向量必正交.证：证：设设 1，2是是n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A的两个特征值，且的两个特征值，且 1 2.特征向量：特征向量：x1x2 Ax1=1x1 Ax2=2x2(x1 O,x2 O)(Ax1,x2)=因为因为(1x1,x2)=1(x1,x2)(1)(Ax1,x2)=(Ax1)T x2=x1T AT x2=x1T A x2=2 x1T x2=2(x1,x2)(2)由由(1)、(2)得：得：1(x1,x2)=2(x1,x2)(1-2)(x1,x2)=01 2(x1,x2)=0 x1,x2正交正

31、交.第三十八张，PPT共四十六页，创作于2022年6月定理定理5.4.3(对称矩阵基本定理对称矩阵基本定理)n 阶实对称矩阵阶实对称矩阵A个，必存在个，必存在n阶正交矩阵阶正交矩阵P，使得，使得 任一任一n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A必正交相似于对角形矩阵必正交相似于对角形矩阵.定义定义4.3.5 设设A，B为为n阶方阵，如果存在一个正交矩阵阶方阵，如果存在一个正交矩阵P，使得，使得P-1AP=B则称矩阵则称矩阵A与与B正交相似正交相似.PTAP=B若若A与与B正交相似，且正交相似，且A是对称矩阵，则是对称矩阵，则B也是对称矩阵也是对称矩阵.因因BT=(PTAP)T=PTATP=PTAP=B第三十九张，PPT共四十六页，创作于2022年6月感谢大家观看第四十六张，PPT共四十六页，创作于2022年6月