随机过程及其统计描述课件.ppt

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1、随机过程及其统计描述第1页，此课件共52页哦2关键词：随机过程 状态和状态空间 样本函数 有限维分布函数 均值函数 方差函数 自相关函数 自协方差函数 互相关函数 互协方差函数 正态过程 独立增量过程 泊松过程 维纳过程第十章随机过程及其统计描述第2页，此课件共52页哦 信号是个随时间、空间、或其它某个参量变化的，携带某种信息的物理量。通常遇到最多的是时间信号，是随时间变化的物理量。因此，人们用统计学方法建立随机信号的数学模型因此，人们用统计学方法建立随机信号的数学模型随机过程。随机过程。第3页，此课件共52页哦 下面由一个试验实例来建立随机过程的概念。下面由一个试验实例来建立随机过程的概念。

2、举例：举例：在相同条件下，对同一雷达接收机的内部噪声电压（或电流）经在相同条件下，对同一雷达接收机的内部噪声电压（或电流）经过大量的重复测试后，设观测到的所有的可能结果有过大量的重复测试后，设观测到的所有的可能结果有m种，记录下种，记录下m个个不相同的波形。不相同的波形。S第4页，此课件共52页哦定义：这里对每一个tT,X(t)是一随机变量.T叫做参数集.常把t看作为时间,称X(t)为时刻t时过程的状态,而X(t1)=x(实数)说成是t=t1时过程处于状态x,对于一切tT,X(t)所有可能取的一切值的全体称为随机过程的状态空间.第5页，此课件共52页哦t固定，固定，变化：变化：X(ti,)随机

3、变量（状态）。随机变量（状态）。t固定，固定，固定：固定：X(ti,k)一个确定的值。一个确定的值。t变化，变化，固定固定：X(t,k)确定的时间函数确定的时间函数(随机过程的样本函数）随机过程的样本函数）t变化，变化，变化：变化：X(t,)随机过程（一族时间函数的总体，随机过程（一族时间函数的总体，或随时间变化的随机变量）或随时间变化的随机变量）下标下标i和和k，分别表示确定的某个时刻，分别表示确定的某个时刻i和确定的某个样本和确定的某个样本k。对随机过程而言：一般，随机变量写成一般，随机变量写成:X,Y,Z。随机过程写成。随机过程写成:X(t),Y(t),Z(t)样本函数写成样本函数写成:

4、x(t),y(t),z(t)或或X1(t)Xn(t)第6页，此课件共52页哦7 例1：抛掷一枚硬币的试验，样本空间是S=H,T，现定义：1234第7页，此课件共52页哦8 第8页，此课件共52页哦9 第9页，此课件共52页哦10 第10页，此课件共52页哦 例5：考虑抛掷一颗骰子的试验：第11页，此课件共52页哦12随机过程的分类：随机过程的分类：随机过程可根据参数集T和任一时刻的状态分为四类，参数集T可分为离散集和连续集两种情况，任一时刻的状态分别为离散型随机变量和连续型随机变量两种：1.连续参数连续型的随机过程，如例2，例32.连续参数离散型的随机过程，如例1，例43.离散参数离散型的随机

5、过程，如例54.离散参数连续型的随机过程，第12页，此课件共52页哦132 随机过程的统计描述一维分布函数族刻画了随机过程在各个个别时刻的统计特性。一维分布函数族刻画了随机过程在各个个别时刻的统计特性。第13页，此课件共52页哦科尔莫戈罗夫定理：为了描述随机过程在不同时刻状态之间的统计联系为了描述随机过程在不同时刻状态之间的统计联系,第14页，此课件共52页哦15 例1：抛掷一枚硬币的试验，定义一随机过程：第15页，此课件共52页哦16 第16页，此课件共52页哦 随机过程的数字特征随机过程的数字特征 一、数学期望一、数学期望 如果将过程如果将过程X(t)中的中的 t 看成是固定的，则看成是固

6、定的，则 X(t)就是一个随机变量，它随机就是一个随机变量，它随机的取值的取值x，其在，其在 t 时刻取时刻取x值的概率密度为值的概率密度为 。据期望的定义：据期望的定义：mX(t)描述了描述了X(t)所有样本函数在各个时刻摆动的中心即所有样本函数在各个时刻摆动的中心即X(t)在在各个时刻的状态各个时刻的状态(随机变量随机变量)的数学期望。的数学期望。第17页，此课件共52页哦 二、随机过程二、随机过程X(t)的均方值和方差的均方值和方差 同理，把过程同理，把过程X(t)中的中的t视为固定时，视为固定时，X(t)为时刻为时刻t的状态（随机变量）。的状态（随机变量）。其二阶原点矩：其二阶原点矩：

7、将将t视为变量时，即为过程视为变量时，即为过程X(t)的均方值。的均方值。同理，过程同理，过程X(t)的方差：的方差：过程过程X(t)的均方差：的均方差：第18页，此课件共52页哦故离散型随机过程故离散型随机过程Y(t)的数学期望为：的数学期望为：对离散型随机过程对离散型随机过程Y(t),tT.若所有状态取值的样本空间为若所有状态取值的样本空间为 Sy1,y2,ym。均方值为：均方值为：方差为：方差为：表示状态表示状态Y(t)取取t时刻值为时刻值为yi的概率。的概率。第19页，此课件共52页哦三、随机过程的自相关函数三、随机过程的自相关函数 下面两个随机过程下面两个随机过程 X(t)，Y(t)

8、它们的期望和方差都相同，它们的期望和方差都相同，mx(t)=mY(t)，x(t)=Y(t)。但从样本函数看有明显不同。但从样本函数看有明显不同。x(t)随时间变化随时间变化慢，不同时刻的两个状态慢，不同时刻的两个状态X(t1),X(t2)之间的依赖性强（相关性强）。之间的依赖性强（相关性强）。y(t)随时间变化快，不同时刻的两个状态随时间变化快，不同时刻的两个状态Y(t1),Y(t2)之间的依赖性弱（相关性弱）之间的依赖性弱（相关性弱）。因此期望和方差不能反应过程内部变化快慢、相关性强弱的状况。因此期望和方差不能反应过程内部变化快慢、相关性强弱的状况。第20页，此课件共52页哦一般用来描述随机

9、过程一般用来描述随机过程“任意两个时刻的两个状态之间内在联系任意两个时刻的两个状态之间内在联系”的重要数的重要数字特征字特征 自相关函数定义为：自相关函数定义为：它反应了任意两个时刻的状态它反应了任意两个时刻的状态X(t1)与与X(t2)之间的之间的“相关程度相关程度”。状态状态X(t1)与与X(t2)之间的相关程度也可以用自协方差函数来描述：之间的相关程度也可以用自协方差函数来描述：第21页，此课件共52页哦随机过程的自相关系数定义为：随机过程的自相关系数定义为：注：随机过程的期望、方差、自相关函数、协方差函数、自相关系注：随机过程的期望、方差、自相关函数、协方差函数、自相关系数等存在的条件

10、是：数等存在的条件是：以后，所有例题都满足上述两个条件，不必再去验证第22页，此课件共52页哦23第23页，此课件共52页哦24 第24页，此课件共52页哦25 第25页，此课件共52页哦26求它的均值函数和自相关函数。第26页，此课件共52页哦27(三三)二维随机过程的分布函数和数字特征二维随机过程的分布函数和数字特征第27页，此课件共52页哦28第28页，此课件共52页哦29 第29页，此课件共52页哦303 泊松过程及维纳过程第30页，此课件共52页哦31 独立增量过程的性质：第31页，此课件共52页哦32综上可得综上可得:第32页，此课件共52页哦第33页，此课件共52页哦(1)(1)

11、第34页，此课件共52页哦第35页，此课件共52页哦第36页，此课件共52页哦第37页，此课件共52页哦（4）协方差函数第38页，此课件共52页哦第39页，此课件共52页哦40若N(t)是强度为的泊松流，则增量的概率分布为：特别地，当t0=0时：第40页，此课件共52页哦如果强度l非均匀,即l是时间的函数l=l(t),t 0.则称泊松过程为非齐次的.对于非齐次泊松过程,用类似的方法,可得第41页，此课件共52页哦42第42页，此课件共52页哦等待时间及其概率分布等待时间及其概率分布 在较多的实际问题中,通常对质点的观察,不是对时间间隔(t1,t2中出现的质点计数,而是对记录到某一预定数量的质点

12、所需要的时间进行计时.例如,为研究含某种放射性元素的物质,常对它发射出来的粒子作计时试验.一般,设质点(或事件)依次重复出现的时刻t1,t2,.,tn,.是一强度为l的泊松流,N(t),t0为相应的泊松过程.第43页，此课件共52页哦以惯用记号记W0=0,Wn=tn,n=1,2,.Wn是一随机变量,表示第n个质点(或事件第n次)出现的等待时间.如下图所示.T1T2TkOW1W2Wk-1Wkt第44页，此课件共52页哦45第45页，此课件共52页哦点间间距及其概率分布 记Ti=Wi-Wi-1,i=1,2,.它也是一个连续型随机变量,称为相继出现的第i-1个质点和第i个质点的点间间距.第46页，此

13、课件共52页哦47点间间距及其概率分布 记Ti=Wi-Wi-1,i=1,2,.它也是一个连续型随机变量,称为相继出现的第i-1个质点和第i个质点的点间间距.第47页，此课件共52页哦48 定理一：强度为的泊松流(泊松过程)的点间间距是相互独立的随 机变量，且服从同一指数分布 定理二：如果任意相继出现的两个质点的点间间距是相互独立，且服从同一个指数分布：这两个定理刻画出了泊松过程的特征，定理二告诉我们，要确定一个计数过程是不是泊松过程，只要用统计方法检验点间间距是否独立，且服从同一个指数分布。则质点流构成强度为的泊松过程第48页，此课件共52页哦49(二)维纳过程维纳过程维纳过程是布朗运动的数学模型 以W(t)表示运动中一微粒从时刻t=0到时刻t0的位移的横坐标，且设W(0)=0。由于微粒的运动是受到大量随机的、相互独立的分子碰撞的结果，于是:(1)粒子在时段(s,t上的位移可看作是许多微小位移的 和，根据中心极限定理，假设位移W(t)-W(s)服从正态分布是合理的。(2)由于粒子的运动完全由液体分子不规则碰撞而引起的，这样，在不相重叠的时间间隔内，碰撞的次数、大小和方向可假设相互独立，即W(t)具有独立增量，同时W(t)的增量具有平稳性。第49页，此课件共52页哦50第50页，此课件共52页哦51第51页，此课件共52页哦52第52页，此课件共52页哦