全概率公式和贝叶斯公式.pptx

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1、1.5.1 1.5.1 全概率公式引例：有三个罐子,1号装有 2 红 1 黑球,2号装有 3 红 1 黑球，3号装有 2 红 2 黑球.某人从中随机取一罐，在从中任意取出一球，求取得红球的概率.213如何求取得红球的概率？第1章 概率论基础第1页/共22页 定理1.2 设试验E的样本空间为 ,A1,A2,An为E的一组事件，且满足：(1)A1,A2,An两两互不相容，i=1,2,n；(2)则对任一事件B，有 (1.7)(1.7)称为全概率公式称满足(1)和(2)的A1，A2，An为完备事件组或样本空间的一个划分1.5.1 全概率公式第2页/共22页证明：因为由于A1，A2，An两两互不相容，由

2、有限可加性由假设及乘法公式得到 利用全概率公式求事件B的概率，关键是寻求完备事件组A1，A2，An;寻求完备事件组A1，A2，An相当于找导致事件B发生的所有互不相容的事件1.5.1 全概率公式第3页/共22页 有三个罐子,1号装有 2 红 1 黑球,2号装有 3 红 1 黑球，3号装有 2 红 2 黑球.某人从中随机取一罐，再 从 中 任 意 取 出 一 球，求 取 得 红 球 的 概 率.解 记 Ai=取到的是 i 号罐 i=1,2,3;B=取得红球 A1,A2,A3 的发生都会导致B 发生，A1,A2,A3构成完备事件组代入数据计算得：P(B)0.639.123再看引例再看引例 依题意:

3、P(B|A1)=2/3,P(B|A2)=3/4,P(B|A3)=1/2,P(Ai)=1/3,i=1,2,31.5.1 全概率公式第4页/共22页【例1.15】假设有3箱同种型号零件，里面分别装有50件、30件、40件，而且一等品分别有20件、12件和24件，现在任取一箱，从中不放回地先后取出两个零件，试求:(1)先取出的零件是一等品的概率；(2)两次取出的零件均为一等品的概率 解:设Ai=“任取的一箱为第i箱零件”，i=1,2,3，Bj=“第j次取到的是一等品”，j=1，2 由题意知 A1、A2和A3构成完备事件组，且1.5.1 全概率公式第5页/共22页 (1)由全概率公式得 1.5.1 全

4、概率公式第6页/共22页 (2)因为由全概率公式得1.5.1 全概率公式第7页/共22页引例：某人从任一罐中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自 1号罐的概率.213这是“已知结果求原因”的问题是求一个条件概率.下面就介绍为解决这类问题而引出的公式：Bayes(贝叶斯)公式1.5.1 全概率公式第8页/共22页 1.5.2 1.5.2 贝叶斯公式定理1.3 设试验E的样本空间为 ，B为E的事件，A1，A2，An为完备事件组，且P(B)0，P(Ai)0，i=1，2，n，则 (1.8)(1.8)式称为贝叶斯公式 1.5 全概率公式和贝叶斯公式第9页/共22页证明证明该公式于1763年由贝叶斯(B

5、ayes)给出.它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.由由条件概率公式条件概率公式、乘法公式乘法公式及及全全概率公式概率公式知：知：1.5.2 贝叶斯公式第10页/共22页某人从任一罐中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自 1号罐的概率.再看引例再看引例 解 记 i=取到第 i 号罐 i=1,2,3;=取得红球 1,2,3是完备事件组代入数据计算得：213其中P(|1)=2/3,P(|2)=3/4,P(|3)=1/2,P(i)=1/3,i=1,2,31.5.2 贝叶斯公式第11页/共22页特别有：设事件A、B为试验E的两事件，由于A和是一个完备事件组，若P(A)0

6、，P(B)0，贝叶斯公式的一种常用简单形式为1.5.2 贝叶斯公式第12页/共22页【例1.16】玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别是0.8，0.1和0.1，某顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随即取出一箱，顾客开箱随机地查看四只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回，试求：(1)顾客买下该箱的概率；(2)在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率 1.5.2 贝叶斯公式第13页/共22页 解：设B=“顾客买下该箱玻璃杯”，Ai=“抽到的一箱中有i件残次品”，i=0,1,2(1)事件B在下面三种情况下均会发生：抽到的一箱中没有残次品、有1件残次品或有2件次品。

7、显然A0，A1，A2是完备事件组由题意知由全概率公式得1.5.2 贝叶斯公式第14页/共22页 (2)由贝叶斯公式1.5.2 贝叶斯公式第15页/共22页 【例1.17】根据以往的记录，某种诊断肝炎的试验有如下效果：对肝炎病人的试验呈阳性的概率为0.95；非肝炎病人的试验呈阴性的概率为0.95对自然人群进行普查的结果为：有千分之五的人患有肝炎现有某人做此试验结果为阳性，问此人确有肝炎的概率为多少？1.5.2 贝叶斯公式第16页/共22页解:设A=“某人确有肝炎”，B=“某人做此试验结果为阳性”；由已知条件有从而由贝叶斯公式，有1.5.2 贝叶斯公式第17页/共22页本题的结果表明，虽然 这两个

8、概率都很高但是，即试验阳性的人有肝炎的概率只有8.7%如果不注意这一点，将 和 搞混，将会得出错误诊断，造成不良的后果 1.5.2 贝叶斯公式第18页/共22页 在贝叶斯公式中，事件Ai的概率P(Ai)，i=1，2，n，通常是人们在试验之前对Ai的认知，习惯上称其为先验概率若试验后事件B发生了，在这种信息下考察Ai的概率 它反映了导致B发生的各种原因的可能性大小，常称为后验概率1.5.2 贝叶斯公式第19页/共22页 贝叶斯公式是英国哲学家Bayes于1763首先提出的，经过多年的发展和完善，由这一公式的思想已经发展成为一整套统计推断方法，即“Bayes方法”，这一方法在计算机诊断、模式识别、基因组成、蛋白质结构等很多方面都有应用Thomas BayesBorn:1702 in London,EnglandDied:17 Apr.1761 in Tunbridge Wells,Kent,England1.5.2 贝叶斯公式第20页/共22页作 业P28:14 15 19P28:14 15 19第21页/共22页感谢您的观赏第22页/共22页