连续型随机变量讲稿.ppt

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1、关于连续型随机变量第一页，讲稿共四十一页哦定义定义2.3.1退 出前一页后一页目 录则称则称 X为连续型随机变量为连续型随机变量,称称 f(x)为为 X 的的概率密度概率密度.使得对任意实数使得对任意实数x,有有设设F(x)是随机变量是随机变量 X的分布函数的分布函数,若存在非负函数若存在非负函数 f(x),第二页，讲稿共四十一页哦引例引例1 1：一个靶子是半径为：一个靶子是半径为2 2米的圆盘，设击中靶上任一同心米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘的概率与该圆盘的面积成正比，射击均能中靶，用圆盘的概率与该圆盘的面积成正比，射击均能中靶，用X 表表示弹着点与圆心的距离。试求示弹着点与圆心的距离。试

2、求X 的分布函数。的分布函数。解：由第一节可知，解：由第一节可知，X 的分布函数为的分布函数为Xx =.2,1;20,4;0,0)(2xxxxxF考虑函数考虑函数 f(x)=x/2,0 x 2;0,其它其它退 出前一页后一页目 录第三页，讲稿共四十一页哦f(x)的变上限积分为的变上限积分为x1O2=)(xFF(x)1x1O2f(x)1退 出前一页后一页目 录第四页，讲稿共四十一页哦退 出前一页后一页目 录概率密度所对应的平面曲线称为随机变量概率密度所对应的平面曲线称为随机变量X的概率曲的概率曲线，线，Oxf(x)x分布函数值分布函数值F(x)是概率曲线下从是概率曲线下从 到到x的一块面积。的一

3、块面积。第五页，讲稿共四十一页哦验证性质验证性质1和性质和性质2是判断一个函数是否为概率是判断一个函数是否为概率密度的方法。密度的方法。1.2.Of(x)x1退 出前一页后一页目 录概率密度的性质概率密度的性质：第六页，讲稿共四十一页哦退 出前一页后一页目 录例例1：（密度函数的判定）（密度函数的判定）验证验证 是概率密度函数是概率密度函数.解：对任意实数解：对任意实数t，f(t)非负，又非负，又则则 f(t)是连续型随机变量的概率密度是连续型随机变量的概率密度.第七页，讲稿共四十一页哦退 出前一页后一页目 录例例2：设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为求（求（1）系数）系数A;（2

4、）X的分布函数的分布函数.解：参参 数数 的的 确确 定定第八页，讲稿共四十一页哦所求分布函数为退 出前一页后一页目 录由密度函数求分布函数由密度函数求分布函数第九页，讲稿共四十一页哦退 出前一页后一页目 录f(x)Oxx1x23.4.第十页，讲稿共四十一页哦由性质4在f(x)的连续点x处有 看出概率密度的定义与物理学中的线密度的定义看出概率密度的定义与物理学中的线密度的定义相类似相类似,这就是为什么称这就是为什么称f(x)为概率密度的原为概率密度的原因因.退 出前一页后一页目 录第十一页，讲稿共四十一页哦退 出前一页后一页目 录5.连续型随机变量的分布函数连续型随机变量的分布函数F(x)是一

5、个在是一个在 上上的连续函数的连续函数.离散型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数F(x)是右连续的是右连续的连续型随机变量的分布函数连续型随机变量的分布函数F(x)在整个数轴上在整个数轴上连续的连续的第十二页，讲稿共四十一页哦退 出前一页后一页目 录6.注：注：1）设设X为连续型随机变量，则对任一指定实数为连续型随机变量，则对任一指定实数 ，有，有2）连续型随机变量连续型随机变量X取任意数值的概率均为取任意数值的概率均为0.概率为概率为0的事件的事件不一定不一定是不可能事件，是不可能事件，概率为概率为1的事件的事件不一定不一定是必然事件是必然事件.第十三页，讲稿共四十一页哦概率密度的性

6、质概率密度的性质：1.2.3.4.5.连续型随机变量的分布函数连续型随机变量的分布函数F(x)是一个在是一个在 上上的连续函数的连续函数.6.设设X为连续型随机变量，则对任一指定实数为连续型随机变量，则对任一指定实数 ，有，有退 出前一页后一页目 录第十四页，讲稿共四十一页哦退 出前一页后一页目 录例例3：设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为求（求（1）P-1X1;（2）PX=2解：(2)因为因为X是连续型随机变量，所以是连续型随机变量，所以概概 率率 的的 计计 算算第十五页，讲稿共四十一页哦例例4 4退 出前一页后一页目 录由分布函数求密度函数由分布函数求密度函数第十六页，讲稿共

7、四十一页哦退 出前一页后一页目 录例例5：从一批子弹中任意抽出从一批子弹中任意抽出5发试射，如果没有一发子发试射，如果没有一发子弹落在靶心弹落在靶心2cm以外，则整批子弹将被接受以外，则整批子弹将被接受.设弹着设弹着点与靶心的距离点与靶心的距离X(cm)的概率密度为的概率密度为求（求（1）系数）系数A;（2）该批子弹被接受的概率）该批子弹被接受的概率.解：第十七页，讲稿共四十一页哦所以，该批子弹被接受的概率为设 表示第i发子弹合格的事件，则 相互独立，且 退 出前一页后一页目 录第十八页，讲稿共四十一页哦几种连续型分布几种连续型分布退 出前一页后一页目 录1.均匀分布均匀分布设连续型随机变量X

8、具有概率密度则称X在区间(a,b)上服从均匀分布均匀分布,记为 XU(a,b).第十九页，讲稿共四十一页哦均匀分布的密度函数f(x)的图形af(x)bOx退 出前一页后一页目 录均匀分布均匀分布常用来描述在某个区间内随机取值，常用来描述在某个区间内随机取值，在某段时间内随机到达，误差分布等。在某段时间内随机到达，误差分布等。第二十页，讲稿共四十一页哦若随机变量XU(a,b),则它落在(a,b)中任意子区间内的概率只依赖于子区间的长度依赖于子区间的长度，而与子区间的位置无关与子区间的位置无关.任给长度为l的子区间(c,c+l),ac0,有 PXt+s|X t=PX s，事实上指数分布常用来描述处

9、于稳定工作状态的元件寿命.退 出前一页目 录指数分布的特点指数分布的特点：无后效性（无记忆性）后一页第二十七页，讲稿共四十一页哦3.3.正态分布正态分布(GAUSS 分布分布)设随机变量设随机变量X 的概率密度函数为的概率密度函数为其中其中m m,s s (s s 0)0)是常数，是常数，Rxj j(x;m m,s s2 2 )=,e(x m m)-2 s s2 2221p ps s则称随机变量则称随机变量X 服从参数为服从参数为m m，s s2 的的正态分布正态分布(或高斯分布或高斯分布)，记为，记为X N(m m,s s2 )。特别地特别地,当当m m=0,0,s s=1=1时时,其概率密

10、度函数为其概率密度函数为Rx ,j j(x )=j j(x;0,1)=e x-2 221p p则称随机变量则称随机变量X 服从服从标准正态分布标准正态分布,即即X N(0,1)退 出前一页后一页目 录第二十八页，讲稿共四十一页哦1)正态分布概率密度曲线的特征正态分布概率密度曲线的特征(1)(1)j j(x;m m,s s2 2 )dx=1即概率曲线下总面积为即概率曲线下总面积为1。(2)(2)曲线关于直线曲线关于直线x=m m 对称对称,即对任意实数即对任意实数x 有有 j j(m m-x;m m,s s2 2 )=j j(m m+x;m m,s s2 2 )曲线下直线两侧的面积各为曲线下直线

11、两侧的面积各为1/2，并且，并且 P m m x X m m =P m m X m m+x)退 出前一页后一页目 录第二十九页，讲稿共四十一页哦(3)(3)曲线在曲线在x=m m 处取得最大值处取得最大值 ,固定固定m m,s s2 2 越大，曲线越趋于平坦。越大，曲线越趋于平坦。21p ps s退 出前一页后一页目 录第三十页，讲稿共四十一页哦2)正态分布概率的计算正态分布概率的计算 若随机变量若随机变量X N(m m,s s2 )，其分布函数为，其分布函数为RxF F(x;m m,s s2 2 )=,e(x m m)-2 s s2 2221p ps s x dx 若随机变量若随机变量X 标

12、准正态分布，其分布函数为标准正态分布，其分布函数为RxF F(x )=,ex-2221p p x dx 由于由于F F(x )不能解析求出，为方便计算，人们编制了不能解析求出，为方便计算，人们编制了标标准正态分布表准正态分布表(见见P289的附表的附表2)。由。由F F(x )的对称性，有的对称性，有 F F(-x )=1-F F(x )，故仅给出故仅给出x0的值。的值。退 出前一页后一页目 录第三十一页，讲稿共四十一页哦（1）若随机变量若随机变量X N(0，1)，则，则P a X a =1 1-F F(a )P X b =F F(b )F F (-x)=1-F F (x )第三十二页，讲稿共

13、四十一页哦 若随机变量若随机变量X N(0，1)，则，则P a X b =F F(b )-F F(a )（2）若随机变量若随机变量X N(m m，s s2 2)，则，则P x1 X x2 =F F ()-F F()x2 m ms sx1 m ms s证明：证明：e(t m m)-2 s s2 22F F(x;m m,s s2 2 )=21p ps s x dtey-2 221p pdy x m ms st m ms sy=dt=s s d yF F()x m ms s=退 出前一页后一页目 录第三十三页，讲稿共四十一页哦退 出前一页后一页目 录（2）若随机变量若随机变量X N(m m，s s2

14、 2)，则，则第三十四页，讲稿共四十一页哦例例8 8：已知随机变量：已知随机变量X N(m m,s s 2 2 )，证明，证明 P|X-m m|x =P m m-x X m m+x =xs s2 2F F()-1P m m-x X m m+x 证明证明:=m m-x m ms sF F()m m+x m ms sF F()-=-xs sF F()x s sF F()-=x s sF F()-xs sF F()1-1-=x s sF F()2 -12 -1退 出前一页后一页目 录第三十五页，讲稿共四十一页哦 特别地，有特别地，有 P|X-m m|s s =2F F(1)-1(1)-1=0.682

15、6 P|X-m m|2s s =2F F(2)-1(2)-1=0.9544 P|X-m m|3s s =2F F(3)-1(3)-1=0.9974这说明这说明X 以很大的概率密集在以很大的概率密集在 x=m m 的附近。的附近。退 出前一页后一页目 录第三十六页，讲稿共四十一页哦例例9:公共汽车的车门是按男子与车门碰头的机会在公共汽车的车门是按男子与车门碰头的机会在0.01以下以下来设计来设计的的.设男子身高设男子身高X服从参数为服从参数为=172cm =6 的正态的正态分布分布.即即XN(172,36).问车门的高度该如何设计问车门的高度该如何设计.解：设车门的高度为解：设车门的高度为h c

16、m.按设计要求按设计要求P X h 0.01 或者或者 PX0.99故故(h-172)/6=2.33 即即h=172+6*2.33=186cm 故设计车门高度为故设计车门高度为186cm时时,可使男子与车门顶碰头的可使男子与车门顶碰头的机会不大于机会不大于0.01退 出前一页后一页目 录第三十七页，讲稿共四十一页哦例例1010：设：设X N(10,22 2 )，求，求a a 使使 P|X-10|a a =0.9P|X 10|335 =1-P X 335 解解:=335-300335-300 3535F F()1-1-=1-0.8413=0.1587 1-0.8413=0.1587=F F(1)1-1-退 出前一页后一页目 录第四十一页，讲稿共四十一页哦