初等变换与标准型.pptx

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1、 本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念,并提出求秩的有效方 法再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程组有非零解的充分必要条件和非齐次线性方程组有解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法内容丰富，难度较大.第1页/共23页引例引例一、消元法解线性方程组一、消元法解线性方程组求解线性方程组分析：用消元法解下列方程组的过程第2页/共23页解解第3页/共23页用“回代”的方法求出解：第4页/共23页于是解得（2）第5页/共23页小结：小结：1上述解方程组的方法称为消元法 2始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换（1）交换方程次序；（2）以不等于的数乘某个方程；（3）一个方程加

2、上另一个方程的k倍（与相互替换）（以替换）（以替换）第6页/共23页3上述三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换第7页/共23页因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算若记则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组（1）的增广矩阵）的变换第8页/共23页定义定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换:二、矩阵的初等变换第9页/共23页定义定义2 矩阵的矩阵的初等列变换初等列变换与与初等行变换初等行变换统称统称为为初等变换初等变换 初等变换的逆变换仍为初等变换,

3、且变换类型相同 同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)逆变换逆变换逆变换第10页/共23页等价关系的性质：具有上述三条性质的关系称为等价例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价第11页/共23页用矩阵的初等行变换 解方程组（1）：第12页/共23页第13页/共23页第14页/共23页第15页/共23页特点：特点：（1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；（2）、每个台阶 只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元第16页/共23页注意：注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形第17页/共23页例如，第18页/共23页特点：所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形 是这个等价类中最简单的矩阵.标准形和等价类的特殊情况可逆矩阵.第19页/共23页三、小结1.1.初等行初等行(列列)变换变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同3.3.矩阵等价具有的性质矩阵等价具有的性质2.2.初等变换第20页/共23页感谢您的观看！第23页/共23页