最佳接收通信原理 樊昌信.pptx

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1、1数字通信系统信源译码信源信源编码加密信道调制信道编码解调解密信道译码信宿数字频带传输系统数字基带传输系统Ch9Ch9Ch11Ch11Ch7、Ch10Ch6数字传输系统模数变换数模变换数字基带处理数字基带处理第1页/共64页2第10章 数字信号最佳接收10.1数字信号的统计特性以二进制为例研究接收电压的统计特性。假设：通信系统中的噪声是均值为0的带限高斯白噪声，其单边功率谱密度为n0；并设发送的二进制码元为“0”和“1”，其发送概率分别为P(0)和P(1)，则有P(0)+P(1)=1若此通信系统的基带截止频率小于fH，则根据低通信号抽样定理，接收噪声电压可以用其抽样值表示，抽样速率要求不小于其

2、奈奎斯特速率2fH抽样间隔为1/2fH。设在一个码元持续时间Ts内以2fH的速率抽样，共得到k个抽样值：，则有k Ts/（1/2fH）=2fH Ts。第2页/共64页3第10章 数字信号最佳接收由于每个噪声电压抽样值都是正态分布的随机变量，故其一维概率密度可以写为式中，n 噪声的标准偏差；n2 噪声的方差，即噪声平均功率；i 1，2，k。设接收噪声电压n(t)的k个抽样值的k维联合概率密度函数为 第3页/共64页4第10章 数字信号最佳接收由高斯噪声的性质可知，高斯噪声的概率分布通过带限线性系统后仍为高斯分布。所以，带限高斯白噪声按奈奎斯特速率抽样得到的抽样值之间是互不相关、互相独立的。这样，

3、此k 维联合概率密度函数可以表示为当k 很大时，在一个码元持续时间Ts内接收的噪声平均功率可以表示为：或者将上式左端的求和式写成积分式，则上式变成第4页/共64页5第10章 数字信号最佳接收利用上式关系，并注意到 式中 n0 噪声单边功率谱密度则前式的联合概率密度函数可以改写为：式中 n=(n1,n2,nk)k 维矢量，表示一个码元内噪声的k个抽样值。需要注意，f(n)不是时间函数，虽然式中有时间函数n(t)，但是后者在定积分内，积分后已经与时间变量t无关。n是一个k维矢量，它可以看作是k 维空间中的一个点。第5页/共64页6第10章 数字信号最佳接收在码元持续时间Ts、噪声单边功率谱密度n0

4、和抽样数k（它和系统带宽有关）给定后，f(n)仅决定于该码元期间内噪声的能量：由于噪声的随机性，每个码元持续时间内噪声的波形和能量都是不同的，这就使被传输的码元中有一些会发生错误，而另一些则无错。第6页/共64页7第10章 数字信号最佳接收设接收电压r(t)为信号电压s(t)和噪声电压n(t)之和:r(t)=s(t)+n(t)则在发送码元确定之后，接收电压r(t)的随机性将完全由噪声决定，故它仍服从高斯分布，其方差仍为 n2，但是均值变为s(t)。所以，当发送码元“0”的信号波形为s0(t)时，接收电压r(t)的k维联合概率密度函数为式中 r=s+n k 维矢量，表示一个码元内接收电压的k个抽

5、 样值；s k 维矢量，表示一个码元内信号电压的k个抽样值。第7页/共64页8第10章 数字信号最佳接收同理，当发送码元“1“的信号波形为s1(t)时，接收电压r(t)的k维联合概率密度函数为顺便指出，若通信系统传输的是M 进制码元，即可能发送s1，s2，si，sM之一，则按上述原理不难写出当发送码元是si时，接收电压的k 维联合概率密度函数为 仍需记住，以上三式中的k 维联合概率密度函数不是时间t的函数，并且是一个标量，而r 仍是k维空间中的一个点，是一个矢量。第8页/共64页9第10章 数字信号最佳接收10.2 数字信号的最佳接收“最佳”的准则：错误概率最小产生错误的原因：暂不考虑信道失真

6、的影响，主要讨论在二进制数字通信系统中如何使噪声引起的错误概率最小。判决规则设在一个二进制通信系统中发送码元“1”的概率为P(1)，发送码元“0”的概率为P(0)，则总误码率Pe等于式中Pe1=P(0/1)发送“1”时，收到“0”的条件概率；Pe0=P(1/0)发送“0”时，收到“1”的条件概率；上面这两个条件概率称为错误转移概率。第9页/共64页10第10章 数字信号最佳接收按照上述分析，接收端收到的每个码元持续时间内的电压可以用一个k 维矢量(一个码元中抽的k个样)表示。接收设备需要对每个接收矢量作判决，判定它是发送码元“0”，还是“1”。由接收矢量决定的两个联合概率密度函数f0(r)和f

7、1(r)的曲线画在下图中（在图中把r 当作1维矢量画出。）：可以将此空间划分为两个区域A0和A1，其边界是r0，并将判决规则规定为：若接收矢量落在区域A0内，则判为发送码元是“0”；若接收矢量落在区域A1内，则判为发送码元是“1”。A0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)第10页/共64页11第10章 数字信号最佳接收显然，区域A0和区域A1是两个互不相容的区域。当这两个区域的边界r0 确定后，错误概率也随之确定了。这样，总误码率可以写为式中，P(A0/1)表示发送“1”时，矢量r落在区域A0的条件概率 P(A1/0)表示发送“0”时，矢量r落在区域A1的条件概率这两个

8、条件概率可以写为：这两个概率在图中分别由两块阴影面积表示。A0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)第11页/共64页12第10章 数字信号最佳接收将上两式代入得到参考上图可知，上式可以写为上式表示Pe是r0 的函数。为了求出使Pe最小的判决分界点r0，将上式对r0 求导 并令导函数等于0，求出最佳分界点r0的条件：A0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)第12页/共64页13第10章 数字信号最佳接收即当先验概率相等时，即P(1)=P(0)时，f0(r0)=f1(r0)，所以最佳分界点位于图中两条曲线交点处的r 值上。在判决边界确定之后，按照接收

9、矢量r 落在区域A0应判为收到的是“0”的判决准则，这时有：若 则判为“0”；反之，若则判为“1”。在发送“0”和发送“1”的先验概率相等时，上两式的条件简化为：A0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)若f0(r)f1(r)，则判为“0”若f0(r)f1(r)，则判为“1”似然比准则第13页/共64页14第10章 数字信号最佳接收这个判决准则常称为最大似然准则。按照这个准则判决就可以得到理论上最佳的误码率，即达到理论上的误码率最小值。以上对于二进制最佳接收准则的分析，可以推广到多进制信号的场合。设在一个M 进制数字通信系统中，可能的发送码元是s1，s2，si，sM之一，

10、它们的先验概率相等，能量相等。当发送码元是si时，接收电压的k 维联合概率密度函数为于是，若 则判为si(t)，其中，第14页/共64页15第10章 数字信号最佳接收10.3 确知数字信号的最佳接收机确知信号：指其取值在任何时间都是确定的、可以预知的信号。判决准则当发送码元为“0”，波形为so(t)时，接收电压的概率密度为当发送码元为“1”，波形为s1(t)时，接收电压的概率密度为且两码元能量相等E因此，将上两式代入判决准则式，经过简化，得到：第15页/共64页16第10章 数字信号最佳接收若则判为发送码元是s0(t)；若 则判为发送码元是s1(t)。将上两式的两端分别取对数，得到若 则判为发

11、送码元是s0(t)；反之则判为发送码元是s1(t)。由于已经假设两个码元的能量相同，即所以上式还可以进一步简化。第16页/共64页17第10章 数字信号最佳接收 若式中则判为发送码元是s0(t)；反之，则判为发送码元是s1(t)。W0和W1可以看作是由先验概率决定的加权因子。最佳相干接收机按照上式画出的最佳接收机原理方框图如下：第17页/共64页18第10章 数字信号最佳接收W1r(t)S1(t)S0(t)W0t=Ts比较判决积分器积分器第18页/共64页19r(t)S0(t)S1(t)积分器积分器比较判决t=Ts第10章 数字信号最佳接收若此二进制信号的先验概率相等，则上式简化为最佳接相干收

12、机的原理方框图也可以简化成 第19页/共64页20第10章 数字信号最佳接收由上述讨论不难推出M 进制通信系统的最佳接收机结构 上面的最佳接收机的核心是由相乘和积分构成的相关运算，所以常称这种算法为相关接收法。由最佳接收机得到的误码率是理论上可能达到的最小值。积分器r(t)SM(t)S0(t)S1(t)比较判决积分器积分器第20页/共64页21第10章 数字信号最佳接收10.4 确知数字信号最佳接收的误码率总误码率在最佳接收机中，若 则判为发送码元是s0(t)。因此，在发送码元为s1(t)时，若上式成立，则将发生错误判决。所以若将r(t)=s1(t)+n(t)代入上式，则上式成立的概率就是在发

13、送码元“1”的条件下收到“0”的概率，即发生错误的条件概率P(0/1)。此条件概率的计算结果如下 第21页/共64页22第10章 数字信号最佳接收式中同理，可以求出发送s0(t)时，判决为收到s1(t)的条件错误概率式中第22页/共64页23第10章 数字信号最佳接收因此，总误码率为先验概率对误码率的影响当先验概率P(0)=0及P(1)=1时，a=-及b=，因此由上式计算出总误码率Pe=0。在物理意义上，这时由于发送码元只有一种可能性，即是确定的“1”。因此，不会发生错误。同理，若P(0)=1及P(1)=0，总误码率也为零。第23页/共64页24第10章 数字信号最佳接收当先验概率相等时：P(

14、0)=P(1)=1/2，a=b。这样，上式可以化简为式中上式表明，当先验概率相等时，对于给定的噪声功率 2，误码率仅和两种码元波形之差s0(t)s1(t)的能量有关，而与波形本身无关。差别越大，码率Pe也越小。当先验概率不等时：由计算表明，先验概率不等时的误码率将略小于先验概率相等时的误码率。就误码率而言，先验概率相等是最坏的情况。第24页/共64页25第10章 数字信号最佳接收先验概率相等时误码率的计算在噪声强度给定的条件下，误码率完全决定于信号码元的区别。现在给出定量地描述码元区别的一个参量，即码元的相关系数 ，其定义如下：式中E0、E1为信号码元的能量。当s0(t)=s1(t)时，1，为

15、最大值；当s0(t)=-s1(t)时，1，为最小值。所以 的取值范围在-1 +1。第25页/共64页26第10章 数字信号最佳接收当两码元的能量相等时，令E0=E1=Eb，则上式可以写成并且将上式代入误码率公式，得到 为了将上式变成实用的形式，作如下的代数变换：令则有第26页/共64页27第10章 数字信号最佳接收于是上式变为式中 利用下式中 2和n0关系代入上式，得到误码率最终表示式：第27页/共64页28第10章 数字信号最佳接收式中 误差函数 补误差函数 Eb 码元能量；码元相关系数；n0 噪声功率谱密度。上式是一个非常重要的理论公式，它给出了理论上二进制等能量数字信号误码率的最佳（最小

16、可能）值。在下图中画出了它的曲线。实际通信系统中得到的误码率只可能比它差，但是绝对不可能超过它。第28页/共64页29第10章 数字信号最佳接收误码率曲线dB第29页/共64页30第10章 数字信号最佳接收最佳接收性能特点误码率仅和Eb/n0以及相关系数 有关，与信号波形及噪声功率无直接关系。码元能量Eb与噪声功率谱密度n0之比，实际上相当于信号噪声功率比Ps/Pn。因为若系统带宽B等于1/Ts，则有 按照能消除码间串扰的奈奎斯特速率传输基带信号时，所需的最小带宽为(1/2Ts)Hz。对于已调信号，若采用的是2PSK或2ASK信号，则其占用带宽应当是基带信号带宽的两倍，即恰好是(1/Ts)Hz

17、。所以，在工程上，通常把(Eb/n0)当作信号噪声功率比看待。第30页/共64页31第10章 数字信号最佳接收相关系数 对于误码率的影响很大。当两种码元的波形相同，相关系数最大，即 =1时，误码率最大。这时的误码率Pe=1/2。因为这时两种码元波形没有区别，接收端是在没有根据的乱猜。当两种码元的波形相反，相关系数最小，即 =-1时，误码率最小。这时的最小误码率等于 例如，2PSK信号的相关系数就等于-1。当两种码元正交，即相关系数 等于0时，误码率等于例如，2FSK信号的相关系数就等于或近似等于零。第31页/共64页32第10章 数字信号最佳接收若两种码元中有一种的能量等于零，例如2ASK信号

18、，则误码率为比较以上3式可见，它们之间的性能差3dB，即2ASK信号的性能比2FSK信号的性能差3dB，而2FSK信号的性能又比2PSK信号的性能差3dB。第32页/共64页33第10章 数字信号最佳接收多进制通信系统若不同码元的信号正交，且先验概率相等，能量也相等，则其最佳误码率计算结果如下：式中，M 进制数；E M 进制码元能量；n0 单边噪声功率谱密度。由于一个M 进制码元中含有的比特数k 等于log2M，故每个比特的能量等于并且每比特的信噪比为下图画出了误码率Pe与Eb/n0关系曲线。第33页/共64页34第10章 数字信号最佳接收误码率曲线由此曲线看出，对于给定的误码率，当k增大时，

19、需要的信噪比Eb/n0减小。当k 增大到 时，误码率曲线变成一条垂直线；这时只要Eb/n0等于0.693(即-1.6 dB)，就能得到无误码的传输。Pe0.693Eb/n0第34页/共64页35相干2ASK信号非相干2ASK信号相干2FSK信号非相干2FSK信号相干2PSK信号差分相干2DPSK信号同步检测2DPSK信号第10章 数字信号最佳接收10.7 实际接收机和最佳接收机的性能比较实际接收机的Pe最佳接收机的Pe第35页/共64页36第10章 数字信号最佳接收 假设在接收机输入端信号功率和信道相同的条件下比较两种结构形式接收机的误码性能。由上表可以看出，横向比较两种结构形式接收机误码性能

20、可等价于比较与的大小。在相同的条件下：若 ，则实际接收机误码率小于最佳接收机误码率；若 ，则实际接收机误码率大于最佳接收机误码率；若 ，则实际接收机误码率等于最佳接收机误码率。前面已经分析，当系统带宽等于奈氏准则时，有 ，而奈氏带宽式理论极限，实际达不到。因此，实际接收机质量总是低于最佳接收机。第36页/共64页37第10章 数字信号最佳接收10.8 数字信号的匹配滤波接收法什么是匹配滤波器？用线性滤波器对接收信号滤波时，使抽样时刻上输出信噪比最大的线性滤波器称为匹配滤波器。假设条件：接收滤波器的传输函数为H(f)，冲激响应为h(t)，滤波器输入码元s(t)的持续时间为Ts，信号和噪声之和r(

21、t)为式中，s(t)信号码元，n(t)高斯白噪声；第37页/共64页38第10章 数字信号最佳接收并设信号码元s(t)的频谱密度函数为S(f)，噪声n(t)的双边功率谱密度为PR(f)=n0/2，n0为噪声单边功率谱密度。输出电压假定滤波器是线性的，根据线性电路叠加定理，当滤波器输入电压r(t)中包括信号和噪声两部分时，滤波器的输出电压y(t)中也包含相应的输出信号so(t)和输出噪声no(t)两部分，即式中判决第38页/共64页39第10章 数字信号最佳接收输出噪声功率：由得输出噪声功率No等于输出信噪比在抽样时刻t0上，输出信号瞬时功率与噪声平均功率之比为第39页/共64页40第10章 数

22、字信号最佳接收匹配滤波器的传输特性：利用施瓦兹不等式求 r0的最大值若其中k为任意常数，则上式的等号成立。将上信噪比式右端的分子看作是上式的左端，并令则有式中 是信号能量第40页/共64页41第10章 数字信号最佳接收而且当时，上式的等号成立，即得到最大输出信噪比2E/n0。上式表明，H(f)就是我们要找的最佳接收滤波器传输特性。它等于信号码元频谱的复共轭（除了常数因子外）。故称此滤波器为匹配滤波器。第41页/共64页42第10章 数字信号最佳接收匹配滤波器的冲激响应函数：由上式可见，匹配滤波器的冲激响应h(t)就是：信号s(t)的镜像s(-t)，再在时间轴上（向右）平移了t0。第42页/共6

23、4页43匹配滤波器的单位冲激响应为：匹配滤波器的单位冲激响应为：匹配滤波器单位冲匹配滤波器单位冲激响应原理激响应原理第10章 数字信号最佳接收第43页/共64页44000tttt1-t1t2-t1-t2t2s(t)s(-t)h(t)t0(a)(b)(c)第10章 数字信号最佳接收图解 第44页/共64页45第10章 数字信号最佳接收实际的匹配滤波器一个实际的匹配滤波器应该是物理可实现的，其冲激响应必须符合因果关系，在输入冲激脉冲加入前不应该有冲激响应出现，即必须有：即要求满足条件或满足条件上式的条件说明，接收滤波器输入端的信号码元s(t)在抽样时刻t0之后必须为零。一般不希望在码元结束之后很久

24、才抽样，故通常选择在码元末尾抽样，即选t0=Ts。故匹配滤波器的冲激响应可以写为第45页/共64页46第10章 数字信号最佳接收这时，若匹配滤波器的输入电压为s(t)，则输出信号码元的波形为：上式表明：匹配滤波器输出信号码元波形是输入信号码元波形的自相关函数的k倍。k是一个任意常数，它与r0的最大值无关；通常取k 1。第46页/共64页47第10章 数字信号最佳接收【例10.1】设接收信号码元s(t)的表示式为试求其匹配滤波器的特性和输出信号码元的波形。【解】上式所示的信号波形是一个矩形脉冲，如上图所示。其频谱为由令k=1，可得其匹配滤波器的传输函数为由令k=1，还可以得到此匹配滤波器的冲激响

25、应为tTss(t)1第47页/共64页48第10章 数字信号最佳接收 此冲激响应示于下图。表面上看来，h(t)的形状和信号s(t)的形状一样。实际上，h(t)的形状是s(t)的波形以t=Ts/2为轴线反转而来。由于s(t)的波形对称于t=Ts/2，所以反转后，波形不变。由式可以求出此匹配滤波器的输出信号波形如下：tTsh(t)1tTsso(t)第48页/共64页49第10章 数字信号最佳接收由其传输函数 可以画出此匹配滤波器的方框图如下：因为上式中的(1/j2 f)是理想积分器的传输函数，而exp(-j2 fTs)是延迟时间为Ts的延迟电路的传输函数。第49页/共64页50(a)s(t)0Tt

26、2T1例：(b)2Th(t)0Tt1单位冲击响应信号时间波形so(t)OTt(c)2T2T23T第10章 数字信号最佳接收第50页/共64页51(a)s(t)0Tt2T1例：第10章 数字信号最佳接收第51页/共64页52l匹配滤波器的性质匹配滤波器的性质(1)(1)其幅频特性与输入信号的幅频特性一致，至多差其幅频特性与输入信号的幅频特性一致，至多差一个常数因子一个常数因子K K；其相频特性与输入信号的反相，；其相频特性与输入信号的反相，并有一个附加的相位并有一个附加的相位 。（2 2）匹配滤波器在输出端可以给出最大的瞬时信噪）匹配滤波器在输出端可以给出最大的瞬时信噪比：比：第10章 数字信号

27、最佳接收第52页/共64页53（4）关于关于r r0max0max=2E/n=2E/n0 0：只要：只要s(t)s(t)能量相同，不能量相同，不论论s(t)s(t)的形状、噪声分布如何、相应的匹配滤的形状、噪声分布如何、相应的匹配滤波器不同，但波器不同，但r r0max0max相同相同(5)(5)观测时刻观测时刻t t0 0选择在信号持续时间的末尾，一选择在信号持续时间的末尾，一般取码元周期般取码元周期T Ts s；（3 3）输出信号）输出信号s s0 0(t)(t)：是：是s(t)s(t)的自相关函数的的自相关函数的k k倍倍第10章 数字信号最佳接收且第53页/共64页54第10章 数字信

28、号最佳接收【例例10.210.2】设信号的表示式为设信号的表示式为试求其匹配滤波器的特性和匹配滤波器输出的波形。试求其匹配滤波器的特性和匹配滤波器输出的波形。【解解】上式给出的信号波形上式给出的信号波形是一段余弦振荡，是一段余弦振荡，如右图所示：如右图所示：其频谱为其频谱为Ts第54页/共64页55第10章 数字信号最佳接收因此，其匹配滤波器的传输函数为因此，其匹配滤波器的传输函数为上式中已令上式中已令t t0 0=T Ts s。此匹配滤波器的冲激响应为：此匹配滤波器的冲激响应为：为了便于画出波形简图，令为了便于画出波形简图，令式中，式中，n n=正整数。这样，上式可以化简为正整数。这样，上式

29、可以化简为h h(t t)的曲线示于下图：的曲线示于下图：第55页/共64页56第10章 数字信号最佳接收这时的匹配滤波器输出波形可以由卷积公式求出：这时的匹配滤波器输出波形可以由卷积公式求出：由于现在由于现在s s(t t)和和h h(t t)在区间在区间(0,(0,T Ts s)外都等于零，故上式中的积分可以分为外都等于零，故上式中的积分可以分为如下几段进行计算：如下几段进行计算：显然，当显然，当t t 0 2 2T Ts s时，式中的时，式中的s s()和和h h(t t-)不相交，故不相交，故s s0 0(t t)等于等于零。零。(b)冲激响应Ts第56页/共64页57第10章 数字信

30、号最佳接收当当0 0 t t T Ts s时，上式等于时，上式等于当当T Ts s t t 2 2T Ts s时，上式等于时，上式等于若因若因f f0 0很大而使很大而使(1/4(1/4 f f0 0)可以忽略，则最后得到可以忽略，则最后得到第57页/共64页58第10章 数字信号最佳接收按上式画出的曲线示于下图中。(a)信号波形(b)冲激响应(c)输出波形TsTsTs2Ts第58页/共64页59第10章 数字信号最佳接收匹配滤波器接收电路的构成对于二进制确知信号，使用匹配滤波器构成的接收电路方框图示于下图中。图中有两个匹配滤波器，分别匹配于两种信号码元。在抽样时刻对抽样值进行比较判决。哪个匹

31、配滤波器的输出抽样值更大，就判决那个为输出。若此二进制信号的先验概率相等，则此方框图能给出最小的总误码率。匹配滤波器1匹配滤波器2抽样比较判决抽样t=Tst=Ts输入输出第59页/共64页60第10章 数字信号最佳接收匹配滤波器可以用不同的硬件电路实现，也可以用软件实现。目前，由于软件无线电技术的发展，它日益趋向于用软件技术实现。在上面的讨论中对于信号波形从未涉及，也就是说最大输出信噪比和信号波形无关，只决定于信号能量E与噪声功率谱密度n0之比，所以这种匹配滤波法对于任何一种数字信号波形都适用，不论是基带数字信号还是已调数字信号。例10.1中给出的是基带数字信号的例子；而例10.2中给出的信号

32、则是已调数字信号的例子。第60页/共64页61第10章 数字信号最佳接收匹配滤波器的性能用上述匹配滤波器得到的最大输出信噪比就等于最佳接收时理论上能达到的最高输出信噪比。证明如下：匹配滤波器输出电压的波形y(t)可以写成在抽样时刻Ts，输出电压等于可以看出，上式中的积分是相关运算，即将输入r(t)与s(t)作相关运算，而后者是和匹配滤波器匹配的信号。它表示只有输入电压r(t)=s(t)+n(t)时，在时刻t=Ts才有最大的输出信噪比。式中的k是任意常数，通常令k=1。第61页/共64页62第10章 数字信号最佳接收用上述相关运算代替上图中的匹配滤波器得到如下图所示的相关接收法方框图。匹配滤波法和相关接收法完全等效，都是最佳接收方法。积分积分s1(t)s0(t)抽样比较判决抽样t=Tst=Ts输入输出第62页/共64页63第10章 数字信号最佳接收【例10.3】设有一个信号码元如例10.2中所给出的s(t)。试比较它分别通过匹配滤波器和相关接收器时的输出波形。【解】此信号码元通过相关接收器后，输出信号波形等于上式中已经假定f0很大，从而结果可以近似等于t/2，即与t 成直线关系。这两种结果示于下图中。由此图可见，只有当t=Ts时，两者的抽样值才相等。相关器输出匹配滤波器输出第63页/共64页64谢谢您的观看！第64页/共64页