高等数学第一章第一节函数.ppt

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1、高等数学第一章第一节函数现在学习的是第1页，共61页第一章第一章 函数与极限函数与极限函数函数数列的极限数列的极限函数的极限函数的极限无穷小与无穷大无穷小与无穷大极限的运算法则极限的运算法则极限存在准则与重要极限极限存在准则与重要极限无穷小比较无穷小比较函数的连续性函数的连续性现在学习的是第2页，共61页一、集合一、集合二、函数概念二、函数概念三、函数的简单性态三、函数的简单性态五、反函数五、反函数四、复合函数四、复合函数六、初等函数六、初等函数第一第一节 函数函数现在学习的是第3页，共61页1.集合集合:集合集合：具有某种特定性质的事物全体。具有某种特定性质的事物全体。例：例：集合集合 元素

2、元素 特定性质特定性质 华工全体学生华工全体学生 学生学生 华工的华工的 我班全体同学我班全体同学 学生学生 我班的我班的 全体实数全体实数 数数 实的实的但：所有高档商品不是一个集合，是一个模糊集合。但：所有高档商品不是一个集合，是一个模糊集合。元素元素：组成集合的事物。组成集合的事物。一、基本概念现在学习的是第4页，共61页集合的表示集合的表示:描述法：描述法：列举法：列举法：文氏图：平面区域。文氏图：平面区域。集合的关系集合的关系:现在学习的是第5页，共61页N-自然数集自然数集Z-整数集整数集Q-有理数集有理数集R-实数集实数集例题：例题：例题：例题：例题：例题：注：数集是今后主要研究

3、的集合。注：数集是今后主要研究的集合。现在学习的是第6页，共61页2.区间区间特殊的数集特殊的数集:是指介于某两个实数之间的是指介于某两个实数之间的全体实数全体实数.这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.称为开区间称为开区间,称为闭区间称为闭区间,现在学习的是第7页，共61页称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间,有限区间：有限区间：称为开区间称为开区间,称为闭区间称为闭区间,现在学习的是第8页，共61页无限区间：无限区间：现在学习的是第9页，共61页4.邻域邻域特殊的区间特殊的区间:现在学习的是第10页，共61页为什么要讲邻域？为什么要讲邻域？答：函数的极限、连续、导

4、数均讨论函数在一点附近的答：函数的极限、连续、导数均讨论函数在一点附近的特征。特征。现在学习的是第11页，共61页4.常量与变量常量与变量:在某过程中数值保持不变的量称为在某过程中数值保持不变的量称为常量常量,注意注意常量与变量是相对常量与变量是相对“过程过程”而言的而言的.例如：重力例如：重力g。通常用字母通常用字母a,b,c等表示常量等表示常量,而数值变化的量称为而数值变化的量称为变量变量.用字母用字母x,y,t等表示等表示变变量量.现在学习的是第12页，共61页二、函数概念 在同一自然现象中，往往同时存在几个变量一起变化，在同一自然现象中，往往同时存在几个变量一起变化，这几个变量不是孤立

5、的变化，而是相互联系，遵循一定的规这几个变量不是孤立的变化，而是相互联系，遵循一定的规律。律。解释：变量解释：变量 ；对应法则；对应法则 ；定义域定义域 。例如：例如：自由落体运动自由落体运动 。例如：例如：圆面积圆面积 。解释：变量解释：变量 ；对应法则；对应法则 ；定义域定义域 。现在学习的是第13页，共61页 定义定义：设设 和和 是两个变量，是两个变量，是一个给定的是一个给定的数集。如果对于每一个数数集。如果对于每一个数 ，变量，变量 按照一定按照一定的对应法则总有确定的值与它对应，的对应法则总有确定的值与它对应，则称则称 是是 的函数，记作的函数，记作:,数集D数集E按对应法则教学：

6、将函数定义进行展开，能知道。现在学习的是第14页，共61页因变量因变量自变量自变量定义域定义域现在学习的是第15页，共61页自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f1.函数概念的两要素:定义域与对应法则.定义域和对应法则都相同的函数，称为相同的函数。定义域和对应法则都相同的函数，称为相同的函数。例现在学习的是第16页，共61页2.函数的定义域D:自变量的取值范围。约定约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值一切实数值.现在学习的是第17页，共61页3.对应法则对应法则f：由自变量决定因变量取值的法则。由自变量决定因变量取值的法则。常用的表现形式

7、：公式法、图形法、表格法。常用的表现形式：公式法、图形法、表格法。现在学习的是第18页，共61页分段函数分段函数：在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中,对应法则用不对应法则用不同的式子来表示的函数同的式子来表示的函数.不能看成两个函数！不能看成两个函数！在分段点两侧，在分段点两侧，函数的表达式不同函数的表达式不同!现在学习的是第19页，共61页 (1)符号函数符号函数特殊分段函数举例特殊分段函数举例1-1xyo现在学习的是第20页，共61页(2)取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1 4 3 2 1 -1-

8、3xyo阶梯曲线阶梯曲线现在学习的是第21页，共61页有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(3)狄利克雷函数狄利克雷函数现在学习的是第22页，共61页(4)取最值函数取最值函数yxoyxo现在学习的是第23页，共61页答：答：（2）答：答：；先小后大。；先小后大。（1）（3）答：答：；由外到内。；由外到内。求下列函数的定义域求下列函数的定义域现在学习的是第24页，共61页答案答案现在学习的是第25页，共61页1函数的单调性函数的单调性:三、函数的简单性态三、函数的简单性态现在学习的是第26页，共61页xyoxyo现在学习的是第27页，共61页说明说明：1 单调增与单调减的函数，统称为单调增

9、与单调减的函数，统称为单调函数单调函数。使函数单调的区间，称为使函数单调的区间，称为单调区间单调区间。2 单调性与函数本身有关，也与所考虑的区间有关。单调性与函数本身有关，也与所考虑的区间有关。3 就上述例题，再谈谈连续性与单调性关系。就上述例题，再谈谈连续性与单调性关系。现在学习的是第28页，共61页M-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX2函数的有界性函数的有界性:教学：详细讨论，引出抽象概念。现在学习的是第29页，共61页(下界)(上界)3.借助记号，进一步谈谈有界、无界的定义，举例说明。借助记号，进一步谈谈有界、无界的定义，举例说明。现在学习的是第30页，共61页现在学

10、习的是第31页，共61页现在学习的是第32页，共61页3函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数图形关于偶函数图形关于y轴对称。轴对称。yxox-x现在学习的是第33页，共61页奇函数图形关于原点对称。奇函数图形关于原点对称。yxox-x现在学习的是第34页，共61页现在学习的是第35页，共61页现在学习的是第36页，共61页4函数的周期性函数的周期性:显然，若显然，若T是周期，是周期，则则kT也是。也是。通常说的周期，通常说的周期，是指其是指其最小正周期最小正周期.现在学习的是第37页，共61页例例1 1解解有界函数有界函数,偶函数偶函数,周期函数周期函数(无最小正周期无最小正周期)不是单调函数不是

11、单调函数,现在学习的是第38页，共61页四、复合函数四、复合函数定义定义:例如：现在学习的是第39页，共61页注意注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.3.常见的函数一般是复合函数，可以分解成一系列常见的函数一般是复合函数，可以分解成一系列简单函数简单函数.现在学习的是第40页，共61页现在学习的是第41页，共61页例例3 3解解故故现在学习的是第42页，共61页五、反函数五、反函数DEDE现在学习的是第43页，共61页直接函数与反函数的图形关于直线

12、对称.现在学习的是第44页，共61页现在学习的是第45页，共61页现在学习的是第46页，共61页六、初等函数六、初等函数1.幂函数幂函数现在学习的是第47页，共61页2.指数函数指数函数现在学习的是第48页，共61页3.对数函数对数函数现在学习的是第49页，共61页4.三角函数三角函数正弦函数正弦函数现在学习的是第50页，共61页余弦函数余弦函数现在学习的是第51页，共61页正切函数正切函数余切函数余切函数现在学习的是第52页，共61页正割函数正割函数余割函数余割函数现在学习的是第53页，共61页5.反三角函数反三角函数现在学习的是第54页，共61页现在学习的是第55页，共61页现在学习的是第

13、56页，共61页现在学习的是第57页，共61页 定义：幂函数定义：幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三角函数统称为三角函数和反三角函数统称为基本初基本初等函数等函数.现在学习的是第58页，共61页6.初等函数初等函数由常数和基本初等函数，由常数和基本初等函数，经过有限次四则运算及有限次复合运算，经过有限次四则运算及有限次复合运算，且能够用一个式子表达的函数且能够用一个式子表达的函数,称为称为初等函数初等函数.（幂指函数）以下函数都是初等函数：以下函数都是初等函数：现在学习的是第59页，共61页奇函数奇函数.偶函数偶函数.7.双曲函数双曲函数现在学习的是第60页，共61页奇函数奇函数,有界函数有界函数,现在学习的是第61页，共61页