运筹学图与网络分析.pptx

《运筹学图与网络分析.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《运筹学图与网络分析.pptx（106页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、BDACABCD哥尼斯堡七空桥哥尼斯堡七空桥一笔画问题一笔画问题第1页/共106页哈哈密密尔尔顿顿（HamiltonHamilton）回回路路是是十十九九世世纪纪英英国国数数学学家家哈哈密密顿顿提提出出，给给出出一一个个正正1212面面体体图图形形，共共有有2020个个顶顶点点表表示示2020个个城城市市，要要求求从从某某个个城城市市出出发发沿沿着着棱棱线线寻寻找找一一条条经经过过每每个个城城市市一一次次而而且且仅仅一一次次，最最后后回回到到原原处处的的周周游游世世界界线线路路（并并不不要要求求经经过过每条边）。每条边）。第2页/共106页第3页/共106页第4页/共106页第5页/共106页

2、第6页/共106页第7页/共106页第8页/共106页第9页/共106页第10页/共106页第11页/共106页第12页/共106页第13页/共106页第14页/共106页第15页/共106页第16页/共106页第17页/共106页第18页/共106页第19页/共106页有有7 7个个人人围围桌桌而而坐坐，如如果果要要求求每每次次相相邻邻的的人人都都与与以以前前完完全全不不同同，试试问问不不同同的的就就座座方方案案共共有多少种？有多少种？用用顶顶点点表表示示人人，用用边边表表示示两两者者相相邻邻，因因为为最最初初任任何何两两个个人人都都允允许许相相邻邻，所所以以任任何何两两点点都都可以有边相连

3、。可以有边相连。第20页/共106页1 12 23 37 76 64 45 5第21页/共106页1 12 23 37 76 64 45 5第22页/共106页1 12 23 37 76 64 45 5第23页/共106页1 12 23 37 76 64 45 5第24页/共106页1 12 23 37 76 64 45 5第25页/共106页1 12 23 37 76 64 45 5第26页/共106页1 12 23 37 76 64 45 5第27页/共106页1 12 23 37 76 64 45 5第28页/共106页得到第一次就座方案是（得到第一次就座方案是（1 1，2 2，3 3，

4、4 4，5 5，6 6，7 7，1 1），继续寻求第二次就座方案时就不允许这些顶点），继续寻求第二次就座方案时就不允许这些顶点之间继续相邻，因此需要从图中删去这些边。之间继续相邻，因此需要从图中删去这些边。第29页/共106页1 12 23 37 76 64 45 5第30页/共106页1 12 23 37 76 64 45 5第31页/共106页1 12 23 37 76 64 45 5第32页/共106页1 12 23 37 76 64 45 5第33页/共106页1 12 23 37 76 64 45 5第34页/共106页1 12 23 37 76 64 45 5第35页/共106页1

5、 12 23 37 76 64 45 5第36页/共106页1 12 23 37 76 64 45 5第37页/共106页得出第二次就座方案是（得出第二次就座方案是（1 1，3 3，5 5，7 7，2 2，4 4，6 6，1 1），那么第三次就座方案就不允许这些顶点之间继），那么第三次就座方案就不允许这些顶点之间继续相邻，只能从图中删去这些边。续相邻，只能从图中删去这些边。第38页/共106页1 12 23 37 76 64 45 5第39页/共106页1 12 23 37 76 64 45 5第40页/共106页1 12 23 37 76 64 45 5第41页/共106页1 12 23 3

6、7 76 64 45 5第42页/共106页1 12 23 37 76 64 45 5第43页/共106页1 12 23 37 76 64 45 5第44页/共106页1 12 23 37 76 64 45 5第45页/共106页1 12 23 37 76 64 45 5第46页/共106页得得到到第第三三次次就就座座方方案案是是（1 1，4 4，7 7，3 3，6 6，2 2，5 5，1 1），那那么么第第四四次次就就座座方方案案就就不不允允许许这这些些顶顶点点之之间间继继续续相相邻邻，只只能能从从图图中中删删去去这这些些边边，只只留留下下7 7点点孤孤立立点点，所以该问题只有三个就座方案。

7、所以该问题只有三个就座方案。第47页/共106页1 12 23 37 76 64 45 5第48页/共106页引论 图的用处 某公司的 组织机构设置图总公司分公司工厂或办事处第49页/共106页一、图与网络的基本知识（一）、（一）、图与网络的基本概念图与网络的基本概念 EADCB1、一个图是由点和连线组成。（连线可带箭头，也可、一个图是由点和连线组成。（连线可带箭头，也可不带，前者叫弧，后者叫边）不带，前者叫弧，后者叫边）第50页/共106页v1v2v3v4v5v6e1e2e3e4e5e6e7e8e9e10例图图1一一个个图图是是由由点点集集 和和 中中元元素素的的无无序序对对的的一一个个集集

8、合合 构构成成的的二二元元组组，记记为为G G=(=(V V，E E)，其其中中V V中中的的元元素素 叫叫做做顶顶点点，V表表示示图图G 的的点点集集合合；E中的元素中的元素 叫做边，叫做边，E表示图表示图G的边集合。的边集合。jvV=第51页/共106页 2 2、不不带带箭箭头头的的连连线线叫叫做做边边。如如果果一一个个图图是是由由点点和和边边所所构构成成的的，则则称称其其为为无无向向图图，记记作作G G=(=(V V，E E)，连接点的边记作连接点的边记作 v vi i,v,vj j，或者或者 v vj j,v,vi i。3 3、若点与点之间的连线有方向，称为弧。如果一个图是由点和弧所构

9、成的，那么称、若点与点之间的连线有方向，称为弧。如果一个图是由点和弧所构成的，那么称它为有向图，记作它为有向图，记作D D=(=(V,AV,A)，其中其中V V 表示有向图表示有向图D D 的点集合，的点集合，A A 表示有向图表示有向图D D 的弧集合。的弧集合。一条方向从一条方向从v vi i指向指向v vj j 的弧，记作的弧，记作(v vi i,v,vj j)。v4v6v1v2v3v5V=v1,v2,v3,v4,v5,v6，A=(v1,v3),(v2,v1),(v2,v3),(v2,v5),(v3,v5),(v4,v5),(v5,v4),(v5,v6)图图2第52页/共106页 4 4

10、、一条边的两个端点是相同的、一条边的两个端点是相同的,那么称这条边是环。那么称这条边是环。5 5、如果两个端点之间有两条以上的边，那么称它们为、如果两个端点之间有两条以上的边，那么称它们为多重边。多重边。6 6、不含环和多重边的图称为简单图；有多重边的图称、不含环和多重边的图称为简单图；有多重边的图称为多重图。为多重图。7、每一对顶点间都有边相连的无向简单图称为完全图。、每一对顶点间都有边相连的无向简单图称为完全图。有向完全图则是指任意两个顶点之间有且仅有一条有有向完全图则是指任意两个顶点之间有且仅有一条有向边的简单图。向边的简单图。第53页/共106页v1v2v3v4v5v6e1e2e3e4

11、e5e6e7e8e9e10 次为零的点称为弧立点，次为次为零的点称为弧立点，次为1 1的点称为悬挂点。悬挂的点称为悬挂点。悬挂点的关联边称为悬挂边。次为奇数的点称为奇点，次为偶点的关联边称为悬挂边。次为奇数的点称为奇点，次为偶数的点称为偶点。数的点称为偶点。8 8、以点、以点v v为端点的边的个数称为点为端点的边的个数称为点v v 的次，记作的次，记作 。图中图中 d(v1)=4，d(v6)=4（环计两次环计两次）第54页/共106页 定理定理1 1 所有顶点次数之和等于所有边数的所有顶点次数之和等于所有边数的2 2倍。倍。定理定理定理定理2 2 2 2 在任一图中，奇点的个数必为偶数。在任一

12、图中，奇点的个数必为偶数。所有顶点的入次之和等于所有顶点的出次之和。所有顶点的入次之和等于所有顶点的出次之和。有有向向图图中中，以以 v vi i 为为始始点点的的边边数数称称为为点点v vi i的的出出次次，用用 表示表示 ；以；以 v vi i 为终点的边数称为点为终点的边数称为点v vi i 的入次，的入次，用用 表示；表示；v vi i 点的出次和入次之和就是该点的次。点的出次和入次之和就是该点的次。第55页/共106页9 9 9 9、设设设设G=G=（V V，E E），GG=（V V,E,E）如如果果V V,E E，称称G 是是G的的子子图图；如如果果V=V,E E，称称G 是是G的

13、的生生成成子子图图或或支支撑撑子子图。图。v1v2v3v4v5v6v7e1e2e3e4e5e6e7e8e9e10e11(a)e5e7v1v2v5v6v7e1e6e8(b)子图子图v1v2v3v4v5v6v7e1e6e7e9e10e11(c)支撑子图支撑子图第56页/共106页在实际应用中，给定图中每条边在实际应用中，给定图中每条边 ，对应一，对应一个数个数 ，称之为，称之为 “权权”。通常把这种赋权的图称为。通常把这种赋权的图称为网络。网络。10 10、由两两相邻的点及其相关联的边构成的点边序列、由两两相邻的点及其相关联的边构成的点边序列称为链。称为链。如如:v v0 0 ，e e1 1，v

14、v1 1，e e2 2，v v2 2，e e3 3 ，v v3 3,v,vn-1n-1,e en n ，v vn n，e3v1v2v3v4v5v6e7e8e1e2e4e5e6e9e10第57页/共106页 11 11、图中任意两点之间均至少有一条链相连，则称此、图中任意两点之间均至少有一条链相连，则称此图为连通图。图为连通图。其链长为其链长为 n，其中其中 v0，vn 分别称为链的起点和终点分别称为链的起点和终点 。所含的点、边均不相同的链称为初等链。起点和终点是。所含的点、边均不相同的链称为初等链。起点和终点是同一个点的链称为圈。同一个点的链称为圈。第58页/共106页（二）、（二）、图的矩

15、阵表示图的矩阵表示对于网络（赋权图）对于网络（赋权图）G=（V，E），其中边其中边有权有权 ，构造矩阵，构造矩阵 ，其中：，其中：称矩阵称矩阵A A为网络为网络G G的权矩阵。的权矩阵。设图设图G=（V，E）中顶点的个数为中顶点的个数为n，构造一个构造一个矩阵矩阵 ，其中：，其中：称矩阵称矩阵A A为网络为网络G G的邻接矩阵。的邻接矩阵。第59页/共106页例例权矩阵为：权矩阵为：邻接矩阵为：邻接矩阵为：v5v1v2v3v4v64332256437第60页/共106页 二、二、树及最小树问题树及最小树问题 已已知知有有六六个个城城市市，它它们们之之间间 要要架架设设电电话话线线，要要求求任任

16、意意两个城市均可以互相通话，并且电话线的总长度最短。两个城市均可以互相通话，并且电话线的总长度最短。v1v2v3v4v5v6 1 1、一个连通的无圈的无向图叫做树。、一个连通的无圈的无向图叫做树。树中次为树中次为1 1的点称为树叶，次大于的点称为树叶，次大于1 1的点称为分支点。的点称为分支点。第61页/共106页 树树的性质：的性质：（1 1）数必连通，但无回路（圈）。数必连通，但无回路（圈）。（2 2）n个顶点的树必有个顶点的树必有n-1条边条边。（3 3）树树中任意两个顶点之间，恰有且仅有一条链（初中任意两个顶点之间，恰有且仅有一条链（初等链）。等链）。（4 4）树）树连通，但去掉任一条

17、边，连通，但去掉任一条边，必变为不连通。必变为不连通。（5 5）树树无回路（圈），但不相邻的两个点之间加一条无回路（圈），但不相邻的两个点之间加一条边，恰得到一个回路（圈）。边，恰得到一个回路（圈）。v1v2v3v4v5v6第62页/共106页 2 2、若图若图G=(V,E)的生成子图是一个树的生成子图是一个树,那么称那么称该树该树 是是G 的一个生成树（支撑树），或简称为图的一个生成树（支撑树），或简称为图G 的树。图的树。图G中属于生成树的边称为树枝，不在生成树中的边称为弦。中属于生成树的边称为树枝，不在生成树中的边称为弦。一个图一个图G 有生成树的充要条件是有生成树的充要条件是G是连通图

18、。是连通图。v1v2v3v4v5v1v2v3v4v5第63页/共106页（一）（一）破圈法：在图中任选一个圈，从这个圈破圈法：在图中任选一个圈，从这个圈中去掉一条边。在余下的图中重复这个步骤，中去掉一条边。在余下的图中重复这个步骤，直到得到一不含圈的图为止。直到得到一不含圈的图为止。第64页/共106页第65页/共106页用破圈法求出下图的一个生成树。用破圈法求出下图的一个生成树。v1v2v3v4v5e1e2e3e4e5e6e7e8v1v2v3v4v5e2e4e6e8v1v2v3v4v5e1e2e3e4e5e6e7e8第66页/共106页（二）（二）避圈法：开始选一条边，以后每一步中，避圈法：

19、开始选一条边，以后每一步中，总从未被选取的边中选出一条与已选边不构成总从未被选取的边中选出一条与已选边不构成圈的边，重复这个过程，直到不能进行为止。圈的边，重复这个过程，直到不能进行为止。第67页/共106页v1v2v3v4v5v6v1v3v1v3v2v1v3v2v5v6v1v3v2v5v6v4v1v3v2v5第68页/共106页根据破圈法和避圈法两种方式得到了图的两个不同的生成树，由此可以看到连通图的生成树不是唯一的。第69页/共106页3 3、最小生成树问题、最小生成树问题 一一棵棵生生成成树树所所有有树树枝枝上上权权的的总总和和为为这这个个生生成成树树的权的权。具有最小权的生成树，称为最

20、小生成树。具有最小权的生成树，称为最小生成树。求求赋赋权权图图G G的的最最小小支支撑撑树树的的方方法法也也有有两两种种，“破破圈法圈法”和和“避圈法避圈法”。破破圈圈法法：在在原原图图中中，任任选选一一个个圈圈，从从圈圈中中去去掉掉权权最最大大的的一一条条边边。在在余余下下的的图图中中重重复复这这个个步步骤骤，直直到到得得到到一一不不含含圈圈的的图图为止。为止。655172344v1v2v3v4v5v6第70页/共106页v1v1v7v7v4v4v3v3v2v2v5v5v6v6202015159 9161625253 3282817174 41 123233636第71页/共106页v1v1

21、v7v7v4v4v3v3v2v2v5v5v6v6202015159 9161625253 3282817174 41 123233636第72页/共106页v1v1v7v7v4v4v3v3v2v2v5v5v6v6202015159 9161625253 3282817174 41 12323第73页/共106页v1v1v7v7v4v4v3v3v2v2v5v5v6v6202015159 9161625253 3282817174 41 12323第74页/共106页v1v1v7v7v4v4v3v3v2v2v5v5v6v615159 9161625253 3282817174 41 12323第7

22、5页/共106页v1v1v7v7v4v4v3v3v2v2v5v5v6v615159 9161625253 3282817174 41 12323第76页/共106页v1v1v7v7v4v4v3v3v2v2v5v5v6v69 925253 3282817174 41 12323第77页/共106页v1v1v7v7v4v4v3v3v2v2v5v5v6v69 925253 3282817174 41 12323第78页/共106页v1v1v7v7v4v4v3v3v2v2v5v5v6v69 93 3282817174 41 12323第79页/共106页v1v1v7v7v4v4v3v3v2v2v5v5

23、v6v69 93 3282817174 41 12323第80页/共106页v1v1v7v7v4v4v3v3v2v2v5v5v6v69 93 317174 41 12323总造价总造价=1+4+9+3+17+23=57=1+4+9+3+17+23=57第81页/共106页v1v2v3v4v514231352避避圈圈法法：开开始始选选一一条条权权最最小小的的边边，以以后后每每一一步步中中，总总从从未未被被选选取取的的边边中中选选一一条条权权尽尽可可能能小小，且且与与已已选选边不构成圈的边。边不构成圈的边。第82页/共106页 某某六六个个城城市市之之间间的的道道路路网网如如图图 所所示示，要要求

24、求沿沿着着已已知知长长度度的的道道路路联联结结六六个个城城市市的的电电话话线线网网，使使电电话话线线的的总总长长度最短。度最短。v1v2v3v4v5v66515723445v1v2v3v4v5v61234第83页/共106页最最短短路路的的一一般般提提法法为为：设设 为为连连通通图图，图图中中各各边边 有有权权 （表表示示 之之间间没没有有边边），为为图图中中任任意意两两点点，求求一一条条路路 ，使使它它从从 到到 的的所所有有路路中中总总权权最最短短。即即：最最小。小。(一一)、狄克斯彻、狄克斯彻(Dijkstra)(Dijkstra)算法算法适用于适用于w wijij00，给出了从，给出了

25、从v vs s到任意一个点到任意一个点v vj j的最短路。的最短路。三三 、最短路问题、最短路问题第84页/共106页算法步骤：算法步骤：1.1.给始点给始点v vs s以以P P标号标号 ，这表示从，这表示从v vs s到到v vs s的最的最短距离为短距离为0 0，其余节点均给，其余节点均给T T标号，标号，。2.2.设节点设节点v vi i为刚得到为刚得到P P标号的点，考虑点标号的点，考虑点v vj j，其中其中 ，且，且v vj j为为T T标号。对标号。对v vj j的的T T标号进行如下修标号进行如下修改：改：3.3.比较所有具有比较所有具有T T标号的节点，把最小者改为标号的

26、节点，把最小者改为P P标标号，即：号，即：当当存存在在两两个个以以上上最最小小者者时时，可可同同时时改改为为P P标标号号。若若全全部部节节点点均均为为P P标标号号则则停停止止，否否则则用用 代代替替v vi i，返返回回步骤（步骤（2 2）。）。第85页/共106页例一：用例一：用DijkstraDijkstra算法求下图从算法求下图从v v1 1到到v v6 6的最短路。的最短路。v1v2v3v4v6v5352242421解：（解：（1 1）首先给）首先给v v1 1以以P P标号，给其余所有点标号，给其余所有点T T标号。标号。（2 2）（3 3）（4 4）第86页/共106页（5

27、5）（6 6）（7 7）（8 8）（9 9）（1010）反向追踪得反向追踪得v v1 1到到v v6 6的最短路为：的最短路为：v1v2v3v4v6v5352242421第87页/共106页（二）、逐次逼近法（二）、逐次逼近法首先设任一点首先设任一点v vi i到任一点到任一点v vj j都有一条弧。都有一条弧。显显然然，从从v v1 1到到v vj j的的最最短短路路是是从从v v1 1出出发发，沿沿着着这这条条路路到到某某个个点点v vi i再再沿沿弧弧(v vi i,v vj j)到到v vj j。则则v v1 1到到v vi i的的这这条条路路必必然然也也是是v v1 1到到v vi

28、i的的所所有有路路中中的的最最短短路路。设设P P1j1j表表示示从从v v1 1到到v vj j的的最最短短路路长长，P P1i1i表表示示从从v v1 1到到v vi i的的最最短短路路长长，则则有有下下列列方程：方程：开始时，令开始时，令 即用即用v v1 1到到v vj j的直接距离做初始解。的直接距离做初始解。第88页/共106页从第二步起，使用递推公式：求 ，当进行到第t步，若出现则停止计算，即为v1到各点的最短路长。第89页/共106页例二、18v1v2v3v4v52635135211211v6v7v837660-5-3v8-5-550-1v7-1-1-17101v6-3-310

29、-1v5-7-7-73208v4-2-2-2-21-50-3v3-5-5-5-1206v200003-2-10v1P(4)P(3)P(2)P(1)v8v7v6v5v4v3v2v1求图中求图中v v1 1到到各点的最短路各点的最短路第90页/共106页18v1v2v3v4v52635135211211v6v7v837（0，0）（v3，-5）（v1，-2）（v3，-7）（v2，-3）（v4，-5）（v3，-1）（v6，6）第91页/共106页例、求：例、求：5 5年内，哪些年初购置新设备，使年内，哪些年初购置新设备，使5 5年内的总费用最小。年内的总费用最小。第第i i年度年度 12345购置费购

30、置费1111121213设备役龄设备役龄0-11-22-33-44-5维修费用维修费用 5681118第92页/共106页解：（1）分析：可行的购置方案（更新计划）是很多的，如：1）每年购置一台新的，则对应的费用为：11+11+12+12+13+5+5+5+5+5=84 2)第一年购置新的，一直用到第五年年底，则总费用为：11+5+6+8+11+18=59 显然不同的方案对应不同的费用。第93页/共106页 （2 2）方方法法：将将此此问问题题用用一一个个赋赋权权有有向向图图来来描描述述，然然后后求求这个赋权有向图的最短路。这个赋权有向图的最短路。求解步骤：求解步骤：1 1）画赋权有向图：）画

31、赋权有向图：设设 V Vi i 表表示示第第i i年年初初，(V Vi i ,V,Vj j )表表示示第第i i 年年初初购购买买新新设设备备用用到到第第j j年年初初（j-1j-1年年底底），而而W Wi i j j 表表示示相相应应费费用用，则则5 5年的一个更新计划相当于从年的一个更新计划相当于从V V1 1 到到V V6 6的一条路。的一条路。2 2）求解）求解 （标号法）（标号法）第94页/共106页W12=11+5=16W13=11+5+6=22W14=11+5+6+8=30W15=11+5+6+8+11=41W16=11+5+6+8+11+18=59 W23=11+5=16W24

32、=11+5+6=22W25=11+5+6+8=30W26=11+5+6+8+11=41W45=12+5=17W46=12+5+6=23W56=13+5=18W34=12+5=17W35=12+5+6=23W36=12+5+6+8=31vv1 1vv2 2vv3 3vv4 4vv5 5vv6 6161622221818171717171616303041415959313123234141303022222323第95页/共106页vv1 1vv2 2vv3 3vv4 4vv5 5vv6 616162222181817171717161630304141595931312323414130302

33、2222323第96页/共106页四、最大流问题（一）基本概念1、设一个赋权有向图G=（V,E）,在V中指定一个发点vs和一个收点vt,其它的点叫做中间点。对于D中的每一个弧（vi,vj）E,都有一个非负数cij,叫做弧的容量。我们把这样的图G叫做容量网络，简称网络，记做G=（V，E，C）。网络G上的流，是指定义在弧集合E上的一个函数其中f(vi,vj)=fij 叫做弧(vi，vj)上的流量。第97页/共106页2、称满足下列条件的流为可行流：（1）容量条件：对于每一个弧（vi,vj）E有0fij cij。（2）平衡条件：对于发点vs，有对于收点vt，有对于中间点，有可行流中fijcij 的弧

34、叫做饱和弧，fijcij的弧叫做非饱和弧。第98页/共106页vsv1v2v4v3vt374556378S 3、容量网络G=（V，E，C），vs为始点，vt为终点。如果把V分成两个非空集合使，则所有一点属于，而另一点属于的弧的集合，称为由决定的割集,记作。割集中所有始点在，终点在的弧的容量之和，称为这个割集的容量，记为。第99页/共106页关于最大流问题的定理：最大流最小割定理：任一网络中，最大流的流量等于最小割集的容量。第100页/共106页 4、容量网络G，若为网络中从vs到vt的一条链，给定向为从vs到vt，上的弧凡与方向相同的称为前向弧，凡与方向相反的称为后向弧，其集合分别用和表示。f

35、是一个可行流，如果满足：则称为从vs到vt 的关于f 的一条增广链。推论可行流f 是最大流的充分必要条件是不存在从vs到vt 的关于f 的一条可增广链。第101页/共106页13(5)9(3)4(1)5(3)6(3)5(2)5(2)5(0)4(2)4(1)9(5)10(1)是一个增广链是一个增广链显然图中增广链不止一条显然图中增广链不止一条第102页/共106页（二）求最大流的标号法 标号过程：1给发点vs标号（0，+）。2取一个已标号的点vi，对于vi一切未标号的邻接点vj 按下列规则处理：（1）如果边，且，那么给vj 标号，其中：（2）如果边，且，那么给vj 标号，其中：3重复步骤2，直到

36、vt被标号或标号过程无法进行下去，则标号结束。若vt被标号，则存在一条增广链，转调整过程；若vt未被标号，而标号过程无法进行下去，这时的可行流就是最大流。第103页/共106页调整过程：1令2去掉所有标号，回到第一步，对可行流重新标号。第104页/共106页 求下图所示网络中的最大流，弧旁数为(3,3)(5,1)(1,1)(1,1)(4,3)(2,2)(3,0)(5,3)(2,1)vsv2v1v3v4vt(3,3)(5,1)(1,1)(1,1)(4,3)(2,2)(3,0)(5,3)(2,1)vsv2v1v3v4vt(,+)(vs,4)(-v1,1)(-v2,1)(v2,1)(v3,1)得增广链，标号结束，进入调整过程(3,3)(5,2(5,2)(1,0)(1,0)(4,3)(2,2)(3,0)(5,3)(2,2)vsv2v1v3v4vt(vs,3)(,+)无增广链，标号结束，得最大流。同时得最小割。第105页/共106页感谢您的观看！第106页/共106页