材料力学能量方法剖析.pptx

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1、13-1 概述概述 13-2 杆件应变能的计算杆件应变能的计算 13-3 应变能的普遍表达式应变能的普遍表达式13-4 互等定理互等定理13-5 虚功原理虚功原理13-6 莫尔积分莫尔积分第1页/共49页 弹性体受拉力弹性体受拉力P作用，当作用，当P从零开始到终值缓从零开始到终值缓慢加载时，力慢加载时，力P在其作用方向上的相应位移也由在其作用方向上的相应位移也由零增至终值零增至终值L；一方面：一方面：力要做功；力要做功；弹性体因变形而具有做功的能力，弹性体因变形而具有做功的能力，力的作用点沿力的方向有位移力的作用点沿力的方向有位移另一方面：另一方面：表明杆件内储存了表明杆件内储存了应变能应变能

2、13-1 概述概述 P第2页/共49页如果略去变形过程中的动能及其它能量的损失；如果略去变形过程中的动能及其它能量的损失；功能原理功能原理若外力在由零缓慢加载到终值，变形中的每一若外力在由零缓慢加载到终值，变形中的每一瞬间，变形体均处于平衡状态；瞬间，变形体均处于平衡状态；由能量守恒原理，杆件的变形能由能量守恒原理，杆件的变形能U在数值上应等于在数值上应等于外力做的功外力做的功W；对变形体都适用的普遍原理对变形体都适用的普遍原理W=U第3页/共49页因为变形体产生塑性变形时要消耗一部分能量，因为变形体产生塑性变形时要消耗一部分能量，留下残余变形。留下残余变形。弹性固体变形是可逆的；弹性固体变形

3、是可逆的；当外力解除后，弹性体将恢复其原来形状，释放出当外力解除后，弹性体将恢复其原来形状，释放出变形能而做功。变形能而做功。但当超出了弹性范围，对于发生塑性变形的固体，但当超出了弹性范围，对于发生塑性变形的固体，变形能不能全部转变为功，变形能不能全部转变为功，第4页/共49页也是当今应用甚广的也是当今应用甚广的有限元有限元法求解力学问题的法求解力学问题的重要基础。重要基础。能量原理能量原理固体力学中运用功与能有关的基本原理；固体力学中运用功与能有关的基本原理；由能量原理发展出来的方法；由能量原理发展出来的方法；能量法能量法 能量原理是从功与能的角度考察变形体的能量原理是从功与能的角度考察变形

4、体的受力受力、应力应力与与变形变形的原理与方法；的原理与方法；是进一步学习固体力学的基础是进一步学习固体力学的基础第5页/共49页能量法的用处能量法的用处能量法的优点能量法的优点不管中间过程，只算最终状态不管中间过程，只算最终状态能量是标量，容易计算能量是标量，容易计算用于求位移用于求位移第6页/共49页13-2 杆件应变能的计算杆件应变能的计算 线弹性条件下，通过外力功求应变能常力 P 沿其方向线位移 l上所作的功 常力作功常力作功（P 为恒力）：变力作功变力作功（P 从0逐渐增加到最终值）：在线弹性范围内，外力在线弹性范围内，外力 P 与位移与位移 l 间呈线性关系。间呈线性关系。荷载由零

5、缓慢加载到终值；荷载由零缓慢加载到终值；变形也由零缓慢变化到终值变形也由零缓慢变化到终值第7页/共49页式中：广义力（力、力偶）广义位移（线位移、角位移）l变力作功变力作功（P 从0逐渐增加到最终值）：1 1、轴向拉伸或压缩、轴向拉伸或压缩 LPP杆的应变能杆的应变能第8页/共49页由拉压杆件组成的杆系的应变能：由拉压杆件组成的杆系的应变能：受力复杂杆受力复杂杆(轴力沿杆的轴线变化轴力沿杆的轴线变化)的应变能的应变能P2PKBCD12345qLxdx第9页/共49页2 2、圆截面杆的扭转应变能、圆截面杆的扭转应变能圆截面杆的应变能圆截面杆的应变能 m第10页/共49页受力复杂的圆截面杆受力复杂

6、的圆截面杆(扭矩沿杆的轴线为变量扭矩沿杆的轴线为变量)xdxLtAB第11页/共49页3 3、平面弯曲的应变能、平面弯曲的应变能纯弯曲梁的应变能：纯弯曲梁的应变能：m第12页/共49页横力弯曲梁横力弯曲梁(弯矩沿梁的轴线为变量弯矩沿梁的轴线为变量)的应变能的应变能（忽略剪力影响）（忽略剪力影响）Pm=PaACBaa第13页/共49页一、一、克拉贝依隆原理克拉贝依隆原理13-3 应变能的普遍表达式应变能的普遍表达式广义力广义力P1，P2，Pn作用作用于物体，且设按同一比例系于物体，且设按同一比例系数数从零增长到终值。从零增长到终值。相应地物体产生变形相应地物体产生变形1，2，n，对于线性弹性材料

7、，则变形也将按相同比例对于线性弹性材料，则变形也将按相同比例增加；增加；P2P1Pn12 2n第14页/共49页从从0到到1 外力做功外力做功 物体的应变能为克拉贝依隆原理克拉贝依隆原理第15页/共49页组合变形时的变形能组合变形时的变形能，杆件在拉（压）、剪切、扭转和弯曲这些基本变形共同作用下第16页/共49页例 试分别计算图示各梁的变形能 例图第17页/共49页解：求各梁的变形能 从例 可看出 abc第18页/共49页13-4 互等定理互等定理考虑两组力考虑两组力P，Q作用于物体作用于物体;第一组力有第一组力有m个载荷个载荷P1，P2，Pm;第二组力有第二组力有n个载荷个载荷Q1，Q2，Q

8、n。第19页/共49页若先将第一组力若先将第一组力Pi（i=1,2,m）力做功力做功P1PiP1PiQ1QjQ1QjQj在其相应位移在其相应位移 上做功为上做功为 随后作用上第二组力随后作用上第二组力Qj（j=1,2,n）第20页/共49页因为因为Pi力的存在，且已达到终值且值不变；力的存在，且已达到终值且值不变；Pi在在Qj产生的位移产生的位移 做功做功P1PiP1PiQ1QjQ1QjPiP1第二组力第二组力Qj引起第一组力的作用点的位移引起第一组力的作用点的位移第21页/共49页先加先加P后加后加Q时做功总和为：时做功总和为：将加载次序反过来，先加力将加载次序反过来，先加力Q后加力后加力P

9、，Qj在相应在相应位移位移 上做功为：上做功为：再加再加Pi(i=1,2,m)力，力，Pi在其相应位移在其相应位移 做功做功第22页/共49页同时物体上已作用有同时物体上已作用有Qj且其值不变，且其值不变，Qj在由于在由于Pi引起的引起的Qj作用点沿作用点沿Qj方向的位移方向的位移 上做功上做功两组力所做的总功为：两组力所做的总功为：第23页/共49页由于变形能只决定于力与位移的最终值，与加力次由于变形能只决定于力与位移的最终值，与加力次序无关，故有序无关，故有V1=V2，功的互等定理功的互等定理第24页/共49页位移互等定理位移互等定理设两组力设两组力Pi、Qj只有一个力只有一个力P1、Q1

10、作用于物体，作用于物体，若若 ，则有，则有位移互等定理位移互等定理F2F1位移发生点荷载作用点荷载作用点第25页/共49页F2F1第26页/共49页功的互等定理:位移互等定理:第27页/共49页APLaB例题：装有尾顶针的车削工件可简化成超静定梁，例题：装有尾顶针的车削工件可简化成超静定梁，如图，试用互等定理求解。如图，试用互等定理求解。第28页/共49页第一组力：第一组力：第二组力第二组力第一组力在第二组力引起的位移上做功第一组力在第二组力引起的位移上做功APLaBRP、RX=112X=1第29页/共49页第二组力在第一组力引起第二组力在第一组力引起的位移上做功：的位移上做功：功互等定理功互

11、等定理 APLaBRX=112零零第30页/共49页1、相关概念相关概念 实功实功 力在其自身引起的线位移或角位移上所做的功。13-5 虚功原理虚功原理一物体在大小与方向不变的力F 作用下，沿光滑地面移动距离，力F 作的功可表示为 W=F（a）圆盘在大小与转向都不变的力偶M=2Pr作用下，转动的角位移为，力偶M 作的功为W=M（b）第31页/共49页虚位移 与做功力无关的其它因素（如其它载荷、温度改变及支座移动等）造成的位移；虚功力在虚位移上所做的功。悬臂杆，外力 F 在环境温度变化引起的变形l上作的功为:W=Fl （c）这个功就是虚功。ABFll第32页/共49页右图所示为外力作用下处于平衡

12、状态的杆件，图中实曲线为杆件实际受力下的真实变形。再由其它因素（如其它载荷、温度改变及支座移动等），继续引起杆件产生变形，并位移到虚线位置，这种增加的位移称为“虚位移”，图中：D*。虚功为恒力做功，故没有1/2的系数，其表达式为：第33页/共49页2、虚功原理若以表示杆件上的外力（广义力），表示外力作用点沿外力方向的虚位移，产生虚位移中外力保持不变，则其总虚功为：（a）杆件在外载作用下，形成一“力状态”，同时在其他因素作用下产生一“位移状态”，则力状态的力就会在位移状态的位移上做虚功第34页/共49页而按另一种方法计算总虚功，取右图所示微段，分析表明：只有两端内力在其虚变形上做虚功，为（b）积

13、分式（b）得杆件的总虚功为（c）第35页/共49页按上述两种方式求得的总虚功应相等，即：(a)=(c)为上式就是虚功原理虚功原理，即：在虚位移中，外力所作虚功等于内力在相应虚变形上所作虚功（虚应变能）。若杆件上还有扭转力偶矩Me1,Me2,；则微段内力就会存在扭矩Mx，此时上式表示为（e）（d）第36页/共49页常见应用:（1）虚设位移状态，可求出相应未知力；称为虚位移原理。（2）虚设力状态，可求出相应位移；称为虚力原理，见下节莫尔积分。第37页/共49页1 单位载荷法单位载荷法 利用虚功原理可导出计算结构一点位移的单位载荷法，具体步骤如下：就在结构的位移点沿位移方向虚设一单位力（如图b所示）

14、。为求结构任一指定位移D（如图a所示）；位移状态力状态把图（b）作为虚功原理的力状态，再把图（a）作为其位移状态，则虚功原理可化为：13-6 莫尔积分莫尔积分（13.1）第38页/共49页对以抗弯为主的杆件，（13.1）式化为：对只有轴力的拉伸或压缩杆件，（13.1）式化为：（13.3）若轴力沿杆轴线为常量，（13.3）式化为：（13.4）（13.5）（13.2）同理，对受扭杆件，亦可推导得：第39页/共49页注意点:（1）单位载荷法中的单位力，可为一个力或力偶，也可是广义力。（2）以上诸式中的D，是单位力作功1D的缩写，若其结果为正，表示D和单位力方向相同，为负则相反。第40页/共49页在线

15、弹性下，则杆件的弯曲、拉伸和扭转变形分别是：（13.7）故线弹性下，式（13.2）,（13.3）,（13.5）可简化为：（13.6）（13.8）第41页/共49页式（13.6）,（13.7）,（13.8）统称为莫尔定理，式中的积分称为莫尔积分；注意：它们只适用于线弹性结构。（13.8）对于以弯矩为主，且杆轴为曲线的结构，其莫尔积分可由式（13.6）改写为：（13.9）（13.7）（13.6）第42页/共49页步骤：1 1.写出原结构在真实荷载作用下的弯矩方程写出原结构在真实荷载作用下的弯矩方程 M M；2.2.构造虚力状态，沿计算方向加单位力（广义）；构造虚力状态，沿计算方向加单位力（广义）；

16、3.3.写出原结构只在单位力作用下的弯矩方程写出原结构只在单位力作用下的弯矩方程（坐标系必须与第一步求弯矩方程所用的相同）4.4.计算计算计算计算Mohr Mohr 积分（刚积分（刚积分（刚积分（刚架中全架中全架中全架中全部杆件，略部杆件，略部杆件，略部杆件，略 去去去去F FN N,F ,F Q Q）；）；）；）；5.5.结果若为正，位移方向与单位力相同，负则相反；结果若为正，位移方向与单位力相同，负则相反；结果若为正，位移方向与单位力相同，负则相反；结果若为正，位移方向与单位力相同，负则相反；第43页/共49页例题：图（a）所示均布载荷作用下的悬臂梁，其EI 为常数。试用莫尔积分计算梁端点

17、A竖直位移DA。解：位移状态力状态分别计算图（a），（b）的弯矩方程：构建一虚拟力状态：图（b）代入莫尔积分公式有：第44页/共49页试用莫尔定理求截面试用莫尔定理求截面B点的垂直位移和水平位移点的垂直位移和水平位移.(1)求求B点的垂直位移点的垂直位移,在在B点加垂直单位力点加垂直单位力1如图如图(b)所示所示.(2)求B点的水平位移,在B点加水平单位力1如图(c)所示.图(a)RFBA1图(b)RBAR1BA图(c)第45页/共49页用能量法求C点的挠度和转角。梁为等截面直梁。解：画单位载荷图写内力方程BAaaCqBAaaC0P=1x第46页/共49页变形BAaaC0P=1BAaaCqx()第47页/共49页求转角，重建坐标系（如图）qBAaaCx2x1BAaaCM=1d)()()(0)(0+=aBCaABxEIxMdxEIxM=0第48页/共49页感谢您的观看！第49页/共49页