高等数学不定积分精选PPT讲稿.ppt

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1、关于高等数学不定积分第一页，讲稿共七十六页哦二、二、基本积分表基本积分表 三、不定积分的性质三、不定积分的性质一、一、原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念第一节机动 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分的概念与性质 第二页，讲稿共七十六页哦一、一、原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念引例引例:一个质量为一个质量为 m 的质点的质点,下沿直线运动下沿直线运动,在变力在变力试求质点的运动速度试求质点的运动速度机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律,加速度加速度因此问题转化为因此问题转化为:已知已知求求第三页，讲稿共七十六页哦机

2、动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 在区间在区间 I 上的一个原函数上的一个原函数.定义定义 1.若在区间若在区间 I 上定义的两个函数上定义的两个函数 F(x)及及 f(x)满足满足则称则称 F(x)为为f(x)问题问题:1.在什么条件下在什么条件下,一个函数的原函数存在一个函数的原函数存在?2.若原函数存在若原函数存在,它如何表示它如何表示?第四页，讲稿共七十六页哦 定理定理.存在原函数存在原函数.初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数初等函数在定义区间上有原函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五页，讲稿共七十六页哦定理定理

3、.原函数都在函数族原函数都在函数族(C 为任意常数为任意常数)内内.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 积分号积分号;被积函数被积函数;被积表达式被积表达式.积分变量积分变量;定义定义 2.在区间在区间 I 上的原函数全体称为上的原函数全体称为上的不定积分上的不定积分,其中其中记作记作常数常数C不能丢掉不能丢掉若若则则(C 为任意常数为任意常数)第六页，讲稿共七十六页哦不定积分的几何意义不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的原函数的图形称为的图形的图形的所有积分曲线组成的所有积分曲线组成的平行曲线族的平行曲线族.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结

4、束 的的积分曲线积分曲线.第七页，讲稿共七十六页哦例例1.设曲线通过点设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程求此曲线的方程.解解:所求曲线过点所求曲线过点(1,2),故有故有因此所求曲线为因此所求曲线为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第八页，讲稿共七十六页哦第二节不定积分的概念与性质 第九页，讲稿共七十六页哦二、二、基本积分表基本积分表 p170-171从不定积分定义可知从不定积分定义可知:或或或或机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第十页，讲稿共七十六

5、页哦例例2.求求例例3.求求机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第十一页，讲稿共七十六页哦三、不定积分的性质三、不定积分的性质推论推论:若若则则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十二页，讲稿共七十六页哦例例4.求求解解:原式原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十三页，讲稿共七十六页哦例例5.求求解解:原式原式=例例6.求求解解:原式原式=机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第十四页，讲稿共七十六页哦例例7.求求解解:原式原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十五页，讲稿共七十六页哦内容小结内容小结1.不定积分的概念不定积分的概念

6、 原函数与不定积分的定义原函数与不定积分的定义 不定积分的性质不定积分的性质 基本积分表基本积分表2.直接积分法直接积分法:利用利用恒等变形恒等变形,及及 基本积分公式基本积分公式进行积分进行积分.常用恒等变形方法常用恒等变形方法分项积分分项积分加项减项加项减项利用三角公式利用三角公式,代数公式代数公式,积分性质积分性质机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第十六页，讲稿共七十六页哦思考与练习思考与练习1.若若提示提示:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第十七页，讲稿共七十六页哦2.若若是是的原函数的原函数,则则提示提示:已知已知机动 目录 上页

7、 下页 返回 结束 第十八页，讲稿共七十六页哦3.若若的导函数为的导函数为则则的一个原函数的一个原函数是是().提示提示:已知已知求求即即B?或由题意或由题意其原函数为其原函数为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第十九页，讲稿共七十六页哦4.求下列积分求下列积分:提示提示:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二十页，讲稿共七十六页哦5.求不定积分求不定积分解：解：机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二十一页，讲稿共七十六页哦6.已知已知求求 A,B.解解:等式两边对等式两边对 x 求导求导,得得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返

8、回 结束结束 第二十二页，讲稿共七十六页哦二、第二类换元法二、第二类换元法第三三节一、第一类换元法一、第一类换元法机动 目录 上页 下页 返回 结束 换元积分法 第四章第四章 第二十三页，讲稿共七十六页哦第二类换元法第二类换元法第一类换元法第一类换元法基本思路基本思路 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设可导,则有第二十四页，讲稿共七十六页哦一、第一类换元法一、第一类换元法定理定理1.则有换元则有换元公式公式(也称也称配元法配元法即即,凑微分法凑微分法)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二十五页，讲稿共七十六页哦例例1.求求解解:令则则故故原式原式=注注:当时时机动 目录 上页 下页 返

9、回 结束 第二十六页，讲稿共七十六页哦例例2.求求解解:令令则则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二十七页，讲稿共七十六页哦例例3.求求解解:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二十八页，讲稿共七十六页哦例例4.求求解解:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 类似类似第二十九页，讲稿共七十六页哦例例5.求求解解:原式原式=机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第三十页，讲稿共七十六页哦第三十一页，讲稿共七十六页哦例例6.求求解解:原式原式=机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束

10、 第三十二页，讲稿共七十六页哦例例7.求求解解:原式原式=例例8.求求解解:原式原式=机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第三十三页，讲稿共七十六页哦例例9.求求解法解法1解法解法2 两法结果一样两法结果一样机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第三十四页，讲稿共七十六页哦例例10.求求机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三十五页，讲稿共七十六页哦例例11.求求解解:原式原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三十六页，讲稿共七十六页哦例例12.求求解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三十七页，讲稿共七十六页哦例例13.求求解解:原式

11、原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三十八页，讲稿共七十六页哦例例14.求求解解:原式原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 分析分析:第三十九页，讲稿共七十六页哦1.求求提示提示:法法1法法2法法3作业 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习第四十页，讲稿共七十六页哦二、第二类换元法二、第二类换元法机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第一类换元法解决的问题第一类换元法解决的问题难求难求易求易求若所求积分若所求积分易求易求,则得第二类换元积分法则得第二类换元积分法.难求，难求，第四十一页，讲稿共七十六页哦定理定理2.设设是单调可导函数是单调可导函数

12、,且且具有原函数具有原函数,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 则有换元公式则有换元公式第四十二页，讲稿共七十六页哦例例16.求求解解:令令则则 原式原式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第四十三页，讲稿共七十六页哦例例17.求求解解:令令则则 原式原式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第四十四页，讲稿共七十六页哦例例18.求求解解:令令则则 原式原式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第四十五页，讲稿共七十六页哦令令于是于是机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第四十六页

13、，讲稿共七十六页哦原式原式例例19.求求解解:令令则则原式原式当当 x 0 时时,类似可得同样结果类似可得同样结果.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第四十七页，讲稿共七十六页哦解解:原式原式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例20.求求第四十八页，讲稿共七十六页哦例例21.求求解解:原式原式=机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第四十九页，讲稿共七十六页哦例例22.求求解解:令令得得原式原式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第五十页，讲稿共七十六页哦思考与练习思考与练习下列积分应如何换元才

14、使积分简便下列积分应如何换元才使积分简便?令令令令令令机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第五十一页，讲稿共七十六页哦第三节第三节由导数公式由导数公式积分得积分得:分部积分公式分部积分公式或或1)v 容易求得容易求得;容易计算容易计算.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 分部积分法分部积分法 第四章第四章 第五十二页，讲稿共七十六页哦例例1.求求解解:令令则则 原式原式思考思考:如何求如何求提示提示:令令则则原式原式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第五十三页，讲稿共七十六页哦例例2.求求解解:令令则则原式原式=机动机动

15、 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第五十四页，讲稿共七十六页哦例例3.求求解解:令令则则 原式原式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第五十五页，讲稿共七十六页哦例例4.求求解解:令令,则则 原式原式再令再令,则则故故 原式原式=机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第五十六页，讲稿共七十六页哦解题技巧解题技巧:把被积函数视为两个函数之积把被积函数视为两个函数之积,按按“反对幂指三反对幂指三”的的顺序顺序,前者为前者为 后者为后者为例例5.求求解解:令令,则则原式原式=机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 反

16、反:反三角函数反三角函数对对:对数函数对数函数幂幂:幂函数幂函数指指:指数函数指数函数三三:三角函数三角函数第五十七页，讲稿共七十六页哦例例6.求求解解:令令则则原式原式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 令令第五十八页，讲稿共七十六页哦例例7.已知已知的一个原函数是的一个原函数是求求解解:说明说明:此题若先求出此题若先求出再求积分反而复杂再求积分反而复杂.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第五十九页，讲稿共七十六页哦第六十页，讲稿共七十六页哦思考与练习思考与练习下述运算错在哪里下述运算错在哪里?应如何改正应如何改正?得得 0=1答答:不定积分

17、是原函数族不定积分是原函数族,相减不应为相减不应为 0.求此积分的正确作法是用换元法求此积分的正确作法是用换元法.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第六十一页，讲稿共七十六页哦第四节第四节机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 有理函数的积分有理函数的积分 第四章第四章 第六十二页，讲稿共七十六页哦一、一、有理函数的积分有理函数的积分有理函数有理函数:时时,为假分式为假分式;时时,为真分式为真分式有理函数有理函数相除相除多项式多项式+真分真分 式式分解分解其中部分分式的形式为其中部分分式的形式为若干部分分式之和若干部分分式之和机动机动 目录目录 上

18、页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第六十三页，讲稿共七十六页哦例例1.将下列真分式分解为部分分式将下列真分式分解为部分分式:解解:(1)用拼凑法用拼凑法机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第六十四页，讲稿共七十六页哦(2)用赋值法用赋值法故故机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第六十五页，讲稿共七十六页哦(3)混合法混合法机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 原式原式=第六十六页，讲稿共七十六页哦四种典型部分分式的积分四种典型部分分式的积分:机动 目录 上页 下页 返回 结束 变分子为 再分项积分 第六十七页，讲稿共七十

19、六页哦例例2.求求解解:已知已知例例1(3)1(3)目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第六十八页，讲稿共七十六页哦例例3.求求解解:原式原式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第六十九页，讲稿共七十六页哦例例4.求求解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法简便的方法.第七十页，讲稿共七十六页哦例例5.求求解解:原式原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第七十一页，讲

20、稿共七十六页哦二二.简单无理函数的积分简单无理函数的积分被积函数为简单根式的有理式被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换可通过根式代换 化为有理函数的积分化为有理函数的积分.例如例如:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 令令令令令令第七十二页，讲稿共七十六页哦例例6.求求解解:令令则则原式原式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第七十三页，讲稿共七十六页哦例例7.求求解解:为去掉被积函数分母中的根式为去掉被积函数分母中的根式,取根指数取根指数 2,3 的的最小公倍数最小公倍数 6,则有则有原式原式令令机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第七十四页，讲稿共七十六页哦例例8.求求解解:令令则则原式原式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第七十五页，讲稿共七十六页哦10.04.2023感感谢谢大大家家观观看看第七十六页，讲稿共七十六页哦