计算机辅助几何设计.ppt

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1、计算机辅助几何设计现在学习的是第1页，共52页CAD中由已知曲线或曲面的数学方程生成的曲线曲中由已知曲线或曲面的数学方程生成的曲线曲面称为规则曲线曲面，常用隐函数或二次方程的显面称为规则曲线曲面，常用隐函数或二次方程的显函数表示。但在汽车、轮船、飞机、模具、艺术品函数表示。但在汽车、轮船、飞机、模具、艺术品等产品设计中，存在大量的不能用二次曲面描述的等产品设计中，存在大量的不能用二次曲面描述的曲线曲面，这类曲线曲面称为自由曲线（曲线曲面，这类曲线曲面称为自由曲线（Free Form Curves）和自由曲面（）和自由曲面（Free Form Surfaces），这是），这是计算机辅助几何设计研

2、究的主要几何形状。计算机辅助几何设计研究的主要几何形状。现在学习的是第2页，共52页5.1 自由曲线自由曲线5.1.1 曲线曲面描述的基本原理曲线曲面描述的基本原理5.1.2 Hermite曲线曲线5.1.3 Bezier曲线曲线5.1.4 B样条曲线样条曲线5.1.5 非均匀有理非均匀有理B样条（样条（NURBS）曲线）曲线现在学习的是第3页，共52页5.1.1 曲线曲面描述的基本原理曲线曲面描述的基本原理 自由曲线可以是由一系列的小曲线段连接而成，自由曲自由曲线可以是由一系列的小曲线段连接而成，自由曲面可以是由无数个小的曲面片拼合而成。因此，曲线曲面的面可以是由无数个小的曲面片拼合而成。因

3、此，曲线曲面的研究重点是曲线段或曲面片的描述及其连接拼合方法。研究重点是曲线段或曲面片的描述及其连接拼合方法。1.几何设计的基本概念几何设计的基本概念在自由曲线和曲面描述中常用三种类型的点：在自由曲线和曲面描述中常用三种类型的点：（1）特征点（控制顶点）：用来确定曲线曲面的形状位置，）特征点（控制顶点）：用来确定曲线曲面的形状位置，但曲线或曲面不一定经过该点。但曲线或曲面不一定经过该点。（2）型值点：用于确定曲线或曲面的位置与形状并且型值点：用于确定曲线或曲面的位置与形状并且经过该点。经过该点。现在学习的是第4页，共52页 在曲线曲面设计中，通常是用一组离散的型值点或特征点在曲线曲面设计中，通

4、常是用一组离散的型值点或特征点来定义和构造几何形状，并且所构造的曲线曲面应满足光顺的来定义和构造几何形状，并且所构造的曲线曲面应满足光顺的要求。这种曲线曲面定义的主要方法是插值和逼近。要求。这种曲线曲面定义的主要方法是插值和逼近。（1）插值：给定一组精确的数值点，要求构造一个函数，）插值：给定一组精确的数值点，要求构造一个函数，使之严格地依次通过全部型值点，且满足光顺的要求。使之严格地依次通过全部型值点，且满足光顺的要求。（2）逼近：对于一组给定的控制顶点，要求构造一个函数，）逼近：对于一组给定的控制顶点，要求构造一个函数，使之在整体上最接近这些控制点而不一定通过这些点。使之在整体上最接近这些

5、控制点而不一定通过这些点。（3）光滑）光滑(smooth)：从数学意义上讲，光滑是指曲线或曲面具：从数学意义上讲，光滑是指曲线或曲面具有至少一阶连续导数。有至少一阶连续导数。（4）光顺）光顺(fair)：至今仍是一个模糊的概念，尚无统一的标准。：至今仍是一个模糊的概念，尚无统一的标准。一方面有主观的因素，另一方面与应用背景相关。但仍有一些客观一方面有主观的因素，另一方面与应用背景相关。但仍有一些客观标准及处理方法。标准及处理方法。现在学习的是第5页，共52页 曲线曲面可以用隐函数、显函数或参数方程表示。用隐函数表曲线曲面可以用隐函数、显函数或参数方程表示。用隐函数表示不直观，作图不方便（如示不

6、直观，作图不方便（如ax+by+c=0）；用显函数表示存在多值性）；用显函数表示存在多值性（如（如x2+y2=r2）和斜率无穷大（如和斜率无穷大（如y=mx+b）等问题。此外，隐函数和）等问题。此外，隐函数和显函数只适合表达简单、规则的曲线曲面。显函数只适合表达简单、规则的曲线曲面。自由曲线曲面多用参数方程表示，相应地称为参数曲线或参自由曲线曲面多用参数方程表示，相应地称为参数曲线或参数曲面。数曲面。空间的一条曲线可以表示成随参数空间的一条曲线可以表示成随参数t变化的运动点的轨迹，其矢量函数为：变化的运动点的轨迹，其矢量函数为：P(t)=P(x(t),y(t),z(t)，t 的范围是的范围是

7、0,1同理，空间中的一张曲面可用参数同理，空间中的一张曲面可用参数(u,v)表示为：表示为：P(u,v)=P(x(u,v),y(u,v),z(u,v)，(u,v)的范围是的范围是 0,10,12.曲线曲面的数学描述方法曲线曲面的数学描述方法现在学习的是第6页，共52页用参数表示曲线曲面的优点：用参数表示曲线曲面的优点：（1）具有几何不变性。某些几何性质不随一定的坐标变换而变化的）具有几何不变性。某些几何性质不随一定的坐标变换而变化的性质称为几何不变性。曲线形状本质上与坐标系的选取无关。性质称为几何不变性。曲线形状本质上与坐标系的选取无关。（2）可以处理无穷大的斜率。）可以处理无穷大的斜率。dy

8、/dx=(dy/dt)/(dx/dt)（3)参数方程将自变量和因变量完全分开，使得参数变化对各因参数方程将自变量和因变量完全分开，使得参数变化对各因变量的影响可以明显地表示出来。变量的影响可以明显地表示出来。（4）可以处理多值曲线。）可以处理多值曲线。（5）规格化参数变量，使其相应的几何分量是有界的。）规格化参数变量，使其相应的几何分量是有界的。由于参数限制由于参数限制在在0到到1的闭区间之内，因而所表示的曲线总是有界的，不需另设其的闭区间之内，因而所表示的曲线总是有界的，不需另设其他数据来定义其边界。他数据来定义其边界。（6）对曲线曲面形状控制的自由度更大。如一条二维三次曲线的显）对曲线曲面

9、形状控制的自由度更大。如一条二维三次曲线的显式表示为：式表示为：现在学习的是第7页，共52页 （7）易于用矢量和矩阵表示几何量，从而简化了计算。易于用矢量和矩阵表示几何量，从而简化了计算。其中只有其中只有4个系数可控制曲线的形状，而对于其参数表示为：个系数可控制曲线的形状，而对于其参数表示为：其中有其中有8个系数可用来控制曲线的形状。个系数可用来控制曲线的形状。现在学习的是第8页，共52页5.1.2 Hermite曲线曲线Hermite曲线是给定曲线段的两个端点坐标以及两曲线是给定曲线段的两个端点坐标以及两端点处的切线矢量来描述曲线。空间一条三次参数端点处的切线矢量来描述曲线。空间一条三次参数

10、曲线可以表示为：曲线可以表示为：该曲线的矢量表达式为：该曲线的矢量表达式为：应用端点应用端点P0P0和和P1P1，以及端点切矢，以及端点切矢P0P0和和P1P1,可得：可得：现在学习的是第9页，共52页矩阵表达式为矩阵表达式为：于是，于是，现在学习的是第10页，共52页5.1.3 Bezier曲线曲线1962年，年，Bezier提出了一种自由曲线曲面的设计方提出了一种自由曲线曲面的设计方法，称为法，称为Bezier方法。其具体设计过程是：方法。其具体设计过程是：从模型或手绘草图上取得数据后，用绘图工具绘从模型或手绘草图上取得数据后，用绘图工具绘出曲线图，然后从这张图上大致定出出曲线图，然后从这

11、张图上大致定出Bezier特征特征多边形各控制顶点的坐标值，并输入计算机进行多边形各控制顶点的坐标值，并输入计算机进行交互的几何设计，调整特征多边形顶点的位置，交互的几何设计，调整特征多边形顶点的位置，直到得出满意的结果为止；最后用绘图机绘出曲直到得出满意的结果为止；最后用绘图机绘出曲线样图。线样图。现在学习的是第11页，共52页1.Bezier曲线定义曲线定义在空间给定在空间给定n+1个控制顶点个控制顶点Pi(I=0,1,n)，称下列，称下列 参数曲参数曲线为线为n次次Bezier曲线。曲线。称为伯恩斯坦基函数（称为伯恩斯坦基函数（Bernstein Basis）。）。一般称折线一般称折线为

12、为P(t)的控制多边形；称的控制多边形；称各点为各点为P(t)的控制顶点。的控制顶点。现在学习的是第12页，共52页 （1）三次）三次Bezier曲线曲线常用常用 的三次的三次Bezier曲线，由曲线，由4个控制顶点确定。容易算出，个控制顶点确定。容易算出，与其对应的与其对应的4个个Bernstein基函数为：基函数为：相应的相应的Bezier 曲线为曲线为现在学习的是第13页，共52页（2）二次）二次Bezier曲线曲线二次二次Bezier曲线由三个控制顶点确定，此时，相应的曲线由三个控制顶点确定，此时，相应的曲线表达式为曲线表达式为对应于一条抛物线。对应于一条抛物线。（3）一次）一次Bez

13、ier曲线曲线一次一次Bezier曲线由两个控制顶点确定，此时，相应曲线由两个控制顶点确定，此时，相应的曲线表达式为的曲线表达式为这是一条连接这是一条连接P0和和P1的直线段。的直线段。现在学习的是第14页，共52页2.Bezier曲线的程序设计曲线的程序设计实际应用的主要是三次实际应用的主要是三次Bezier曲线。利用它的参数表达式在曲线。利用它的参数表达式在区间区间(0,1)内取多个值，例如内取多个值，例如100，计算出这，计算出这100个值对应的个值对应的坐标点，依次连接这些点就得到一条坐标点，依次连接这些点就得到一条Bezier曲线。曲线。为程序设计方便，改写曲线的表达式为：为程序设计

14、方便，改写曲线的表达式为：现在学习的是第15页，共52页注意：再添加一个注意：再添加一个z 坐标，就可得到空间坐标，就可得到空间Bezier曲线曲线。现在学习的是第16页，共52页3.Bezier曲线的性质曲线的性质在在Bernstein基函数基函数中，中，n为基本曲线的次数，为基本曲线的次数，i为基函数的序号。由排列组合为基函数的序号。由排列组合和导数运算规律可以推导出和导数运算规律可以推导出Bernstein基函数的如下性质：基函数的如下性质：（1）正性（非负性）：）正性（非负性）：（2）权性：）权性：（3）对称性：对称性：（4）导数性质：）导数性质：（5）递推性质：）递推性质：现在学习的

15、是第17页，共52页Bezier曲线的一些性质：曲线的一些性质：1）端点性质）端点性质曲线经过特征多边形的首末点。因为曲线经过特征多边形的首末点。因为曲线曲线P(t)在在P0点与边点与边P0P1相切，在相切，在Pn 点与点与2）对称性）对称性由由Bernstein基函数的对称性可知，控制点的次序完全颠基函数的对称性可知，控制点的次序完全颠倒过来后，曲线的形状不变，但走向相反。这表明倒过来后，曲线的形状不变，但走向相反。这表明,同一同一特征多边形定义的特征多边形定义的Bezier曲线是惟一的曲线是惟一的.相切。因为相切。因为现在学习的是第18页，共52页（3）凸包性凸包性所以，所以，P(t)是是

16、P0,P1,Pn凸线性组合。凸线性组合。这证明这证明Bezier曲线完全被包曲线完全被包在其特征多边形的凸包内。在其特征多边形的凸包内。所以，控制顶点所以，控制顶点P0,P1,Pn的凸包为的凸包为:现在学习的是第19页，共52页（5）交互能力）交互能力（4）几何不变性几何不变性由给定控制顶点所确定的由给定控制顶点所确定的Bezier曲线的形状与坐标系的选取曲线的形状与坐标系的选取无关。此性质就是无关。此性质就是Bezier曲线的几何不变性。曲线的几何不变性。几何不变性对几何图形来说是一种很重要的性质。在计算几何不变性对几何图形来说是一种很重要的性质。在计算机图形学中经常要作坐标变换，如果同一表

17、示式在不同坐机图形学中经常要作坐标变换，如果同一表示式在不同坐标系下表示不同的曲线，则会给图形变换带来很多不便之标系下表示不同的曲线，则会给图形变换带来很多不便之处。处。控制多边形控制多边形P0P1Pn大致地勾画出大致地勾画出Bezier曲线曲线P(t)的形状。的形状。要改变要改变P(t)的形状，只要改变的形状，只要改变P0,P1,Pn的位置即可的位置即可。现在学习的是第20页，共52页（6）变差减小性）变差减小性（7）保凸性）保凸性如果如果Bezier曲线曲线P(t)的控制多边形的控制多边形P0P1Pn是一平面图是一平面图形，则该平面内的任意直线与形，则该平面内的任意直线与P(t)的交点个数

18、不多于该的交点个数不多于该直线与控制多边形直线与控制多边形P0P1Pn交点的个数，这一性质称为交点的个数，这一性质称为变差减小性。变差减小性。此性质说明此性质说明Bezier曲线比控制多边形所曲线比控制多边形所在的折线更光顺。在的折线更光顺。如果平面上的凸控制多边形能导致所生成的曲线为凸曲线，如果平面上的凸控制多边形能导致所生成的曲线为凸曲线，则称这个曲线生成的方法具有保凸性。则称这个曲线生成的方法具有保凸性。我们将控制多边形的终点与起点连起来，如果这样形成一个我们将控制多边形的终点与起点连起来，如果这样形成一个闭的凸多边形，则相应的闭的凸多边形，则相应的Bezier曲线是一个凸的平面曲线。曲

19、线是一个凸的平面曲线。此性质就是此性质就是Bezier 曲线的保凸性。曲线的保凸性。现在学习的是第21页，共52页4.Bezier曲线的拼接与反算曲线的拼接与反算Bezier曲线的次数是由其控制顶点确定的。常用的三次曲线的次数是由其控制顶点确定的。常用的三次Bezier曲线由四个控制顶点确定。曲线由四个控制顶点确定。多控制点多控制点(n4)的三次的三次Bezier曲线存在着几条曲线的拼接问题，曲线存在着几条曲线的拼接问题，其关键问题是如何保持拼接处的连续性。不同的问题在连接点其关键问题是如何保持拼接处的连续性。不同的问题在连接点处对连续性有不同的要求，常用到的有以下几种：处对连续性有不同的要求

20、，常用到的有以下几种：连续连续参数连续参数连续:切矢同向且模长相等切矢同向且模长相等.几何连续几何连续:切矢同向切矢同向.1)拼接拼接现在学习的是第22页，共52页P1P0P3=Q0Q2Q1P2Q3设设P(t)是是Pi(i=0,1,2,3)确定确定的三次的三次Bezier曲线曲线;Q(t)是是Qi(i=0,1,2,3)确定的确定的三次三次Bezier曲线曲线.P3=Q0,满足满足1)两曲线在连接点达到一阶导数连续的条件为两曲线在连接点达到一阶导数连续的条件为0=t=1即即亦即亦即,P2、P3(Q0)和和Q1共线，且共线，且P2、Q1在在P3的异侧。的异侧。现在学习的是第23页，共52页2）两曲

21、线在连接点达到二阶导数连续的条件为）两曲线在连接点达到二阶导数连续的条件为由由可得可得根据以上条件，可以调整根据以上条件，可以调整P(t)和和Q(t)这两段曲线，使得在连接这两段曲线，使得在连接点处达到一阶几何或导数连续：点处达到一阶几何或导数连续：步骤步骤1：平移多边形：平移多边形使使Q0与与P3重合。重合。步骤步骤2：围绕：围绕Q0转动多边形转动多边形使使与与平行且同向（或模长相等）。平行且同向（或模长相等）。P1P0P3=Q0Q2Q1P2Q3现在学习的是第24页，共52页 所谓曲线控制顶点的反算是指由曲线上的一系列点（称所谓曲线控制顶点的反算是指由曲线上的一系列点（称 之为型值点）反求出

22、该曲线的一系列控制顶点的过程。之为型值点）反求出该曲线的一系列控制顶点的过程。如果给定如果给定 n+1个型值点个型值点,要求一系列控要求一系列控制点，由这些控制点定义的一条制点，由这些控制点定义的一条Bezier曲线通过已知的曲线通过已知的型值点，这与平常给定控制点求型值点的过程恰好相反。型值点，这与平常给定控制点求型值点的过程恰好相反。设所求的控制点为设所求的控制点为，它定义的它定义的Bezier曲线为曲线为P(t),满足满足，于是，于是注意：注意：t的取法不同，反求的控制顶点不同。的取法不同，反求的控制顶点不同。2)反算反算现在学习的是第25页，共52页5.1.4 B样条曲线样条曲线 Be

23、zier曲线是通过逼近特征多边形而获得曲线的，曲线是通过逼近特征多边形而获得曲线的，存在的不足是：存在的不足是：1）缺乏局部修改性）缺乏局部修改性,即改变某一控制点对整个曲线都有即改变某一控制点对整个曲线都有影响影响.2）n较大时，特征多边形的边数较多较大时，特征多边形的边数较多,对曲线的控制减弱。对曲线的控制减弱。1972年，年，Riesenfeld等提出了等提出了B样条曲线。样条曲线。用用B样条基函数代替样条基函数代替Bernstein基函数；基函数；i逼近特征多边形的精度更高逼近特征多边形的精度更高.i 多边形的边数与基函数的次数无关。多边形的边数与基函数的次数无关。i具有局部修改性具有

24、局部修改性.现在学习的是第26页，共52页设有控制顶点设有控制顶点P0,P1,Pn,则则k阶阶(k-1次次)B样条曲线的数学表达式为样条曲线的数学表达式为:式中式中Ni,k(t)是是k-1次次B样条曲线的基函数样条曲线的基函数.它由一个结点向量递它由一个结点向量递归定义归定义,它仅在某个局部不等于零它仅在某个局部不等于零,因而使因而使B样条曲线具有局部样条曲线具有局部可修改性可修改性.现在学习的是第27页，共52页三次均匀三次均匀B样条曲线样条曲线对于对于n+1个控制顶点个控制顶点，每四个顺序点每四个顺序点1.三次均匀三次均匀B样条曲线的表达式样条曲线的表达式一组构造相应的一段三次构造相应的一

25、段三次B样条曲线：样条曲线：其中其中N0,4(t)=1/6(1-t)3,N1,4(t)=1/6(3t3-6t2+4),N2,4(t)=1/6(-3t3+3t2+3t+1),N3,4(t)=1/6t3 现在学习的是第28页，共52页所以，所以，Pi(t)的矩阵表达式为的矩阵表达式为根据上式可以在平面直角坐标系中设计三次根据上式可以在平面直角坐标系中设计三次B样条曲线生成样条曲线生成的程序的程序.现在学习的是第29页，共52页Pi(0)Pi+3Pi+2Pi+1PiPi(0)Pi(1)Pi(1)2.三次均匀三次均匀B样条曲线段的几何特性、拼接样条曲线段的几何特性、拼接现在学习的是第30页，共52页3

26、.三次均匀三次均匀B样条曲线的边界控制与反算样条曲线的边界控制与反算P0Pn-1P1P-1PnPn+1在始端和终端各增在始端和终端各增加一个顶点加一个顶点P-1和和 Pn+1,使使P-1 P0 =P0 P1Pn-1Pn=PnPn+1则则P0(0)=P0,P0=P1-P0.终点具有类似的特性终点具有类似的特性.边界处理边界处理在实际应用中在实际应用中,往往需要所设计的往往需要所设计的B样条曲线通过控制多样条曲线通过控制多边形的起点和终点边形的起点和终点,这就需要对曲线的边界进行处理这就需要对曲线的边界进行处理.有多有多种处理方法种处理方法,现介绍一种现介绍一种:现在学习的是第31页，共52页2)

27、控制顶点的反求控制顶点的反求在实际应用中往往是知道曲线上的型值点在实际应用中往往是知道曲线上的型值点,而并不知道特征多而并不知道特征多边形顶点的位置边形顶点的位置,为构造为构造B样条曲线样条曲线,就需要由这些型值点反求就需要由这些型值点反求出特征多边形的顶点出特征多边形的顶点,这就是这就是B样条曲线顶点的反求样条曲线顶点的反求.设已知型值点列设已知型值点列Qi(i=1,2,n-1),要求一条三要求一条三次次B样条曲线经过这些点样条曲线经过这些点,求出这条曲线的控制求出这条曲线的控制顶点顶点Pi(i=0,1,n).由曲线的端点性质可得下列线性方程组由曲线的端点性质可得下列线性方程组:Pi-1+4

28、Pi+Pi+1=6Qi (i=1,2,n-1)再补充两个边界条件就可得到唯一解再补充两个边界条件就可得到唯一解.例如例如,已知已知Q1和和Qi-1处的切矢处的切矢,则有则有现在学习的是第32页，共52页把它们写成矩阵形式为把它们写成矩阵形式为现在学习的是第33页，共52页5.1.5 非均匀有理非均匀有理B样条（样条（NURBS）曲线）曲线它提供了解析曲线它提供了解析曲线(如圆锥曲线如圆锥曲线)和自由曲线统一的数学和自由曲线统一的数学描述描述,便于工程数据库的管理和应用便于工程数据库的管理和应用.NURBS曲线的定义曲线的定义:给定给定n+1个控制点个控制点Pi(i=0,1,n)及及其权因子其权

29、因子Wi(i=0,1,n),则则k阶阶(k-1次次)NURBS曲线的表达式曲线的表达式为为:缺点缺点:计算量大、当权因子为零和负值时容易引起计算计算量大、当权因子为零和负值时容易引起计算的不稳定，导致曲线畸变，因此使用的不稳定，导致曲线畸变，因此使用NURBS时应有适时应有适当的限制以保证算法的稳定性。当的限制以保证算法的稳定性。现在学习的是第34页，共52页5.2 自由曲面自由曲面 5.2.1 参数曲面的概念参数曲面的概念 5.2.2 双三次曲面片的数学表示双三次曲面片的数学表示 5.2.3 曲面的反算、拼接和互化曲面的反算、拼接和互化 5.2.4 新的自由曲面造型技术新的自由曲面造型技术现

30、在学习的是第35页，共52页5.2.1 参数曲面的概念参数曲面的概念P(u,w)=x(u,w),y(u,w),z(u,w)0=u,w=4,N=4），），则可以定义则可以定义(M-3)(N-3)个曲面片。只要个曲面片。只要4x4的子矩阵在控制顶点矩的子矩阵在控制顶点矩阵中是依次向右或依次向下移动的，就能自动保证左右相邻的曲阵中是依次向右或依次向下移动的，就能自动保证左右相邻的曲面或上下相邻的曲面片二阶连续。面或上下相邻的曲面片二阶连续。现在学习的是第47页，共52页3.互化互化双三次双三次Coons曲面、双三次曲面、双三次Bezier曲面和双三次曲面和双三次B样条样条曲面之间可以相互转化。曲面之

31、间可以相互转化。现在学习的是第48页，共52页5.2.4 新的自由曲面造型技术新的自由曲面造型技术 1.发展发展现状与存在的问题现状与存在的问题 四边域曲面的构造比较成熟。目前，主要是四边域曲面的构造比较成熟。目前，主要是 基于四边域的基于四边域的CAD/CAM系统。系统。采用采用NURBS方法作为基本几何表达形式和数方法作为基本几何表达形式和数 据交换标准据交换标准 N（N大于等于大于等于3但不等于但不等于4）边域曲面的造型）边域曲面的造型 、曲面求交、光顺等问题尚未根本解决。、曲面求交、光顺等问题尚未根本解决。现在学习的是第49页，共52页 2.一些一些新的造型方法新的造型方法 基于物理的

32、造型基于物理的造型 偏微分方程（偏微分方程（PDE）造型）造型 小波造型小波造型 参考资料：参考资料：朱心雄等著朱心雄等著 “自由曲线曲面造型技术自由曲线曲面造型技术”，科学出版社，科学出版社，2000现在学习的是第50页，共52页习题习题55-1 说明自由曲线的插值与逼近两种方法的区别说明自由曲线的插值与逼近两种方法的区别.5-2 用参数曲线描述曲线的特点是什么用参数曲线描述曲线的特点是什么?5-3 比较三次比较三次B样条曲线与三次样条曲线与三次Bezier曲线的特性。曲线的特性。5-4 试确定通过试确定通过P0(-1,0),P1(0,1),P2(1,0)这三个型值点的这三个型值点的 平面上

33、的三次平面上的三次 样条曲线样条曲线.5-5 说明说明Coons曲面、曲面、Bezier曲面和曲面和B样条曲面的表样条曲面的表 示方法及其示方法及其优缺点。优缺点。现在学习的是第51页，共52页选做题选做题5-1 推导三次推导三次Bezier曲线的反求公式并写出矩阵表现形式曲线的反求公式并写出矩阵表现形式,讨论讨论反求公式是否唯一反求公式是否唯一.5-2 编制三次编制三次Bezier曲线生成与绘图程序曲线生成与绘图程序.5-3 绘制三次绘制三次B样条基函数的曲线并与样条基函数的曲线并与Bezier曲线基函数的图形比曲线基函数的图形比较较.上机实践题之三：上机实践题之三：编程实现由编程实现由n个控制顶点定义的三次均匀个控制顶点定义的三次均匀B样条曲线的程序。样条曲线的程序。注意注意:最好考虑边界控制的情况最好考虑边界控制的情况.现在学习的是第52页，共52页