函数的增减性曲线的凹凸性与拐点精选PPT.ppt

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1、返回返回上页上页下页下页目录目录关于关于函数的增减性曲线的凹凸性与拐点函数的增减性曲线的凹凸性与拐点09.04.20231第1页，讲稿共40张，创作于星期一返回返回上页上页下页下页目录目录一、函数增减性一、函数增减性图图1图图209.04.20232第2页，讲稿共40张，创作于星期一返回返回上页上页下页下页目录目录1.利用导数来判定函数的单调性利用导数来判定函数的单调性解解 09.04.20233第3页，讲稿共40张，创作于星期一返回返回上页上页下页下页目录目录 解解 经验经验09.04.20234第4页，讲稿共40张，创作于星期一返回返回上页上页下页下页目录目录解：解：经验经验:从例从例2、

2、例、例3可以看到在讨论函数的单调性或单调区可以看到在讨论函数的单调性或单调区间时，函数的驻点或函数有定义、但一阶导数不存在的点间时，函数的驻点或函数有定义、但一阶导数不存在的点都可能成为单调区间的分界点都可能成为单调区间的分界点.09.04.20235第5页，讲稿共40张，创作于星期一返回返回上页上页下页下页目录目录求单调区间的基本步骤：求单调区间的基本步骤：（1）确定定义区间；确定定义区间；（2）求函数求函数f(x)的导数；的导数；（3）找出驻点（导数为零的点）和导数不存在点；找出驻点（导数为零的点）和导数不存在点；（4）以以驻点驻点和和导数不存在点导数不存在点为分界点，把定义区间分为分界点

3、，把定义区间分成若干个小区间，并成若干个小区间，并讨论在这些小区间上，导数的符讨论在这些小区间上，导数的符号，号，进而确定单调区间。进而确定单调区间。09.04.20236第6页，讲稿共40张，创作于星期一返回返回上页上页下页下页目录目录2.利用导数来证明不等式利用导数来证明不等式所以所以09.04.20237第7页，讲稿共40张，创作于星期一返回返回上页上页下页下页目录目录二、函数的二、函数的极极值值09.04.20238第8页，讲稿共40张，创作于星期一返回返回上页上页下页下页目录目录2.函数函数取得极取得极值值的的充充要要条件条件 说明：说明：09.04.20239第9页，讲稿共40张，

4、创作于星期一返回返回上页上页下页下页目录目录下面下面给给出判出判断极断极值值点的点的两种两种不同方法不同方法.09.04.202310第10页，讲稿共40张，创作于星期一返回返回上页上页下页下页目录目录3.第一第一充充分分条件条件（The First Sufficient Condition）（极极小小值值）09.04.202311第11页，讲稿共40张，创作于星期一返回返回上页上页下页下页目录目录（是是极极值值点点情形情形）（不是不是极极值值点点情形情形）09.04.202312第12页，讲稿共40张，创作于星期一返回返回上页上页下页下页目录目录09.04.202313第13页，讲稿共40张

5、，创作于星期一返回返回上页上页下页下页目录目录根根据据上述讨论，上述讨论，09.04.202314第14页，讲稿共40张，创作于星期一返回返回上页上页下页下页目录目录解解 所以所以09.04.202315第15页，讲稿共40张，创作于星期一返回返回上页上页下页下页目录目录解解 所以所以 09.04.202316第16页，讲稿共40张，创作于星期一返回返回上页上页下页下页目录目录4.第二第二充充分分条件条件（The Second Sufficient Condition）09.04.202317第17页，讲稿共40张，创作于星期一返回返回上页上页下页下页目录目录解题步骤：解题步骤：09.04.2

6、02318第18页，讲稿共40张，创作于星期一返回返回上页上页下页下页目录目录解解 09.04.202319第19页，讲稿共40张，创作于星期一返回返回上页上页下页下页目录目录函数的函数的最大最大值值最最小小值值（Extreme Problems）在在很多学科很多学科领领域域与与实际实际问题问题中中，经经常遇常遇到在一定到在一定条件条件下下如何如何用用料最省料最省、成本、成本最低最低、时间、时间最短最短、效益最高效益最高等问题，等问题，这这类类问题我们问题我们称称为为最最优优化问题化问题.在数在数学学上，它们上，它们常常归归结为结为求求某某一个函数（一个函数（称称为为目目标标函数函数）在）在某

7、某个个范范围围内的内的最大最大值值、最最小小值值问题（问题（简简称称为为最最值值问题问题）09.04.202320第20页，讲稿共40张，创作于星期一返回返回上页上页下页下页目录目录我们来看一下下面的我们来看一下下面的几幅几幅图：图：09.04.202321第21页，讲稿共40张，创作于星期一返回返回上页上页下页下页目录目录解解 09.04.202322第22页，讲稿共40张，创作于星期一返回返回上页上页下页下页目录目录求求最大最大值值与与最最小小值值思思路路：09.04.202323第23页，讲稿共40张，创作于星期一返回返回上页上页下页下页目录目录（解（解答答见见下页）下页）（补补充充题）

8、题）09.04.202324第24页，讲稿共40张，创作于星期一返回返回上页上页下页下页目录目录09.04.202325第25页，讲稿共40张，创作于星期一返回返回上页上页下页下页目录目录三、三、曲线的凹凸性及拐点曲线的凹凸性及拐点（Inflection Point）1、曲线凹凸的定义、曲线凹凸的定义显然，曲线显然，曲线AB与与BC 都是单调增加的，都是单调增加的，但它们单调但它们单调增加的变化方式却有所不同。增加的变化方式却有所不同。这说明：这说明：仅靠单调性来仅靠单调性来描述曲线的性态是不够的。描述曲线的性态是不够的。为此，我们有必要研究一下曲线的弯曲方向问题。为此，我们有必要研究一下曲线

9、的弯曲方向问题。09.04.202326第26页，讲稿共40张，创作于星期一定义定义:如果在某区间内曲线位于每一点处切线如果在某区间内曲线位于每一点处切线的上方，则称此曲线在该区间内是的上方，则称此曲线在该区间内是凹的凹的（或（或称称上凹上凹）(concave)；如果在某区间内曲线位；如果在某区间内曲线位于每一点处切线的下方，则称此曲线在该区于每一点处切线的下方，则称此曲线在该区间内是间内是凸的凸的（或称（或称下凹下凹）(convex)。连续曲线凹弧与凸弧的分界点称为曲线连续曲线凹弧与凸弧的分界点称为曲线的的拐点拐点(inflection point)。高等数学 第二章 第四节 06-04第2

10、7页，讲稿共40张，创作于星期一09.04.202327x1x2xyo 1 2凹凹(concave)高等数学 第二章 第四节 06-05第28页，讲稿共40张，创作于星期一09.04.202328xyo 1 2x2x1凸凸(convex)高等数学 第二章 第四节 06-06第29页，讲稿共40张，创作于星期一09.04.202329返回返回上页上页下页下页目录目录直接利用定义来判别曲线的凹凸性是比较困难的，直接利用定义来判别曲线的凹凸性是比较困难的，下面利用二阶导数来判别曲线的凹凸性下面利用二阶导数来判别曲线的凹凸性 09.04.202330第30页，讲稿共40张，创作于星期一返回返回上页上页

11、下页下页目录目录2、曲线凹凸性的判定、曲线凹凸性的判定（证明略）（证明略）09.04.202331第31页，讲稿共40张，创作于星期一返回返回上页上页下页下页目录目录解解 09.04.202332第32页，讲稿共40张，创作于星期一返回返回上页上页下页下页目录目录解：解：凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点09.04.202333第33页，讲稿共40张，创作于星期一返回返回上页上页下页下页目录目录1.函数单调性的判别法函数单调性的判别法（定理（定理1）内容小结内容小结（1）会会利用导数来判定函数的单调性利用导数来判定函数的单调性（2）会会利用导数来证明一些不等式利用导数来证明一些不等式（3

12、）利用导数来证明方程根的唯一性利用导数来证明方程根的唯一性2.函数凹凸性的定义函数凹凸性的定义3.函数凹凸性的判别定理（函数凹凸性的判别定理（定理定理2）（1）拐点的定义（会求拐点和凹凸区间）拐点的定义（会求拐点和凹凸区间）（2）会利用凹凸性来证明一些不等式会利用凹凸性来证明一些不等式09.04.202334第34页，讲稿共40张，创作于星期一返回返回上页上页下页下页目录目录解解 09.04.202335第35页，讲稿共40张，创作于星期一返回返回上页上页下页下页目录目录四四、函数图、函数图形形的描的描绘绘09.04.202336第36页，讲稿共40张，创作于星期一返回返回上页上页下页下页目录目录09.04.202337第37页，讲稿共40张，创作于星期一返回返回上页上页下页下页目录目录09.04.202338第38页，讲稿共40张，创作于星期一返回返回上页上页下页下页目录目录09.04.202339第39页，讲稿共40张，创作于星期一返回返回上页上页下页下页目录目录感感谢谢大大家家观观看看09.04.2023第40页，讲稿共40张，创作于星期一