函数矩阵与矩阵微分方程精选PPT.ppt

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1、第一章第一章 第一节第一节 函数函数关于函数矩阵与矩阵微分方程北京理工大学高数教研室*第1页，讲稿共46张，创作于星期日称为函数矩阵，其中所有的元素称为函数矩阵，其中所有的元素都是定义在闭区间都是定义在闭区间 上的实函数。上的实函数。函数矩阵与数字矩阵一样也有加法，数乘，函数矩阵与数字矩阵一样也有加法，数乘，乘法，转置等几种运算，并且运算法则完全乘法，转置等几种运算，并且运算法则完全相同。相同。例：例：已知已知北京理工大学高数教研室*第2页，讲稿共46张，创作于星期日计算计算定义：定义：设设 为一个为一个 阶函数矩阵，如果存在阶函数矩阵，如果存在 阶函数矩阵阶函数矩阵 使得对于任何使得对于任何

2、 都有都有那么我们称那么我们称 在区间在区间 是是可逆的可逆的。北京理工大学高数教研室*第3页，讲稿共46张，创作于星期日称称 是是 的逆矩阵，一般记为的逆矩阵，一般记为例例：已知已知那么那么 在区间在区间 上是可逆的，其逆为上是可逆的，其逆为北京理工大学高数教研室*第4页，讲稿共46张，创作于星期日函数矩阵可逆的充分必要条件函数矩阵可逆的充分必要条件定理定理:阶矩阵阶矩阵 在区间在区间 上可逆的充分上可逆的充分必要条件是必要条件是 在在 上处处不为零，并且上处处不为零，并且其中其中 为矩阵为矩阵 的伴随矩阵。的伴随矩阵。定义：定义：区间区间 上的上的 型矩阵函数不恒型矩阵函数不恒等于零的子式

3、的最高阶数称为等于零的子式的最高阶数称为 的的秩秩。北京理工大学高数教研室*第5页，讲稿共46张，创作于星期日特别地，设特别地，设 为区间为区间 上的上的 阶矩阵函阶矩阵函数，如果数，如果 的秩为的秩为 ，则称，则称 一个一个满满秩矩阵秩矩阵。注意：对于阶矩阵函数而言，满秩与可逆不是等注意：对于阶矩阵函数而言，满秩与可逆不是等价的。即：可逆的一定是满秩的，但是满秩的却价的。即：可逆的一定是满秩的，但是满秩的却不一定是可逆的。不一定是可逆的。例例 ：已知已知北京理工大学高数教研室*第6页，讲稿共46张，创作于星期日那么那么 。于是。于是 在任何区间在任何区间 上的秩都是上的秩都是2。即。即 是满

4、秩的。但是是满秩的。但是 在在 上是否可逆，完全依赖于上是否可逆，完全依赖于 的取值。当区间的取值。当区间 包含有原点时，包含有原点时，在在 上有零点，从而上有零点，从而 是不可逆的是不可逆的。函数矩阵对纯量的导数和积分函数矩阵对纯量的导数和积分 定义：定义：如果如果 的所有各元的所有各元素素 在在 处有极限，即处有极限，即 北京理工大学高数教研室*第7页，讲稿共46张，创作于星期日其中其中 为固定常数。则称为固定常数。则称 在在 处有处有极限极限，且记为且记为其中其中北京理工大学高数教研室*第8页，讲稿共46张，创作于星期日如果如果 的各元素的各元素 在在 处连续，即处连续，即则称则称 在在

5、 处处连续连续，且记为，且记为其中其中北京理工大学高数教研室*第9页，讲稿共46张，创作于星期日容易验证下面的等式是成立的：容易验证下面的等式是成立的：设设则则北京理工大学高数教研室*第10页，讲稿共46张，创作于星期日定义定义：如果如果 的所有各元素的所有各元素 在点在点 处处(或在或在区间区间 上上)可导，便称此函数矩阵可导，便称此函数矩阵 在点在点 处处(或在区间或在区间 上上)可导可导，并且，并且记为记为北京理工大学高数教研室*第11页，讲稿共46张，创作于星期日北京理工大学高数教研室*第12页，讲稿共46张，创作于星期日函数矩阵的导数运算有下列性质：函数矩阵的导数运算有下列性质：(1

6、)是常数矩阵的充分必要条件是是常数矩阵的充分必要条件是(2)设设(3)均可导，则均可导，则 北京理工大学高数教研室*第13页，讲稿共46张，创作于星期日(3)设设 是是 的纯量函数，的纯量函数，是函数矩是函数矩(4)阵，阵，与与 均可导，则均可导，则(5)特别地，当特别地，当 是常数是常数 时有时有北京理工大学高数教研室*第14页，讲稿共46张，创作于星期日(4)设设 均可导，且均可导，且 与与 是可是可乘的，则乘的，则因为矩阵没有交换律，所以因为矩阵没有交换律，所以北京理工大学高数教研室*第15页，讲稿共46张，创作于星期日(5)如果如果 与与 均可导，则均可导，则(6)设设 为矩阵函数，为

7、矩阵函数，是是 的纯量函的纯量函数，数，与与 均可导，则均可导，则北京理工大学高数教研室*第16页，讲稿共46张，创作于星期日定义：定义：如果函数矩阵如果函数矩阵 的所有的所有各元素各元素 在在 上可积，则称上可积，则称 在在 上上可积可积，且，且北京理工大学高数教研室*第17页，讲稿共46张，创作于星期日函数矩阵的定积分具有如下性质：函数矩阵的定积分具有如下性质：例例1：已知函数矩阵已知函数矩阵试计算试计算北京理工大学高数教研室*第18页，讲稿共46张，创作于星期日证明：证明：北京理工大学高数教研室*第19页，讲稿共46张，创作于星期日由于由于 ，所以，所以下面求下面求 。由伴随矩阵公式可得

8、。由伴随矩阵公式可得 北京理工大学高数教研室*第20页，讲稿共46张，创作于星期日再求再求北京理工大学高数教研室*第21页，讲稿共46张，创作于星期日例例2：已知函数矩阵已知函数矩阵北京理工大学高数教研室*第22页，讲稿共46张，创作于星期日试求试求例例3：已知函数矩阵已知函数矩阵试求试求证明：证明：北京理工大学高数教研室*第23页，讲稿共46张，创作于星期日同样可以求得同样可以求得北京理工大学高数教研室*第24页，讲稿共46张，创作于星期日例例4：已知函数矩阵已知函数矩阵试计算试计算北京理工大学高数教研室*第25页，讲稿共46张，创作于星期日函数向量的线性相关性函数向量的线性相关性定义定义：

9、设有定义在区间设有定义在区间 上的上的 个连续的函个连续的函数向量数向量如果存在一组不全为零的常实数如果存在一组不全为零的常实数使得对于所有的使得对于所有的 等式等式成立，我们称，在成立，我们称，在 上上 线性相关线性相关。北京理工大学高数教研室*第26页，讲稿共46张，创作于星期日否则就说否则就说 线性无关。即如果线性无关。即如果只有在只有在 等式才成立，那么就说等式才成立，那么就说 线性无关。线性无关。定义定义：设设 是是 个定义在区个定义在区间间 上的连续函数向量上的连续函数向量记记北京理工大学高数教研室*第27页，讲稿共46张，创作于星期日以以 为元素的常数矩阵为元素的常数矩阵称为称为

10、 的的Gram矩阵，矩阵，称为称为Gram行列式行列式。定理定理：定义在区间定义在区间 上的连续函数向量上的连续函数向量 线性无关的充要条件是它线性无关的充要条件是它的的Gram矩阵为满秩矩阵。矩阵为满秩矩阵。北京理工大学高数教研室*第28页，讲稿共46张，创作于星期日例例：设设则则于是于是 的的Gram矩阵为矩阵为北京理工大学高数教研室*第29页，讲稿共46张，创作于星期日所以所以故当故当 时，时，在在 上是线性无关的。上是线性无关的。北京理工大学高数教研室*第30页，讲稿共46张，创作于星期日定义：定义：设设 是是 个定义在区间个定义在区间 上的上的 有有 阶导数的函数向量，记阶导数的函数

11、向量，记那么称矩阵那么称矩阵北京理工大学高数教研室*第31页，讲稿共46张，创作于星期日北京理工大学高数教研室*第32页，讲稿共46张，创作于星期日是是 的的Wronski矩阵。矩阵。其中其中 分别是分别是 的一阶，二阶，的一阶，二阶，阶导数矩阵。阶导数矩阵。定理：定理：设设 是是 的的Wronski矩阵。如果在区间矩阵。如果在区间 上的某个点上的某个点 ，常数矩阵，常数矩阵 的秩等于的秩等于 ，则向，则向量量 在在 上线性无关。上线性无关。北京理工大学高数教研室*第33页，讲稿共46张，创作于星期日例例：设设则则因为因为 的秩为的秩为2，所以，所以 与与 线性无关。线性无关。北京理工大学高数

12、教研室*第34页，讲稿共46张，创作于星期日 函数矩阵在微分方程中的应用函数矩阵在微分方程中的应用形如形如北京理工大学高数教研室*第35页，讲稿共46张，创作于星期日的线性微分方程组在引进函数矩阵与函数向量以后的线性微分方程组在引进函数矩阵与函数向量以后的线性微分方程组在引进函数矩阵与函数向量以后的线性微分方程组在引进函数矩阵与函数向量以后可以表示成如下形式可以表示成如下形式可以表示成如下形式可以表示成如下形式其中其中其中其中北京理工大学高数教研室*第36页，讲稿共46张，创作于星期日北京理工大学高数教研室*第37页，讲稿共46张，创作于星期日上述方程组的初始条件为上述方程组的初始条件为可以表

13、示成可以表示成定理：定理：设设 是一个是一个 阶常数矩阵，则微分方程阶常数矩阵，则微分方程组组满足初始条件满足初始条件 的解为的解为北京理工大学高数教研室*第38页，讲稿共46张，创作于星期日定理：定理：设设 是一个是一个 阶常数矩阵，则微分方程阶常数矩阵，则微分方程组组满足初始条件满足初始条件 的解为的解为例例1：设设北京理工大学高数教研室*第39页，讲稿共46张，创作于星期日求微分方程组求微分方程组 满足初始条满足初始条件件 的解。的解。解：解：首先计算出矩阵函数首先计算出矩阵函数北京理工大学高数教研室*第40页，讲稿共46张，创作于星期日由前面的定理可知微分方程组由前面的定理可知微分方程

14、组满足初始条件满足初始条件 的解为的解为北京理工大学高数教研室*第41页，讲稿共46张，创作于星期日例例2：设设求微分方程组求微分方程组 满足初始满足初始条件条件 的解。的解。解：解：由上述定理可知满足所给初始条件的微分方程由上述定理可知满足所给初始条件的微分方程组解为组解为北京理工大学高数教研室*第42页，讲稿共46张，创作于星期日由上面的例题可知由上面的例题可知而而北京理工大学高数教研室*第43页，讲稿共46张，创作于星期日所以有所以有北京理工大学高数教研室*第44页，讲稿共46张，创作于星期日故有故有北京理工大学高数教研室*第45页，讲稿共46张，创作于星期日第一章第一章 第一节第一节 函数函数感感谢谢大大家家观观看看09.04.2023第46页，讲稿共46张，创作于星期日