测量误差分析.pptx

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1、第一节第一节 随机误差的分布规律随机误差的分布规律 一、随机误差的正态分布性质一、随机误差的正态分布性质测定值的随机性表明了测量误差的随机性测定值的随机性表明了测量误差的随机性质。质。随机误差就其个体来说变化是无规律的，随机误差就其个体来说变化是无规律的，但在总体上却遵循一定的统计规律。但在总体上却遵循一定的统计规律。第1页/共121页u测量列中的随机误差：测量列中的随机误差：i=xiX0式中式中,i 测量列的随机误差，测量列的随机误差，i=1，2，3，n；xi 测量列的测量值；测量列的测量值；X0 被测量的真值。被测量的真值。第2页/共121页u随机误差分布的性质随机误差分布的性质u有有界界

2、性性：在在一一定定的的测测量量条条件件下下，测测量量的的随随机机误误差差总总是是在在一一定定的的、相相当当窄的范围内变动，绝对值很大的误差出现的概率接近于零。窄的范围内变动，绝对值很大的误差出现的概率接近于零。u单单峰峰性性：绝绝对对值值小小的的误误差差出出现现的的概概率率大大，绝绝对对值值大大的的误误差差出出现现的的概概率率小小，绝绝对对值值为为零零的的误误差差出出现现的的概概率率比比任任何何其其它它数数值值的的误误差差出出现现的的概概率率都大。都大。第3页/共121页u对对称称性性：绝绝对对值值相相等等而而符符号号相相反反的的随随机机误误差差出出现现的的概概率率相相同同，其其分分布布呈呈对

3、对称称性。性。u抵抵偿偿性性：在在等等精精度度测测量量条条件件下下，当当测测量量次次数数不不断断增增加加而而趋趋于于无无穷穷时时，全全部部随随机误差的算术平均值趋于零。机误差的算术平均值趋于零。第4页/共121页u正态分布的正态分布的分布密度函数分布密度函数为为 式中，式中，标准误差（均方根误差）；标准误差（均方根误差）；e e 自然对数的底。自然对数的底。u如用测定值如用测定值x x本身来表示，则本身来表示，则第5页/共121页第6页/共121页二、正态分布密度函数与概率积分二、正态分布密度函数与概率积分u对对于于一一定定的的被被测测量量，在在静静态态情情况况下下，X X0 0是是一一定定的

4、的，的的大大小小表表征征着着诸诸测测定定值值的弥散程度。的弥散程度。u值值越越小小，正正态态分分布布密密度度曲曲线线越越尖尖锐锐，幅幅值值越越大大；值值越越大大，正正态态分分布布密密度度曲线越平坦，幅值越小。曲线越平坦，幅值越小。u可用参数可用参数来表征测量的精密度，来表征测量的精密度，越小，表明测量的精密度越高。越小，表明测量的精密度越高。第7页/共121页第8页/共121页u并不是一个具体的误差并不是一个具体的误差，它的数值大小，它的数值大小只说明了在一定条件下进行一列等精度测量只说明了在一定条件下进行一列等精度测量时，随机误差出现的概率密度分布情况。时，随机误差出现的概率密度分布情况。u

5、在一定条件下进行等精度测量时，任何单在一定条件下进行等精度测量时，任何单次测定值的误差次测定值的误差i i可能都不等于可能都不等于，但我，但我们认为们认为这列测定值具有同样的均方根误差这列测定值具有同样的均方根误差；而不同条件下进行的两列等精度测量，一；而不同条件下进行的两列等精度测量，一般来说具有不同的般来说具有不同的值。值。第9页/共121页u随机误差出现的性质决定了人们不可能正确地获得单个测定值的真误差随机误差出现的性质决定了人们不可能正确地获得单个测定值的真误差i i的数值，而只能在一定的概率意义之下的数值，而只能在一定的概率意义之下估计测量随机误差数值的范围，或者求得估计测量随机误差

6、数值的范围，或者求得误差出现于某个区间得概率。误差出现于某个区间得概率。第10页/共121页u将正态分布密度函数积分将正态分布密度函数积分u概率积分概率积分第11页/共121页若令若令a=z，则，则第12页/共121页第13页/共121页第二节第二节 直接测量误差分析与处理直接测量误差分析与处理u子样平均值：子样平均值：代表由代表由n个测定值个测定值x1,x2,xn组成的子样的散布中心组成的子样的散布中心u子样方差：子样方差：描述子样在其平均值附近散描述子样在其平均值附近散布程度布程度第14页/共121页一、算术平均值原理 u测定值子样的算术平均值是被测量真值的测定值子样的算术平均值是被测量真

7、值的最佳估计值。最佳估计值。u算术平均值的意义算术平均值的意义 设设x x1 1、x x2 2、，x xn n为为n n次测量所得的值，次测量所得的值，则算术平均值则算术平均值 为为 第15页/共121页u算术平均值的性质算术平均值的性质 用算术平均值代替被测量的真值，则有用算术平均值代替被测量的真值，则有 式中式中 vi xi的剩余误差；的剩余误差；xi 第第i个测量值，个测量值，i=1，2，n。第16页/共121页 （1 1）剩余误差的代数和等于零，即）剩余误差的代数和等于零，即 （2 2）剩余误差的平方和为最小，即）剩余误差的平方和为最小，即第17页/共121页u测定值子样平均值的均方根

8、误差是测定值母体均方根误差的测定值子样平均值的均方根误差是测定值母体均方根误差的 倍。倍。u在等精度测量条件下对某一被测量进行多次测量，用测定值子样平均值估计被在等精度测量条件下对某一被测量进行多次测量，用测定值子样平均值估计被测量真值比用单次测量测定值估计具有测量真值比用单次测量测定值估计具有更高更高的精密度。的精密度。第18页/共121页二、二、贝塞尔公式贝塞尔公式 u因为真值因为真值X X0 0为未知，所以必须用残差为未知，所以必须用残差v vi i来表示，即来表示，即 此式称此式称贝塞尔公式贝塞尔公式。第19页/共121页三、测量结果的置信度三、测量结果的置信度 假设用假设用 对对进行

9、估计的误差为进行估计的误差为 ，那么，那么 。对于某一指定的区间。对于某一指定的区间,，落在该区间内的概率为落在该区间内的概率为 。同样地，可以求得测定值子样平均值同样地，可以求得测定值子样平均值 落在区间落在区间,的概率为的概率为第20页/共121页u 表示表示“测定值子样平均值这一随机变测定值子样平均值这一随机变量出现于一个固定区间内量出现于一个固定区间内 ”这一事件的概率；这一事件的概率；u 表示表示“在宽度一定作随机变动的随机区间在宽度一定作随机变动的随机区间 内包含被测量真值内包含被测量真值”这一事件的概率。这一事件的概率。第21页/共121页u定义区间定义区间 为测量结果的为测量结

10、果的置信区间置信区间，也称为置信限，也称为置信限u为为置信区间半长置信区间半长，也称为误差限，也称为误差限u概率概率 为测量经过在置信区间为测量经过在置信区间 内的内的置信概率置信概率。u危险率危险率：第22页/共121页u置信区间与置信概率共同表明了测量结果的置信区间与置信概率共同表明了测量结果的置信度置信度，即测量结果的可信程度。，即测量结果的可信程度。u对于同一测量结果，置信区间不同，其置信概率是不同的。对于同一测量结果，置信区间不同，其置信概率是不同的。u置信区间越宽，置信概率越大；反之亦然。置信区间越宽，置信概率越大；反之亦然。第23页/共121页u一列等精度测量的结果可以表达为在一

11、定的置信概率之下，以测定值子样平均一列等精度测量的结果可以表达为在一定的置信概率之下，以测定值子样平均值为中心，以置信区间半长为误差限的量值为中心，以置信区间半长为误差限的量 测量结果子样平均值测量结果子样平均值置信区间半长（置信概率置信区间半长（置信概率P？）？）第24页/共121页例题例题1：在等精度测量条件下对某透平机械的转速进行了在等精度测量条件下对某透平机械的转速进行了20次测量，获得如下的次测量，获得如下的一列测定值（单位：一列测定值（单位：r/min）4753.1 4757.5 4752.7 4752.8 4752.1 4749.2 4750.6 4751.0 4753.9 47

12、51.2 4750.3 4753.3 4752.1 4751.2 4752.3 4748.4 4752.5 4754.7 4650.0 4751.0 试求该透平机转速（设测量结果的置信概率试求该透平机转速（设测量结果的置信概率P95）。）。第25页/共121页第26页/共121页u在实际测量工作中，并非任何场合下都能对被测量进行多次测量，而多为单次在实际测量工作中，并非任何场合下都能对被测量进行多次测量，而多为单次测量。如果知道了在某种测量条件下测量的精密度参数，而且在同样的测量条测量。如果知道了在某种测量条件下测量的精密度参数，而且在同样的测量条件下取得单次测量的测定值，那么件下取得单次测量

13、的测定值，那么单次测量情况下测量结果的表达式单次测量情况下测量结果的表达式为：为：测量结果单次测定值测量结果单次测定值置信区间半长置信区间半长（置信概率（置信概率P P？）？）第27页/共121页例题例题2 2：对例对例1 1所述的透平机转速测量，设测量条件不变，单次测量的测定值为所述的透平机转速测量，设测量条件不变，单次测量的测定值为4753.1 r/min4753.1 r/min，求该透平机转速（测量结果的置信概率，求该透平机转速（测量结果的置信概率P P9595）。）。第28页/共121页在同样的置信概率下，用单次测定值在同样的置信概率下，用单次测定值表示测量结果比用多次测量所获得的测定

14、表示测量结果比用多次测量所获得的测定值子样平均值表示的误差大。值子样平均值表示的误差大。第29页/共121页四、测量结果的误差评价四、测量结果的误差评价u标准误差标准误差u若测量结果用单次测定值表示，误差若测量结果用单次测定值表示，误差限采用标准误差，则限采用标准误差，则 测量结果单次测定值测量结果单次测定值x标准误差标准误差 （P=68.3%）u若测量结果用测定值子样平均值表示，若测量结果用测定值子样平均值表示，误差限采用标准误差，则误差限采用标准误差，则 测量结果子样平均值测量结果子样平均值x标准误差标准误差 （P=68.3%）第30页/共121页u极限误差极限误差u测量列标准误差的三倍，

15、定义为测量测量列标准误差的三倍，定义为测量列的极限误差列的极限误差u子样平均值的极限误差与测量列极限子样平均值的极限误差与测量列极限误差的关系是误差的关系是第31页/共121页五、小子样误差分析与五、小子样误差分析与t分布分布 当当测测量量次次数数很很少少时时，子子样样平平均均值值的的标标准准误误差差很很不不准准确确，并并且且子子样样容容量量愈愈小小，这这种种情况就愈严重。情况就愈严重。为为了了在在未未知知的的情情况况下下，根根据据子子样样平平均均值值估估计计被被测测量量真真值值，就就须须考考虑虑一一个个统统计计量量。它它的的分分布布只只取取决决于于子子样样容容量量n n，而而与与无无关关。这

16、时需引入这时需引入统计量统计量t t。第32页/共121页u定义定义t为为ut不不服服从从正正态态分分布布，而而服服从从t分分布布，其其概概率率密密度函数为度函数为式式中中，是是特特殊殊函函数数，v是是正正整整数数，称称为为t分分布布的自由度。的自由度。第33页/共121页u当进行当进行n n次独立测量时，由于次独立测量时，由于t t受平均值的约束，服从自由度为受平均值的约束，服从自由度为n n1 1的的t t分布，分布，所以所以 n n1 1。ut t分布与母体均方根误差分布与母体均方根误差无关，只与子样容量无关，只与子样容量n n有关。有关。第34页/共121页第35页/共121页 u表表

17、中中列列有有在在各各种种自自由由度度和和置置信信概概率率下下，满满足足式式 的的tp值值。它它表表明明自自由度为由度为v的的t分布在区间分布在区间tp，tp内的概率为内的概率为P。u假假设设一一列列等等精精度度独独立立测测定定值值x1，x2，xn服服从从正正态态分分布布，真真值值和和均均方方根根误误差差均均未未知知。根根据据这这一一列列测测定定值值可可求求得得算算术术平平均均值值及及其其均均方根误差的估计值：方根误差的估计值：第36页/共121页u由于由于 服从自由度服从自由度v=n1的的t分布，分布，所以可用上式做以下的概率描述所以可用上式做以下的概率描述或或u测量结果可表示为：测量结果可表

18、示为：测量结果测量结果第37页/共121页例例3 3 用光学高温计测量某金属铸液的温度，得到如下用光学高温计测量某金属铸液的温度，得到如下5 5个测量数据（个测量数据（）：）：975975，10051005，988988，993993，987987 设金属铸液温度稳定，测温随机误差属于正态分布。试求铸液的实际温度设金属铸液温度稳定，测温随机误差属于正态分布。试求铸液的实际温度（取（取P P9595）。）。第38页/共121页解：解：根据根据P P9595和和v v4 4，查表得，查表得t tp p2.782.78，则，则测量结果为测量结果为第39页/共121页u若上例用正态分布求取给定置信概率

19、下得置信温度区间是若上例用正态分布求取给定置信概率下得置信温度区间是980.6,999.0，这，这要比由要比由t分布求得得区间分布求得得区间小小。u这表明，在测量次数较少的情况下，用正态分布计算误差限，往往会这表明，在测量次数较少的情况下，用正态分布计算误差限，往往会得到得到“太好太好”的结果，夸大了测量结果的精密度的结果，夸大了测量结果的精密度。因此，对小子样的误差分析，应。因此，对小子样的误差分析，应采用采用t分布处理。分布处理。第40页/共121页第三节第三节 间接测量误差分析与处理间接测量误差分析与处理u在间接测量中，测量误差是各个测量值误差的函数。因此，研究间接测量的在间接测量中，测

20、量误差是各个测量值误差的函数。因此，研究间接测量的误差也就是研究函数误差。误差也就是研究函数误差。u研究函数误差有下列三个基本内容：研究函数误差有下列三个基本内容：u已知函数关系和各个测量值的误差，求函数即间接测量值的误差。已知函数关系和各个测量值的误差，求函数即间接测量值的误差。u已知函数关系和规定的函数总误差，要求分配各个测量值的误差。已知函数关系和规定的函数总误差，要求分配各个测量值的误差。u确定最佳的测量条件，即使函数误差达到最小值时的测量条件。确定最佳的测量条件，即使函数误差达到最小值时的测量条件。第41页/共121页一、误差传布原理一、误差传布原理u设设间间接接测测量量值值y是是直

21、直接接测测量量值值x1，x2，xm的的函函数数，其其函函数数关关系系的的一一般般形式可表示为形式可表示为y=f（x1，x2，xm）u假假定定对对x1，x2，xm各各进进行行了了n次次测测量量，那那么么每每个个xi都都有有自自己己的的一一列列测测定定值值xi1，xi2，xin，其相应的随机误差为，其相应的随机误差为 ，。第42页/共121页u若若将将测测量量x1，x2，xm时时所所获获得得的的第第一一个个测测定定值值代代入入函函数数关关系系式式，可可求求得得间间接接测测量量值值的的第第一个测定值一个测定值y1，即，即y1=f（x11，x21，xm1）u由由于于测测定定值值x11，x21，xm1与

22、与真真值值之之间间存存在在随随机机误误差差，所所以以y1与与真真值值之之间间也也必必定定有有误误差差，记为记为y1。由误差的定义，上式可写为。由误差的定义，上式可写为 Y+y1=f（X1+11,X2+21,Xm+m1）第43页/共121页 若若 较较小小，且且诸诸X Xi i是是彼彼此此独独立立的的量量，将将上上式式按按泰泰勒勒公公式式展展开开，并并取取其误差的一阶项作为一次近似，略去一切高阶误差项，那么上式可近似写成其误差的一阶项作为一次近似，略去一切高阶误差项，那么上式可近似写成第44页/共121页 同样地，将测量同样地，将测量x x1 1，x x2 2，x xn n时所获得时所获得的第二

23、、第三，直至第的第二、第三，直至第n n个测定值分别代入函个测定值分别代入函数关系式，可得数关系式，可得 第45页/共121页 将上述各式相加并除以将上述各式相加并除以n n，可求得间接测量，可求得间接测量值的算术平均值值的算术平均值 ，也就是，也就是Y Y的最优概值的最优概值 第46页/共121页 式中，式中，正好是测量正好是测量x xm m时所得一列测定值的算术平均值时所得一列测定值的算术平均值 的随机误差，记为的随机误差，记为 ，所以，所以 第47页/共121页 另一方面，将直接测量另一方面，将直接测量x x1 1，x x2 2，x xm m所所获得的测定值的算术平均值获得的测定值的算术

24、平均值 ，,代入代入函数关系式，并将其在函数关系式，并将其在x x1 1，x x2 2，x xm m的邻域的邻域内用泰勒公式展开，可有内用泰勒公式展开，可有 第48页/共121页 将上两式进行比较，可得将上两式进行比较，可得 由此可得出由此可得出结论结论：间接测量值的最佳估计：间接测量值的最佳估计值可以由与其有关的各直接测量值的算术平均值可以由与其有关的各直接测量值的算术平均值代入函数关系式求得。值代入函数关系式求得。第49页/共121页 并且可以知道，直接测量值并且可以知道，直接测量值x x1 1，x x2 2，x xm m第第j j次测量获得的测定值的误差次测量获得的测定值的误差 ，与其相

25、应的间接测量值与其相应的间接测量值Y Y的误差的误差 之间之间关系应为关系应为 第50页/共121页 假定假定 的分布服从正态分布（只有当的分布服从正态分布（只有当y y与与x x1 1，x x2 2，x xn n之间存在线性关系时，这种假之间存在线性关系时，这种假设才成立，否则只是近似成立），那么可求设才成立，否则只是近似成立），那么可求得得y y的标准误差的标准误差 第51页/共121页其中其中第52页/共121页 根根据据随随机机误误差差的的性性质质，若若直直接接测测量量值值xi彼此独立，则当测量次数无限增加时，必有彼此独立，则当测量次数无限增加时，必有 （ik）所以所以第53页/共12

26、1页 则则 而而 正好是第正好是第i i个直接测量值个直接测量值x xi i的标准误的标准误差的平方差的平方 ，因此可得出间接测量值的标准，因此可得出间接测量值的标准误差误差 与诸直接测量值的标准误差之间如下与诸直接测量值的标准误差之间如下的关系：的关系：第54页/共121页 式式中中，称称为为误误差差传传递递系系数数，称称为为自自变量变量x xi i的部分误差，记为的部分误差，记为D Di i。由此可得出由此可得出结论结论：间接测量值的标准误：间接测量值的标准误差是各独立直接测量值的标准误差和函数对差是各独立直接测量值的标准误差和函数对该直接测量值偏导数乘积的平方和的平方根。该直接测量值偏导

27、数乘积的平方和的平方根。第55页/共121页 以上两个结论是误差传布原理的基本内容，以上两个结论是误差传布原理的基本内容，是解决间接测量误差分析与处理问题的基本依是解决间接测量误差分析与处理问题的基本依据。它们还可以推广到描述间接测量值算术平据。它们还可以推广到描述间接测量值算术平均值的标准误差和各直接测量值算术平均值的均值的标准误差和各直接测量值算术平均值的标准误差之间的关系标准误差之间的关系 第56页/共121页 有时，测量结果的误差用相对误差的形式有时，测量结果的误差用相对误差的形式描述更合适。如果以间接测量值的算术平均描述更合适。如果以间接测量值的算术平均值作为约定值，那么间接测量值值

28、作为约定值，那么间接测量值y y的实际相的实际相对误差对误差 为为 式中，式中，是直接测量值是直接测量值x xi i的实际相对误差的实际相对误差 第57页/共121页 最后，应指出以下两点：最后，应指出以下两点：1 1上上述述各各公公式式是是建建立立在在对对每每一一独独立立的的直直接接测测量量值值x xi i进进行行多多次次等等精精度度独独立立测测量量的的基基础础上上的，否则，上述公式严格地说将不成立。的，否则，上述公式严格地说将不成立。2 2对于间接测量值与各直接测量值之间对于间接测量值与各直接测量值之间呈非线性函数关系的情况，上述公式只是近似呈非线性函数关系的情况，上述公式只是近似的，只有

29、当计算的，只有当计算y y的误差允许作线性近似时才的误差允许作线性近似时才能使用。能使用。第58页/共121页二、函数误差的分配二、函数误差的分配 在间接测量中，当给定了函数在间接测量中，当给定了函数y y的误差的误差 ，再反过来求各个自变量的部分部分误差的，再反过来求各个自变量的部分部分误差的允许值，以保证达到对已知函数的误差要求，允许值，以保证达到对已知函数的误差要求，这就是函数误差的分配。误差分配是再保证这就是函数误差的分配。误差分配是再保证函数误差再要求的范围内，根据各个自变量函数误差再要求的范围内，根据各个自变量的误差来选择相应的适当仪表。的误差来选择相应的适当仪表。第59页/共12

30、1页 1 1按等作用原则分配误差按等作用原则分配误差 等作用原则认为各个部分误差对函数误差等作用原则认为各个部分误差对函数误差的影响相等，即的影响相等，即 由此可得由此可得 如如果果各各个个测测量量值值误误差差满满足足上上式式，则则所所得得的的函数误差不会超过允许的给定值。函数误差不会超过允许的给定值。第60页/共121页 2 2按可能性调整按可能性调整 因因为为计计算算得得到到的的各各个个局局部部误误差差都都相相等等，这这对对于于其其中中有有的的测测量量值值，要要保保证证其其误误差差不不超超出出允允许许范范围围较较为为容容易易实实现现，而而对对有有的的测测量量值值就就难难以以满满足足要要求求

31、，因因此此按按等等作作用用原原则则分分配配误误差可能会出现不合理的情况。差可能会出现不合理的情况。同同时时当当各各个个部部分分误误差差一一定定时时，相相应应测测量量值值的的误误差差与与其其传传递递函函数数成成反反比比。所所以以尽尽管管各各个个部部分分误误差差相相等等，但但相相应应的的测测量量值值并并不不相相等等，有时可能相差很大。有时可能相差很大。第61页/共121页 由于存在以上情况，对等作用原则分配的由于存在以上情况，对等作用原则分配的误差，必须根据具体情况进行调整，对难以误差，必须根据具体情况进行调整，对难以实现的误差项适当扩大，对容易实现的误差实现的误差项适当扩大，对容易实现的误差项尽

32、可能缩小，而对其余项不予调整。项尽可能缩小，而对其余项不予调整。第62页/共121页 3 3验算调整后的总误差验算调整后的总误差 误差调整后，应按误差分配公式计算总误差调整后，应按误差分配公式计算总误差，若超出给定的允许误差范围，应选择误差，若超出给定的允许误差范围，应选择可能缩小的误差项进行补偿。若发现实际总可能缩小的误差项进行补偿。若发现实际总误差较小，还可以适当扩大难以实现的误差误差较小，还可以适当扩大难以实现的误差项。项。第63页/共121页例例4 4 已知铜电阻阻值与温度的关系为已知铜电阻阻值与温度的关系为Rt=R201+a20(t-20)，20时铜电阻阻值时铜电阻阻值R2060.0

33、18，a200.0040.000041，求铜电阻在，求铜电阻在30时的电阻值及其误时的电阻值及其误差。差。第64页/共121页第五节第五节 粗大误差粗大误差u粗大误差是指不能用测量客观条件解释为合理的那些突出误差，它明显地歪粗大误差是指不能用测量客观条件解释为合理的那些突出误差，它明显地歪曲了测量结果。曲了测量结果。u含有粗大误差的测定值称为坏值，应予以剔除。含有粗大误差的测定值称为坏值，应予以剔除。第65页/共121页u产生粗大误差的原因：产生粗大误差的原因：u测量者的主观原因测量者的主观原因u客观外界条件的原因客观外界条件的原因第66页/共121页一、一、拉伊特准则拉伊特准则u拉拉伊伊特特

34、准准则则(3(3准准则则)：如如果果测测量量列列中中某某一一测测定定值值残残差差v vi i的的绝绝对对值值大大于于该该测测量量列列标标准准误误差差的的3 3倍倍，那那么么可可认认为为该该测测量量列列中中有有粗粗大大误误差差存存在在，且且该该测测定定值值为坏值。为坏值。u坏坏值值剔剔除除后后，应应重重新新计计算算新新测测量量列列的的算算术术平平均均值值及及标标准准误误差差，并并再再次次进进行行检检验看余下的数据中是否还含有坏值验看余下的数据中是否还含有坏值。第67页/共121页u拉伊特准则是判定粗大误差存在的一种最简单的方法。拉伊特准则是判定粗大误差存在的一种最简单的方法。u拉伊特准则是在重复

35、测量次数拉伊特准则是在重复测量次数n n趋于无穷大的前提下建立的，当趋于无穷大的前提下建立的，当n n有限时，尤其有限时，尤其是当是当n n很小时（如很小时（如n10n10），此准则就不可靠。），此准则就不可靠。第68页/共121页二、格拉布斯准则二、格拉布斯准则 对某一被测量进行多次等精度独立测量，获得一列测定值对某一被测量进行多次等精度独立测量，获得一列测定值x1，x2，xn。为了检查测定值中是否含有粗大误差，将为了检查测定值中是否含有粗大误差，将xi由小到大按顺序排列为由小到大按顺序排列为第69页/共121页格拉布斯按照数理统计理论导出了统计量格拉布斯按照数理统计理论导出了统计量的分布，

36、取定危险率的分布，取定危险率a a，可求得临界值，可求得临界值g g0 0(n,a)(n,a)，而，而第70页/共121页第71页/共121页 这样，得到了判定粗大误差的格拉布这样，得到了判定粗大误差的格拉布斯准则：若测量列中最大测定值或最小测斯准则：若测量列中最大测定值或最小测定值的残差有满足定值的残差有满足 者，则可认为含有残差者，则可认为含有残差v vi i的测定值是坏值，的测定值是坏值，因此该测定值按危险率因此该测定值按危险率a a应该剔除。应该剔除。第72页/共121页u用格拉布斯准则判定测量列中是否含有粗大误差的坏值时，选择不同的危险用格拉布斯准则判定测量列中是否含有粗大误差的坏值

37、时，选择不同的危险率可能得到不同的结果。率可能得到不同的结果。u危险率的含义是按本准则判定为异常数据，而实际上并不是，从而犯错误的危险率的含义是按本准则判定为异常数据，而实际上并不是，从而犯错误的概率。概率。u危险率就是误剔除的概率。危险率就是误剔除的概率。第73页/共121页例例5 5 测某一介质温度测某一介质温度15次，得到以下一列测定值数据（次，得到以下一列测定值数据（）：）：20.42，20.43，20.40，20.43，20.42，20.43，20.39，20.30，20.40，20.43，20.42，20.41，20.39，20.39，20.40 试判断其中有无含有粗大误差的坏值。

38、试判断其中有无含有粗大误差的坏值。第74页/共121页解：解：(1)按大小顺序将测定值重新排列按大小顺序将测定值重新排列20.30，20.39，20.39，20.39，20.40，20.40，20.40，20.41，20.42，20.42，20.42，20.43，20.43，20.43，20.43(2)计算子样平均值和测量列标准误差计算子样平均值和测量列标准误差第75页/共121页(3)(3)选取选取a a5 5，查表得，查表得g g0 0(15,5(15,5)2.412.41(4)(4)计算最大与最小测定值的残差，并用格计算最大与最小测定值的残差，并用格拉布斯准则判定拉布斯准则判定因因故故x

39、 x(1)(1)20.3020.30在在a a5 5下被判定为坏值而剔下被判定为坏值而剔除。除。第76页/共121页(5)(5)剔除含有粗大误差的坏值后，重新计算余下剔除含有粗大误差的坏值后，重新计算余下测定值的算术平均值和标准误差，查表求新的测定值的算术平均值和标准误差，查表求新的临界值，再进行判定。临界值，再进行判定。故余下的测定值中已无粗大误差的坏值。故余下的测定值中已无粗大误差的坏值。第77页/共121页 系统误差与随机误差在性质上是不同的，它的出现具有一定的规律性，系统误差与随机误差在性质上是不同的，它的出现具有一定的规律性，不能像随机误差那样依靠统计的方法来处理，只能采取具体问题具

40、体分析的不能像随机误差那样依靠统计的方法来处理，只能采取具体问题具体分析的方法，通过仔细的校验和精心的试验才能发现与消除。方法，通过仔细的校验和精心的试验才能发现与消除。第六节第六节 系统误差的分析与处理系统误差的分析与处理第78页/共121页 设有一列测定值设有一列测定值x x1 1，x x2 2，x xn n，若测定值，若测定值x xi i中含有系统误差中含有系统误差i i，消除，消除系统误差之后其值为系统误差之后其值为x xi i，则，则x xi i=x=xi i+i i，其算术平均值为，其算术平均值为 式中，式中，是消除系统误差之后的一列测定值的算术平均值。是消除系统误差之后的一列测定

41、值的算术平均值。一、系统误差的性质一、系统误差的性质第79页/共121页 测定值测定值x xi i的残差的残差 式式中中，vvi i是是消消除除系系统统误误差差之之后后的的测测定定值值的的残残差。差。第80页/共121页由此，可以得到系统误差的两点性质：由此，可以得到系统误差的两点性质：（1 1）对对恒恒值值系系统统误误差差，由由于于 ，所所以以v vi i =v vi i。由残差计算出的测量列的均方根误差。由残差计算出的测量列的均方根误差 式式中中，是是消消除除系系统统误误差差后后测测量量列列的的均均方方根根误误差。差。第81页/共121页 因因此此，得得到到系系统统误误差差的的性性质质之之

42、一一：恒恒值值系系统统误误差差的的存存在在，只只影影响响测测量量结结果果的的准准确确度度，不不影影响响测测量量的的精精密密度度参参数数。如如果果测测定定值值子子样样容容量量足足够够大大，含有恒值系统误差的测定值仍服从正态分布。含有恒值系统误差的测定值仍服从正态分布。第82页/共121页 (2)对变值系统误差，一般有对变值系统误差，一般有 ，所以，所以vi vi，。因此，得到系统误差的第二个性质：因此，得到系统误差的第二个性质：变值系统误差的存在，不仅影响测变值系统误差的存在，不仅影响测量结果的准确度，而且会影响测量的精密度参数。量结果的准确度，而且会影响测量的精密度参数。第83页/共121页二

43、、系统误差处理的一般原则二、系统误差处理的一般原则 1 1在测量之前，应该尽可能预见到产生系统在测量之前，应该尽可能预见到产生系统误差的来源，设法消除之。或者使其影响减少误差的来源，设法消除之。或者使其影响减少到可以接收的程度。到可以接收的程度。系系统统误误差差的的来来源源一一般般可可以以归归纳纳为为以以下下几几个个方面：方面：由由于于测测量量设设备备、试试验验装装置置不不完完善善，或或安安装装、调调整，使用不得当而引起的误差。整，使用不得当而引起的误差。由于外界环境因素的影响而引起的误差。由于外界环境因素的影响而引起的误差。由于测量方法不正确，或者测量方法所赖以存由于测量方法不正确，或者测量

44、方法所赖以存在的理论本身不完善而引起的误差。在的理论本身不完善而引起的误差。第84页/共121页 2 2在实际测量时，尽可能地采用有效的测量在实际测量时，尽可能地采用有效的测量方法，消除或减弱系统误差对测量结果的影响。方法，消除或减弱系统误差对测量结果的影响。（1 1）对置法：消除恒值系统误差常用的方法。对置法：消除恒值系统误差常用的方法。这种方法的实质是交换某些测量条件，使这种方法的实质是交换某些测量条件，使得引起恒值系统误差的原因以相反的方向影响得引起恒值系统误差的原因以相反的方向影响测量结果，从而中和其影响。测量结果，从而中和其影响。第85页/共121页 例如，在两臂为例如，在两臂为l

45、l1 1,l,l2 2的天平上称重，先将被测重量的天平上称重，先将被测重量x x放在左边，标准砝放在左边，标准砝码码P P放在右边，调平衡后，有放在右边，调平衡后，有第86页/共121页 若若l l1 1与与l l2 2不严格相等，则取不严格相等，则取x xP P必引入必引入恒值系统误差，此时，若将恒值系统误差，此时，若将x x、P P交换位置，由交换位置，由于于l l1 1ll2 2，P P需换为需换为P P才能与才能与x x平衡，即平衡，即 于是可取于是可取 这样可消除因天平臂长不等而引入的恒这样可消除因天平臂长不等而引入的恒值系统误差。值系统误差。第87页/共121页 （2 2）对对称称

46、观观测测法法：消消除除线线性性变变化化的的累累进进系系统误差最有效的方法。统误差最有效的方法。若在测量过程中存在某种随时间呈线性若在测量过程中存在某种随时间呈线性变化的系统误差，则可以通过对称观测法来变化的系统误差，则可以通过对称观测法来消除。它就是将测量以某一时刻为中心对称消除。它就是将测量以某一时刻为中心对称地安排，取各对称点两次测定值的算术平均地安排，取各对称点两次测定值的算术平均值作为测量结果，即可达到消除线性变化的值作为测量结果，即可达到消除线性变化的累进系统误差的目的。累进系统误差的目的。第88页/共121页u由于许多系统误差都随时间变化，而且在短时间内可认为是线性变化。因此，由于

47、许多系统误差都随时间变化，而且在短时间内可认为是线性变化。因此，如果条件许可均宜采用对称观测法。如果条件许可均宜采用对称观测法。第89页/共121页（3 3）半半周周期期偶偶数数观观测测法法：可可以以很很好好地地消消除除周周期性变化的系统误差。期性变化的系统误差。周期性系统误差可表示为周期性系统误差可表示为 其其中中为为常常数数，t t 为为决决定定周周期期性性误误差差的的量量，T T为周期性系统误差的变化周期。为周期性系统误差的变化周期。第90页/共121页 当当t=tt=t0 0时，周期性误差时，周期性误差0 0为为当当 时，时，而而 。可可见见，测测得得一一个个数数据据后后，相相隔隔t

48、t的的半半个个周周期期再再测测一一个个数数据据，取取二二者者的的平平均均值值，即即可可消消去周期性系统误差。去周期性系统误差。第91页/共121页 3 3在测量之后，通过对测定值进行数据处在测量之后，通过对测定值进行数据处理，检查是否存在尚未被注意到的变值系统理，检查是否存在尚未被注意到的变值系统误差。误差。4 4最后，要设法估计出未被消除而残留最后，要设法估计出未被消除而残留下来的系统误差对最终测量结果的影响。下来的系统误差对最终测量结果的影响。第92页/共121页三、系统误差存在与否的检验三、系统误差存在与否的检验u一般情况下，人们不能直接通过对等精度一般情况下，人们不能直接通过对等精度测

49、量数据的统计处理来判断恒值系统误差测量数据的统计处理来判断恒值系统误差的存在，除非改变恒值系统误差产生的测的存在，除非改变恒值系统误差产生的测量条件；但对于变值系统误差，有可能通量条件；但对于变值系统误差，有可能通过对等精度测量数据的统计处理来判定变过对等精度测量数据的统计处理来判定变值系统误差的存在。值系统误差的存在。第93页/共121页u在容量相当大的测量列中，如果存在着非在容量相当大的测量列中，如果存在着非正态分布的变值系统误差，那么测定值的正态分布的变值系统误差，那么测定值的分布将偏离正态，检验测定值分布的正态分布将偏离正态，检验测定值分布的正态性，将揭露出变值系统误差的存在。性，将揭

50、露出变值系统误差的存在。u在实际测量中，往往不必作烦冗细致的正在实际测量中，往往不必作烦冗细致的正态分布检验，可以借助于考察测定值残差态分布检验，可以借助于考察测定值残差的变化情况和利用某些较为简捷的判据来的变化情况和利用某些较为简捷的判据来检验变值系统误差的存在。检验变值系统误差的存在。第94页/共121页 1 1根根据据测测定定值值残残差差的的变变化化判判定定变变值值系系统统误误差差的存在的存在 若若对对某某一一被被测测量量进进行行多多次次等等精精度度测测量量，获获得得一一系系列列测测定定值值x x1 1，x x2 2，x xn n，各各测测定定值值的残差表示为的残差表示为 第95页/共1