隐函数及参数方程求导方法高阶导数.pptx

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1、一、隐函数的微分法一、隐函数的微分法一、隐函数的微分法一、隐函数的微分法例例 1 设方程 x2+y2=R2(R 为常数)确定函数 y=y(x)，解解 在方程两边求微分，d(x2+y2)=dR2，即2xdx+2ydy=0.由此，当 y 0 时解得或第1页/共32页例例 2 设方程 y+x exy=0 确定了函数 y=y(x)，解解 方程两边求微分，得d(y+x exy)=d0，即dy+dx-dexy=0，dy+dx exy(xdy+ydx)=0.当 1-xexy 0 时，解得即第2页/共32页例例 3 求曲线 x2+y4=17 在 x=4 处对应于曲线上的点的切线方程.解解 方程两边求微分，得2

2、xdx+4y3dy=0，得 即对应于 x=4 有两个纵坐标，这就是说曲线上有两个点 P1(4,1)和 P2(4,-1).将 x=4 代入方程，得 y=1.第3页/共32页在 P1 处的切线斜率 y|(4,1)=-2，y 1=-2(x-4)即 y+2x 9=0在点 P2 处的切线方程为y+1=2(x-4)，即 y-2x+9=0 在 P2 处切线的斜率 y|(4,-1)=2.所以，在点 P1 处的切线方程为第4页/共32页补证反三角函数的导数公式：设 y=arcsin x，则 x=sin y，两边对 x 求微分，得dx=cos ydy，cos y 取正号，第5页/共32页二、由参数方程所确定的二、

3、由参数方程所确定的二、由参数方程所确定的二、由参数方程所确定的 函数的微分法函数的微分法函数的微分法函数的微分法参数方程，它的一般形式为对方程 两边求微分，得dy=f (t)dt，同样对方程 两边求微分，得dx=(t)dt，第6页/共32页即第7页/共32页例例 4设参数方程 (椭圆方程)确定了函数 y=y(x)，解解 dx=-a sin tdt，dy=bcos tdt，所以第8页/共32页解解 与 对应的曲线上的点为 dy=asin t dt，dx=a(1 cos t)dt，例例 5求摆线 (a 为常数)在对应于 时曲线上点的切线方程.第9页/共32页点 P 处的切线方程为所以第10页/共3

4、2页例例 6 设炮弹与地平线成 a a 角，初速为 v0 0 射出，如果不计空气阻力，以发射点为原点，地平线为 x 轴，过原点垂直 x 轴方向上的直线为 y 轴(如图).).由物理学知道它的运动方程为求(1)炮弹在时刻 t 时的速度大小与方向，(2)如果中弹点与以射点同在一水平线上，求炮弹的射程.yOx中弹点第11页/共32页解解 (1)炮弹的水平方向速度为 炮弹的垂直方向速度为yOx中弹点VxVy所以，在 t 时炮弹速度的大小为它的位置是在 t 时所对应的点处的切线上，且沿炮弹的前进方向，其斜率为第12页/共32页(2)令 y=0，得中弹点所对应的时刻 第13页/共32页三、对数微分法三、对

5、数微分法三、对数微分法三、对数微分法解解两边取对数，得两边求微分，例例 7 设3第14页/共32页所以第15页/共32页例例 8设 y=(tan x)x，求 y .解解lny=xln(tan x)=x(lnsin x-lncos x)所以第16页/共32页四、函数的高阶导数四、函数的高阶导数四、函数的高阶导数四、函数的高阶导数如果可以对函数 f(x)的导函数 f (x)再求导，所得到的一个新函数，称为函数 y=f(x)的二阶导数，记作 f (x)或 y 或如对二阶导数再求导，则称三阶导数，记作 f (x)或 四阶或四阶以上导数记为 y(4)，y(5)，y(n)或 ，而把 f (x)称为 f(x

6、)的一阶导数.第17页/共32页例例 9设 y=ex，求 y(n).y =ex，y =ex，y(n)=ex.解解第18页/共32页例例 10设 y=ln(1+x).求 y(0)，y(0)，y(0)，y(n)(0).解解第19页/共32页第20页/共32页例例 11设 y=sin x，解解第21页/共32页五、五、五、五、高阶偏导数高阶偏导数高阶偏导数高阶偏导数函数 z=f(x,y)的两个偏导数一般说来仍然是 x,y 的函数，如果这两个函数关于 x,y 的偏导数也存在，则称它们的偏导数是 f(x,y)的二阶偏导数.依照对变量的不同求导次序，二阶偏导数有四个：第22页/共32页第23页/共32页其

7、中 及 称为二阶混合偏导数.类似的，可以定义三阶、四阶、n 阶偏导数，二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数，称为函数 f(x,y)的一阶偏导数.第24页/共32页例例 12求函数 的所有二阶偏导数.解解所以第25页/共32页本例中 ，=这不是偶然的，有下述定理：第26页/共32页定理定理 如果函数 z=f(x,y)在区域 D 上两个二阶混合偏导数 、连续，则在区域 D 上有即当二阶混合偏导数在区域 D 上连续时，求导结果与求导次序无关，证明从略.这个定理也适用于三元及三元以上的函数.第27页/共32页例例 13试求，.解解第28页/共32页验证了第29页/共32页例例 14解解因为第30页/共32页所以xyxyzzxyz+e)1(.e)31(222xyzzyxxyz+=第31页/共32页感谢您的观看！第32页/共32页