8.6.1 直线与直线垂直—山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共26张PPT).ppt

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1、8.6.1直线与直线垂直本资料分享自高中数学本资料分享自高中数学同步资源大全同步资源大全QQ群群483122854专注收集同专注收集同步资源期待你的加入与步资源期待你的加入与分享分享联系联系QQ309000116加加入百度网盘群入百度网盘群2500G一一线老师必备资料一键转线老师必备资料一键转存，自动更新，一劳永存，自动更新，一劳永逸逸讲课人：邢启强2不同在不同在任何任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。一个平面内的两条直线叫做异面直线。异面直线的定义异面直线的定义:相交直线：相交直线：有一个公共点有一个公共点平行直线：平行直线：无公共点无公共点异面直线异面直线：无公共点无公共点空间两直线空间

2、两直线的位置关系的位置关系基本事实：基本事实：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行空间中，如果两个角的两边分别对应平行，空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补那么这两个角相等或互补等角定理：等角定理：复习引入复习引入讲课人：邢启强3异面直线的画法ba aba注意：作图时，需要一个或二个平面衬托注意：作图时，需要一个或二个平面衬托讲课人：邢启强4异面直线所成的角异面直线所成的角在平面内在平面内,两条直线相交成两条直线相交成四个角四个角,其中不大于其中不大于90度的角称度的角称为它们的夹角为它们的夹角,用以刻画两直线用以刻画两直线的

3、错开程度的错开程度,如图如图.在空间在空间,如图所示如图所示,正方体正方体ABCDEFGH中中,异面直线异面直线AB与与HF的错开程度可以怎样来刻画呢的错开程度可以怎样来刻画呢?ABGFHEDCO问题提出问题提出复习引入复习引入讲课人：邢启强5abb aO思想方法思想方法:平移转化成相交直线所成的角平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题即化空间图形问题为平面图形问题思考思考:这个角的大小与这个角的大小与O点的位置有关吗点的位置有关吗?即即O点位置点位置不同时不同时,这一角的大小是否改变这一角的大小是否改变?异面直线所成的角的范围异面直线所成的角的范围(0,90oo如果两条异

4、面直线如果两条异面直线a,b 所成的角为直所成的角为直角，我们就称这两角，我们就称这两条直线互相垂直条直线互相垂直,记为记为a b注注2 2a 学习新知学习新知异面直线所成角的定义异面直线所成角的定义:如图如图,已知两条异面直线已知两条异面直线a,b,经过空间任一点经过空间任一点O作作直线直线 则把则把 与与 所所成的锐角成的锐角(或直角或直角)叫做异面直线所成的角叫做异面直线所成的角(或夹角或夹角).讲课人：邢启强6思考思考:这个角的大小与这个角的大小与O点的位置有关吗点的位置有关吗?即即O点位置点位置不同时不同时,这一角的大小是否改变这一角的大小是否改变?a a,a a a a(基本事实基

5、本事实4),解答：解答：如图如图设设a 与与b 相交所成的角为相交所成的角为 1,a 与与b所成的角为所成的角为 2,同理同理b b,1=2(等角定理等角定理)b aO 1aab 2答答:这个角的大小与这个角的大小与O点的位置点的位置无关无关.学习新知学习新知讲课人：邢启强7（1）异面直线所成角的大小只和两条异面直线）异面直线所成角的大小只和两条异面直线的位置有关，而和点的位置有关，而和点O的位置无关的位置无关（2）异面直线所成的角的范围是：）异面直线所成的角的范围是：（090）（3）如果两条异面直线所成的角是直角，那么我）如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直，两条互

6、相垂直的异们就说这两条直线互相垂直，两条互相垂直的异面直线面直线a，b，记作，记作a b这个很重要哦说明空间的垂直有相交垂直和异面垂直，区别在于一个是相交，一个是异面.学习新知学习新知讲课人：邢启强8求异面直线所成的角的步骤是求异面直线所成的角的步骤是:一作一作(找找)：作（或找）平行线：作（或找）平行线二证：证明所作的角为所求的异二证：证明所作的角为所求的异面直线所成的角。面直线所成的角。三计算：在一恰当的三角形中三计算：在一恰当的三角形中求出角求出角学习新知学习新知讲课人：邢启强9ABGFHEDC如图如图,正方体正方体ABCD-EFGH中中,O为侧面为侧面ADHE的中心的中心求求(1)BE

7、与与CG所成的角？所成的角？(2)FO与与BD所成的角？所成的角？解解:(1)如图如图:BF CG，EBF(或其补角或其补角)为异面直线为异面直线BE与与CG所所成的角，成的角，又又 BEF中中 EBF=45 ，所以所以BE与与CG所成的角是所成的角是45O连接连接HA、AF，依题意知依题意知O为为AH中点中点,HFO=30o(2)连接连接FH，所以所以FO与与BD所成的夹角是所成的夹角是30o四边形四边形BFHD为平行四边形，为平行四边形，HF BD HFO(或其补角或其补角)为异面直线为异面直线FO与与BD所成的角所成的角 HDEA，EAFB HDFB=则则AH=HF=FA AFH为等边为

8、等边 典型例题典型例题讲课人：邢启强10例例1、如图，已知正方体、如图，已知正方体ABCDABCD中。中。（1）哪些棱所在的直线与直线）哪些棱所在的直线与直线AA垂直？垂直？（2）直线）直线BA和和CC所成的角是多少？所成的角是多少？（3）直线）直线BA和和AC所成的角是多少？所成的角是多少？例题选讲例题选讲解解:(1)棱棱AB,BC,CD,DA,AB,BC,CD,DA,所在直线分别与直线所在直线分别与直线AA垂直垂直（2 2）由）由 可知，可知，（或其补角）（或其补角）是是异面异面直线直线与与 所成的角所成的角,所所以异面直线以异面直线 与与 所成的所成的角为角为45450 0。讲课人：邢启

9、强11例例1 1、如图，已知正方体、如图，已知正方体ABCDABCDABCDABCD中。中。（1 1）哪些棱所在的直线与直线）哪些棱所在的直线与直线AAAA垂直？垂直？（2 2）直线）直线BABA和和CCCC所成的角是多少？所成的角是多少？（3 3）直线）直线BABA和和ACAC所成的角是多少？所成的角是多少？例题选讲例题选讲讲课人：邢启强12在求作异面直线所成在求作异面直线所成的角时的角时,O点点常选在其中常选在其中的一条直线上的一条直线上(如线段如线段的的端点端点,线段的线段的中点中点等等)注注3 3学习新知学习新知讲课人：邢启强13如图如图,已知长方体已知长方体ABCD-EFGH中中,A

10、B=,AD=,AE=2(1)求求BC和和EG所成的角是多少度所成的角是多少度?(2)求求AE和和BG所成的角是多少度所成的角是多少度?解答：解答：(1)GF BCEGF（或其补角）为所求（或其补角）为所求.Rt EFG中，求得中，求得 EGF=45o(2)BF AEFBG（或其补角）为所求（或其补角）为所求,Rt BFG中，求得中，求得 FBG=60oABGFHEDC2巩固练习巩固练习讲课人：邢启强14例例2如图如图,在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中中,E,F分别是分别是A1B1,B1C1的中点的中点,求异面直线求异面直线DB1与与EF所成角的大小所成角的大小.分析分析先先作作出角

11、出角,再再证证明角的两边明角的两边分别与两异面直线平行分别与两异面直线平行,最后在三最后在三角形中角形中求求角角.法一法一如图如图,连接连接A1C1,B1D1,并设它们相交于点并设它们相交于点O,取取DD1的中点的中点G,连接连接OG,则则OGB1D,EFA1C1.GOA1(或其补角或其补角)为异面直线为异面直线DB1与与EF所成的角所成的角.GA1=GC1,O为为A1C1的中点的中点,GOA1C1.异面直线异面直线DB1与与EF所成的角为所成的角为90.OG例题选讲例题选讲讲课人：邢启强15例例2如图如图,在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中中,E,F分别是分别是A1B1,B1C1的

12、中点的中点,求异面直线求异面直线DB1与与EF所成角的大小所成角的大小.例题选讲例题选讲H1.作作出角出角;2;证证明角明角(或其补角或其补角);3.求求角角.法二法二如图如图,连接连接A1D,取取A1D的中点的中点H,连接连接HE,则则HEDB1,且且HE=DB1.于是于是HEF(或其补角或其补角)为异面直线为异面直线DB1与与EF所成的角所成的角.HF2=EF2+HE2,HEF=90,异面直线异面直线DB1与与EF所成的角为所成的角为90.讲课人：邢启强16例例2如图如图,在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中中,E,F分别是分别是A1B1,B1C1的中点的中点,求异面直线求异面直线

13、DB1与与EF所成角的大小所成角的大小.例题选讲例题选讲法三法三如图如图,在原正方体的右侧补上一个全等的正方体在原正方体的右侧补上一个全等的正方体,连接连接B1Q,则则B1QEF.于是于是DB1Q（或其补角）或其补角）为异面直线为异面直线DB1与与EF所成的角所成的角.通过计算通过计算,不难得到不难得到:B1D2+B1Q2=DQ2,从而异面直线从而异面直线DB1与与EF所成的角为所成的角为90.讲课人：邢启强17求两条异面直线所成的角是立体几何中的重要题型之一求两条异面直线所成的角是立体几何中的重要题型之一,而求它的而求它的常用方法是空间问题平面化常用方法是空间问题平面化.(1)具体地具体地,

14、求两条异面直线所成角的一般步骤是求两条异面直线所成角的一般步骤是:构造构造:恰当地选择一个点恰当地选择一个点(线段的端点或中点线段的端点或中点),用平移法构造异面用平移法构造异面直线所成的角直线所成的角;证明证明:证明证明中中所作出的角或其补角所作出的角或其补角就是所求异面直线所成的角就是所求异面直线所成的角;计算计算:通过解三角形等知识通过解三角形等知识,求出求出中所构造的角的大小中所构造的角的大小;结论结论:假如所构造的角的大小为假如所构造的角的大小为,若若090,则则即为所求异面即为所求异面直线所成角的大小直线所成角的大小;若若90180,则则180-即为所求即为所求.总结方法总结方法(

15、2)作出异面直线所成的角作出异面直线所成的角,可通过多种方法平移产生可通过多种方法平移产生,主要有主要有三种方法三种方法:直接平移法直接平移法(可利用图中已有的平行线可利用图中已有的平行线);中位线平移法中位线平移法;补形平移法补形平移法(在已知图形中在已知图形中,补作一个相同的几何体补作一个相同的几何体,以便找以便找到平行线到平行线).讲课人：邢启强18【例【例3 3】空间四边形空间四边形ABCDABCD中，中，AB=CDAB=CD且且ABAB与与CDCD所成的角所成的角为为5050，E E，F F分别是分别是BCBC，ADAD的中点，则的中点，则EFEF与与ABAB所成角所成角的大小为的大

16、小为_._.分分析：析：先构造出已知两条异面直线所先构造出已知两条异面直线所成角成角,寻求要求的角与已知角的关系寻求要求的角与已知角的关系.【解】【解】取取BDBD中点中点G,G,连接连接EG,FG,EG,FG,则由三角形中位线定理得则由三角形中位线定理得EGCDEGCD，EG=CDEG=CD，FGABFGAB，FG=ABFG=AB，所以所以EG=FGEG=FG，EFEF与与ABAB所成角为所成角为EFGEFG，因为因为ABAB与与CDCD所成的角为所成的角为5050，所以所以EGF=50EGF=50或或EGF=130EGF=130，所以所以EFEF与与ABAB所成角的大小为所成角的大小为25

17、25或或6565.典型例题典型例题讲课人：邢启强19练练.(2019.(2019南京高一检测南京高一检测)在空间四边形在空间四边形ABCDABCD中，中，AD=2AD=2，BC=2 BC=2 ，E E，F F分别是分别是ABAB，CDCD的中点，的中点，EF=EF=，则异，则异面直线面直线ADAD与与BCBC所成角的大小为所成角的大小为()A.150B.60 C.120 D.30A.150B.60 C.120 D.30取取ACAC的中点的中点M M，连接，连接EMEM，FM.FM.M则则EMBCEMBC，FMADFMAD，EM=EM=FM=1 FM=1，所以，所以EMFEMF或其补角或其补角即

18、为异面直线即为异面直线ADAD与与BCBC所成角所成角.在在MEFMEF中，中，cosEMF=cosEMF=所以所以EMF=150EMF=150.所以异面直线所以异面直线ADAD与与BCBC所成角的大小为所成角的大小为3030.巩固练习巩固练习D讲课人：邢启强20分析：分析：要证明要证明AO1BD，应先构造直线，应先构造直线AO1与与BD所成的角，若能证明这个角是直角，所成的角，若能证明这个角是直角，即得即得AO1BD.【证明】【证明】如图，连接如图，连接B1D1.ABCDA1B1C1D1是正方体，是正方体，BB1/DD1,BB1=DD1.四边形四边形BB1D1D是平行四边形是平行四边形B1D

19、1BD.直线直线AO1与与B1D1所成的角即为直线所成的角即为直线AO1与与BD所成的角所成的角典型例题典型例题讲课人：邢启强21讲课人：邢启强22F巩固练习巩固练习讲课人：邢启强23巩固练习巩固练习90度度讲课人：邢启强24当已知条件中含有异面直线所当已知条件中含有异面直线所成角时，应先作出该角，才能成角时，应先作出该角，才能应用此条件，但要注意作出的应用此条件，但要注意作出的角不一定是已知异面直线所成角不一定是已知异面直线所成角，也可能是已知角的补角，角，也可能是已知角的补角，应应分情况讨论分情况讨论.典型例题典型例题讲课人：邢启强25【练】【练】(2019(2019白城高一检测白城高一检

20、测)在四棱在四棱柱柱ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，侧面都是矩形，底中，侧面都是矩形，底面四边形面四边形ABCDABCD是菱形，且是菱形，且AB=BC=2 AB=BC=2 ，ABC=120ABC=120，若异面直线，若异面直线A A1 1B B和和ADAD1 1所成所成的角是的角是9090，则，则AAAA1 1的长度是的长度是_._.巩固练习巩固练习讲课人：邢启强26课堂小结课堂小结1、异面直线所成角的定义、异面直线所成角的定义:如图如图,已知两条异面直线已知两条异面直线a,b,经过经过空间任一点空间任一点O作作直线直线a a,b b 则把则把a 与与b

21、所成的锐角所成的锐角(或直或直角角)叫做异面直线所成的角叫做异面直线所成的角(或夹角或夹角).3 3、求异面直线的所成角的一般步骤是：作、求异面直线的所成角的一般步骤是：作证证求求2、异面直线所成的角的范围、异面直线所成的角的范围(0,90oo作出异面直线所成的角作出异面直线所成的角,可通过多种方法平移产生可通过多种方法平移产生,主要有三种方法主要有三种方法:直接平移法直接平移法(可利用图中已有的平行线可利用图中已有的平行线);中位线平移法中位线平移法;补形平移法补形平移法(在已知图形中在已知图形中,补作一个相同的几何补作一个相同的几何体体,以便找到平行线以便找到平行线).这节课我们学习了异面直线所成角的概念；这节课我们学习了异面直线所成角的概念；