第22课时.ppt

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1、已知三角形的部分元素已知三角形的部分元素,求出其余的元素的过程求出其余的元素的过程,称为解三角形称为解三角形.ABCabc设设ABC的三边为的三边为a、b、c,对应的三个角对应的三个角为为A、B、C.则则ABC任意两边的和大于第三边任意两边的和大于第三边 任意两边的差小于第三边任意两边的差小于第三边1.三内角的关系三内角的关系:2.边与边关系边与边关系:3.边与角关系边与角关系(1)正弦定理正弦定理:(2)余弦定理余弦定理:a2b2c22bccosA 三三角角形形中中的的各各种种关关系系(3)ABabsinAsinB SABC三三角角形形中中的的面面积积公公式式其中其中 为三角形的周长的一半为

2、三角形的周长的一半三三角角形形内内角角的的三三角角恒恒等等式式由由A、B、C0,且且A(BC)(1)sinA0、sinB0、sinC0;(2)sinAsin(BC)(3)sin cos (4)最大内角最大内角60,最小内角最小内角60.cosAcos(BC)cos sin三三角角形形形形状状的的判判断断方方法法(1)A为锐角为锐角cosA0b2c2a2(2)A为直角为直角cosA0b2c2a2 ABC为直角三角形为直角三角形(3)A为钝角为钝角cosA0b2c2a2 ABC为钝角三角形为钝角三角形例例1.(2010年柳州模拟年柳州模拟)已知已知ABC中中,角角A、B所对的边分别是所对的边分别是

3、a和和b,若若acosBbcosA,则则ABC一定是一定是()A.等腰三角形等腰三角形 B.等边三角形等边三角形 C.直角三角形直角三角形 D.等腰直角三角形等腰直角三角形解法一解法一:利用余弦定理将角化为边利用余弦定理将角化为边.bcosAacosB,b a ,b2c2a2a2c2b2,a2b2,ab,故该三角形是等腰三角形故该三角形是等腰三角形.解法二解法二:利用正弦定理将边转化为角利用正弦定理将边转化为角.bcosAacosB,又又b2RsinB,a2RsinA,2RsinBcosA2RsinAcosB,sinAcosBcosAsinB0,sin(AB)0 而而A,B(0,),故故AB,

4、AB0,即即AB.例例1.(2010年柳州模拟年柳州模拟)已知已知ABC中中,角角A、B所对的边分别是所对的边分别是a和和b,若若acosBbcosA,则则ABC一定是一定是()A.等腰三角形等腰三角形 B.等边三角形等边三角形 C.直角三角形直角三角形 D.等腰直角三角形等腰直角三角形类比类比.(2010年辽宁卷年辽宁卷)在在ABC中中,a、b、c分别为内角分别为内角A、B、C的对边的对边,且且2asinA(2b c)sinB(2cb)sinC (1)求求A的大小的大小;(2)若若sinBsinC1,试判断试判断ABC的形状的形状.A120等腰钝角三角形等腰钝角三角形例例2.在在ABC中中,

5、三边长为连续的自然数三边长为连续的自然数,且且最大角是最小角的最大角是最小角的2倍倍,求此三角形的三边长求此三角形的三边长.解解:设三角形的三边长分别为设三角形的三边长分别为x,x1,x2,其中其中xN*,又设最小角为又设最小角为,由正弦定理由正弦定理 又由余弦定理又由余弦定理,可得可得x23x40,解之得解之得x4(负值舍去负值舍去).所以此三角形三边长为所以此三角形三边长为4,5,6.,可得可得例例2.在在ABC中中,三边长为连续的自然数三边长为连续的自然数,且且最大角是最小角的最大角是最小角的2倍倍,求此三角形的三边长求此三角形的三边长.变式变式.已知钝角已知钝角ABC的三边长依次为的三

6、边长依次为ax,bx1,cx2,试求实数试求实数x的取值范围的取值范围.拓展拓展.(2010年衡阳模拟年衡阳模拟)在锐角在锐角ABC中中,BC1,B2A,则则 ,AC的取值范的取值范围是围是 .1x32已知三角形的部分元素已知三角形的部分元素,求出其余的元素的过程求出其余的元素的过程,称为解三角形称为解三角形.ABCabc1.(2010年广州一模年广州一模)在在ABC中中,三边三边a、b、c所对的角分别为所对的角分别为A、B、C,若若a2b2 c2 ab0,则角则角C的大小为的大小为 .2.(2011年广州一模年广州一模)ABC的三个内角的三个内角A、B、C所对边的长分别为所对边的长分别为a、

7、b、c,已知已知 c3,C ,a2b,则则b的值为的值为 .3.已知已知ABC中中,a ,b ,B60,那么角那么角A等于等于 .13545sinC bc,CB,即即C为锐角为锐角,C30,A90,a 2.例例3.在在ABC中中,已知已知b ,B60,c1,解此三角形解此三角形.解解:,例例3.在在ABC中中,已知已知b ,B60,c1,解此三角形解此三角形.变式变式.在四边形在四边形ABCD中中,已知已知ADCD,AD10,AB14,BDA60,BCD135,求求BC的长的长.ABCD例例4.在在ABC中中,内角内角A、B、C所对的边分所对的边分别是别是a、b、c,已知已知c2,C .(1)

8、若若ABC的面积的面积 ,求求a,b;(2)若若sinCsin(BA)2sin2A,求求ABC的面积的面积.解解:(1)由余弦定理得由余弦定理得,a2b2ab4 又又SABC absinC ,得得ab4 联立联立,解得解得a2,b2;变式变式.在在ABC中中,BCa,ACb,a、b是方程是方程 x22 x20的两个根的两个根,且且2cos(AB)1 求求:(1)角角C的度数的度数;(2)AB的长度的长度;(3)ABC的面积的面积.120小结小结 本节课要求大家能用正、余弦定理来求解本节课要求大家能用正、余弦定理来求解三角形的边、角以及面积等度量问题三角形的边、角以及面积等度量问题.已知三角形的

9、部分元素已知三角形的部分元素,求出其余的元素求出其余的元素的过程的过程,称为解三角形称为解三角形.已知已知条件条件角角边角角边边边角边边角边边边边边边 边角边边角边适用适用定理定理正弦正弦定理定理正弦定理正弦定理或或余弦定理余弦定理余弦余弦定理定理余弦余弦定理定理(掌握掌握)课后思考课后思考.下列关于下列关于ABC的解的情况的解的情况,判判断正确的是断正确的是 .“a7,b14,A30”、两解、两解 “a25,b30,B150”、一解、一解 “a6,b9,A45”、两解、两解 “a10,b9,B60”、一解、一解变式变式.有一解三角形的题目因纸张破损使其有一解三角形的题目因纸张破损使其中一个条件不清中一个条件不清,具体如下具体如下:在在ABC中中,a、b、c分别为角分别为角A、B、C的的对边对边,已知已知a ,B45,求角求角A.经推断经推断,缺损的条件为三角形一边的长度缺损的条件为三角形一边的长度,且答案提示且答案提示A60,请你将题目中的条件补请你将题目中的条件补充完整充完整.