数学分类加法计数原理和分步乘法计数原理二新人教A选修.pptx

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1、1.11.1分类加法计数原理与分类加法计数原理与分步乘法计数原理分步乘法计数原理第1页/共32页教学目标（1）理解分类计数原理与分步计数原理（2）会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题 教学重点：（1）理解分类计数原理与分步计数原理（2）会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题第2页/共32页问题1:.从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有4 班,汽车有2班，轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?分析:从甲地到乙地有3类方法,第一类方法,乘火车，有4种方法;第二类方法,乘汽车，有2种方法;第三类方法,乘轮船,有3种方法;所以

2、 从甲地到乙地共有 4+2+3=9 种方法。（一）新课引入：第3页/共32页问题2:如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?A村B村C村北南中北南 分析:从A村经 B村去C村有2步,第一步,由A村去B村有3种方法,第二步,由B村去C村有2种方法,所以 从A村经 B村去C村共有 3 2=6 种不同的方法。第4页/共32页分类记数原理:做一件事情，完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有 N=m1+m2+mn种不同的方法。分步记数原理：做

3、一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有 N=m1m2mn种不同的方法。（二）新课：第5页/共32页（三）例题：例 1.书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，（1）从书架上任取1本书，有多少不同的取法？（2）从书架的第1，2，3层各取1本书，有多少不同的取法？分析:(1)从书架上任取1本书，有三类办法：第一类办法,从第1层中任取一本书,共有 m1=4 种不同的方法;第二类办法,从第2层中任取一本书,共有 m2=3 种不同的方法;第三类办法：从第3层

4、中任取一本书,共有 m3=2 种不同的方法 所以,根据分类记数原理,得到不同选法种数共有 N=4+3+2=9 种。第6页/共32页（三）例题：例 1.书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，（1）从书架上任取1本书，有多少不同的取法？（2）从书架的第1，2，3层各取1本书，有多少不同的取法？分析:(1)从书架上任取1本书，有三类办法：第一类办法,从第1层中任取一本书,共有 m1=4 种不同的方法;第二类办法,从第2层中任取一本书,共有 m2=3 种不同的方法;第三类办法：从第3层中任取一本书,共有 m3=2 种不同的方法 所以,根据分类记数原

5、理,得到不同选法种数共有 N=4+3+2=9 种。点评:解题的关键是从总体上看做这件事情是“分类完成”,还是“分步完成”。“分类完成”用“分类记数原理”;“分步完成”用“分步记数原理”。第7页/共32页例2.在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？分析1:按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别是 1个,2个,3个,4个,5个,6个,7 个,8 个.则根据分类记数原理共有 1+2+3+4+5+6+7+8=36(个).分析2:按十位数字是1,2,3,4,5,6,7,8分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别是 8个,7个,6个,5个,4

6、个,3个,2个,1个.则根据分类记数原理共有 8+7+6+5+4+3+2+1=36(个)第8页/共32页例 3.一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复)？首位数字不为0的号码数是多少？首位数字是0的号码数又是多少？分析:按号码位数,从左到右依次设置第一位、第二位、第三 位,第四位、需分为 四步完成;第一步,m1=10;第二步,m2=10;第三步,m2=10，第 四步，m4=10.根据分步记数原理,共可以设置N=101010 10=104种四位数的号码。答:首位数字不为0的号码数是N=91010 10=9103 种,

7、首位数字是0的号码数是 N=11010 10=103 种。由此可以看出,首位数字不为0的号码数与首位数字是0的号 码数之和等于号码总数。第9页/共32页例 3.一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复)？首位数字不为0的号码数是多少？首位数字是0的号码数又是多少？问:若设置四个、五个、六个、十个等号码盘,号码数分别有多少种？答:它们的号码种数依次是 104,105,106,种。第10页/共32页 点评:分类记数原理中的“分类”要全面,不能遗漏;但也不能重复、交叉;“类”与“类之间是并列的、互斥的、独立的,也就是说,完

8、成一件事情,每次只能选择其中的一类办法中的某一种方法。若完成某件事情有n类办法,即它们两两的交为空集,n类的并为全集。分步记数原理中的“分步”程序要正确。“步”与“步”之间是连续的,不间 断的,缺一不可;但也不能重复、交叉;若完成某件事情需n步,则必须且只需依次完成这n个步骤后,这件事情才算完成。在运用“分类记数原理、分步记数原理”处理具体应用题时,除要弄清是“分类”还是“分步”外,还要搞清楚“分类”或“分步”的具体标准。在“分类”或“分步”过程中,标准必须一致,才能保证不重复、不遗漏。第11页/共32页 课堂练习 1.如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同

9、一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？第12页/共32页第13页/共32页 课堂练习 1.如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？解:按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,第一步,m1=3 种,第二步,m2=2 种,第三步,m3=1 种,第四步,m4=1 种,所以根据分步记数原理,得到不同的涂色方案种数共有 N=3 2 11=6 种。第14页/共32页 课堂练习 1.如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多

10、次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？问:若用2色、3色、4色、5色等,结果又怎样呢？答:它们的涂色方案种数分别是 0,4322=48,5433=180种等。第15页/共32页 2.如图,该电路,从A到B共有多少条不同的线路可通电？AB第16页/共32页1.ABAB2.ABAB第17页/共32页3.BA4.BABABA第18页/共32页5.ABABAB第19页/共32页6.BABABA第20页/共32页7.ABABAB第21页/共32页8.ABABAB第22页/共32页解:从总体上看由A到B的通电线路可分三类,第一类,m1=3 条 第二类,m2=1 条 第三类,m3=22=4

11、,条 所以,根据分类记数原理,从A到 B共有 N=3+1+4=8 条不同的线路可通电。当然,也可以把并联的4个看成一类,这样也可分2类求解。AB第23页/共32页m2m2ABm1mn.ABm1mn点评:我们可以把分类记数原理看成“并联电路”;分步记数原理看成“串联电路”。如图:第24页/共32页3.如图,一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？第25页/共32页 解:如图,从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以,第一类,m1=12=2 条 第二类,m2=12=2 条 第三类,m3=12=2 条 所以,根据分类记数

12、原理,从顶点A到顶点C1最近路线共有 N=2+2+2=6 条。第26页/共32页 练习4.如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通,从丁地到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？甲地乙地丙地丁地 解:从总体上看,由甲到丙有两类不同的走法,第一类,由甲经乙去丙,又需分两步,所以 m1=23=6 种不同的走法;第二类,由甲经丁去丙,也需分两步,所以 m2=42=8 种不同的走法;所以从甲地到丙地共有 N=6+8=14 种不同的走法。第27页/共32页 小结：1.本节课学习了那些主要内容？答:分类记数原理和分步记数原理。2.分类记数原理和分步记

13、数原理的共同点是什么？不同点什么？答:共同点是,它们都是研究完成一件事情,共有多少种不 同的方法。不同点是,它们研究完成一件事情的方式不同,分类记 数原理是“分类完成”,即任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件事。分步记数原理是“分步完成”,即这些方法需要分步,各个步骤顺次相依,且每一步都完成了,才能完成这件事情。这也是本节课的重点。第28页/共32页3.何时用分类记数原理、分步记数原理呢?答:完成一件事情有n类方法,若每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成,则计算完成这件事情的方法总数用分类记数原理。完成一件事情有n个步骤,若每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完成互相独立的这n步后,才能完成这件事,则计算完成这件事的方法总数用分步记数原理。小结：第29页/共32页 结束语 两大原理妙无穷,布置作业:p.86练习 第2，3,4,题 p.87习 题 第1，3,4,题 茫茫数理此中求;万万千千说不尽,运用解题任驰骋。第30页/共32页第31页/共32页感谢您的观看！第32页/共32页